高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識梳理(共十章)

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識梳理（共十章）（精編版）

第一章集合與簡易邏輯基礎(chǔ)知識梳理

一、集合

L集合的概念：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集；集合中的每一

個對象叫集合的元素.

元素a在集合M內(nèi)的表示法，元素a不在集合M內(nèi)的表示法.

2.集合中的元素必須具備“三性"：、、.

3.空集的意義及記號：不含任何元素的集合叫空集，空集記作0；

4.常用數(shù)集及記號：

⑴非負整數(shù)集（零和正整數(shù)的全體）一一N；

⑵正整數(shù)集一一N*或N+；

⑶整數(shù)集——Z；⑷有理數(shù)集一一Q；⑸實數(shù)集一一R.⑹無理數(shù)集一一GQ

5.集合的分類（按集合中的元素個數(shù)來分）：

⑴有限集----

⑵無限集一一

6.集合的表示法：

⑴列舉法一一把集合中元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)：

⑵描述法一一把集合中元素的公共熟性用語言或式子描述出來寫在大括號內(nèi)，其基

本模式是{x|p（x））.

7.集合的形象表示法一一韋恩圖，即用一條封閉的曲線圍成的圖形（內(nèi)部）表示集合.

8.子集、交集、并集、補集：

I子集

⑴子集、真子集的意義：

對于兩個集合A、B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集

合A叫做集合B的子集，記作AqB；如果A是B的子集，并且B中至少有一

個元素不屬于A,那么集合A叫禰集合B的真子集，記作AB.

⑵子集的性質(zhì)：（用U、填空）

①AA,0A,若AW0,貝IJ0A；

②若AqB,BcC,則AC；③若AB,BcC,貝UAC；

④若AcB,BC,貝AC；④若AB,BC,貝UAC.

⑶子集的個數(shù)：

若集合A中有n個元素，則①集合A的子集個數(shù)是2n；②集合A的真子集

個數(shù)是2"-1；③集合A的非空真子集個數(shù)是2n-2.

⑷集合相等的意義：若集合A與B含有相同的元素，稱它們相等，記作A=B；

集合相等的充要條件：A=B=AcBS.BcA.

II交集

⑴交集的意義：

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A、B的交集，

記作ADB,即ADB={x|xGA且xGB}

請根據(jù)右面的韋恩圖打出ACB的陰影.

⑵交集的性質(zhì)：

①ACA=；②AC0=；③AClB=BnA；

④若AAB磋A,plijAABcB；⑤若ACB=A,則A=B.

HI并集

⑴并集的意義：

由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A、B的并

集，記作AUB,即AUB={x|x6A或xGB}

請根據(jù)右面的韋恩圖打出AUB的陰影.

⑵并集的性質(zhì)：

①AUA=；②AU0=；?AUB=BUA：

?AUBoA；?AUBoB；@AUB=A=BGA

IV補集

⑴全集、補集的意義：

如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合叫做全集，全

集通常用U表示；

設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即A=S),由S中所有不屬于A的元素組

成的集合，叫做集合A的補集(或余集)，記作CsA,即GA={x|xGS且x史A}.

請根據(jù)右面的韋恩圖打出CsA的陰影.

⑵補集的性質(zhì)：

(X)AUCiA=；(§)A0Ci,A—；(§)CuU=；

④CM=；⑤Cu(GA)=；

@Ci(AUB)=(CLA)n(C,B)；⑦Q(AAB)=(GA)U(CtB).

9.集合的元素的個數(shù)：

⑴“集合A的元素的個數(shù)”可用符號記作;

⑵對任意兩個有限集合A,B,有

card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AHB).

二、簡易邏輯

1.命題概念：可以判斷真假的語句叫做命題.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

3.簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題.

4.復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題.

5.真值表：表示命題的真假的表叫真值表.

⑴非P形式復(fù)合命題的真值表(填“真”或“假”)

P非P

假

⑵P且q形式復(fù)合命題的真值表(填“真”或"假”)

PqP且q

真真

真假

假真

假假

⑶P或q形式復(fù)合命題的真值表(填“真”或"假”)

PqP或q

真真

真假

假真

假假

6.四種命題：

⑴互逆命題及逆命題的概念：

在兩個命題中，如果第一個命題的條件(或題設(shè))是第二個命題的結(jié)論，且第一

個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題：如果把第一

個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題.

⑵互否命題及否命題的概念：

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論，分別是另一個命題的條件的否定

和結(jié)論的否定，那么這樣的兩個命題叫做互否命題；把其中一個命題叫做原命

題，另一個就叫做原命題的否命題.

⑶互為逆否命題及逆否命題的概念：

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論，分別是另一個命題的結(jié)論的否定

和條件的否定，那么這樣的兩個命題叫做互為逆否命題；把其中一個命題叫做

原命題，另一個就叫做原命題的逆否命題.

⑷四種命題的一般形式：（用符號”表示否定）

①原命題：若P則q；②逆命題：;

③否命題：:④逆否命題：.

⑸四種命題之間的關(guān)系：在下列雙箭頭符號旁填上相應(yīng)的文字）

⑹一個命題的真假與其他三個命題的真假關(guān)系：

①原命題為真，它的逆命題;

②原命題為真，它的否命題:

③原命題為真，它的逆否命題.

⑺用反證法證明命題的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

③由矛盾判斷假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

7.充分條件和必要條件：

⑴充分條件和必要條件的概念：

若p則q,即p=>q,我們說，p是q的條件，q是P的條件.

⑵充要條件的概念：

若P貝Ijq,且若q則P，即p<=>q,我們說p是q的條件，

q是P的條件.

第二章函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理

一、映射：

L映射的定義：設(shè)A、B是兩個集合，按照某種對應(yīng)法則廣，對于集合A中的住何7個元素，在集合B

中都有唯丁的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到

集合B的映射，記作f：A-B.

2.象與原象的概念：給定一個集合A到B的映射，且adA,bCB.如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們

把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

3.一一映射的定義：設(shè)A、B是兩個集合，f：A-B是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對

于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A

到B上的——映射.

二、函數(shù)：

1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一的值

與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).我們將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量

x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的近代定義：如果A、B都是非定數(shù)集，那么A到B的映射A-B就叫做A到B的函數(shù)，記

作y=f（x）,其中x￡A,y6B.原象的集合A叫做函數(shù)y=F（x）的定義域，象集合C（C=B）叫做函數(shù)y=F（x）

的值域.

函數(shù)的三要素是：、、.

3.函數(shù)的表示法：解析法、列表法、圖象法.

4.關(guān)于區(qū)間的概念：

⑴滿足不等式aWx<b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為；

⑵滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為；

⑶滿足不等式aWxVb或a<xWb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為

或?

以上的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.

5.函數(shù)解析式的求法：⑴換元法；⑵待定系數(shù)法.

6.求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

⑴分式中的分母不為0;⑵偶次根式的被開方數(shù)不小于零；⑶對數(shù)的真數(shù)大于零；

⑷零指數(shù)塞的底數(shù)不等于零；⑸指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；

⑹對于應(yīng)用問題，要注意自變量所受實際意義的限制.

7.求函數(shù)值域的方法有：⑴配方法；⑵換元法；⑶判別式法；⑷單調(diào)性法；

⑸基本不等式法；⑹數(shù)形結(jié)合法；⑺反函數(shù)法.

三、函數(shù)的單調(diào)性：

L函數(shù)單調(diào)性的定義：

如果對于屬于定義域/內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xi,xz,當(dāng)Xi<X2時，都有f（X。<f（x2）,

那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù).這個區(qū)間叫增區(qū)間.

如果對于屬于定義域/內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值XI,X2,當(dāng)X1<X2時，都有/1（XI）（X2）,

那么就說/'（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù).這個區(qū)間叫減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（增區(qū)間或減區(qū)間）是其定義域的子集；函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判別方法：

⑴圖象法.若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間D上從左至右是上升（下降）的，則f（x）在區(qū)間D上是增（減）函

數(shù)；

⑵定義法.其一般步驟是：

①取值.在所給區(qū)間上任取x,<x2：

②作差f（X,）-f（X2）；

③變形.分解因式或配方等；

④定號.看f（X.）-f（X2）的符號;

⑤下結(jié)論.

⑶利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

設(shè)y=f(u),u=g(x),已知g(x)在［a,b］上單調(diào)遞增(或遞減)，y=F(u)在［g(a),g(b)］(或［g(b),

g(a)］)上單

調(diào)，那么復(fù)合函數(shù)y=Hg(x)］在［a,b］上一定單調(diào)，并且有如下結(jié)論：

當(dāng)/'(u)與g(x)的單調(diào)性相同時，Hg(x)］在［a,b］上為；增(增)=增；減(減)=增.

當(dāng)/?(u)與g(x)的單調(diào)性相反時，/［g(x)］在［a,b］上為.增(減)=減；減(增)=減.

⑷利用函數(shù)單調(diào)性的判定定理：用定義可直接證出.

①函數(shù)71(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性；

②當(dāng)c>0時，函數(shù)f(x)與cf(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)c<0時,函數(shù)f(x)與cf(x)具有相反

的單調(diào)

性；

③若f(x)W0,則函數(shù)f(x)與一匚具有相反的單調(diào)性；

fW

④若f(x)20,則函數(shù)f(x)與具有相同的單調(diào)性；

⑤若函數(shù)f(x),g(x)都是增函數(shù)，則/'(x)+g(x)也是增函數(shù)；(增+增=增)

⑥若函數(shù)f(x),g(x)都是減函數(shù)，則f(x)+g(x)也是減函數(shù)；(減+減=減)

⑦若函數(shù)f(X)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，則f(x)-g(x)也是增函數(shù)；(增-減=增)

⑧若函數(shù)f(X)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù),則f(x)-g(x)也是減函數(shù)；(減-增=減)

另外還有以下幾個重要結(jié)論：(用定義可直接證出)

⑼*財個但事的增函數(shù)的積還是增函數(shù)；

(10)*兩個叵正的減函數(shù)的積還是減函數(shù)；

(1D*購個恒女的增函數(shù)的積是減函數(shù)；

?*兩個恒負的減函數(shù)的積是增函數(shù)；

3.一些特殊函數(shù)的單調(diào)性

⑴一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)；當(dāng)k<0時，在R上是.

⑵二次函數(shù)y=ax2+bx+c

—

I為

當(dāng)a>0吐在(-8,-一，在［-3，+8)上為；

±

上為

上為+\

當(dāng)a<0時，在(-8,-A187

2O2?

⑶反比例函數(shù)y=￡當(dāng)k>0時，在(-8,0),(0,+8)上都是；

X

當(dāng)k<0時,在(-8,0),(0,+8)上都是.

⑷指數(shù)函數(shù)y=a；當(dāng)a>l時，在R上是,當(dāng)0<a<l時，在R上是.

⑸對數(shù)函數(shù)y=7ogax,當(dāng)a>1時，在(0,+~)是,當(dāng)0<a<1時,在(0,+℃)是.

⑹*記住重要函數(shù)y=x+，a>0)的單調(diào)性，并會證明：

X

當(dāng)X>0時，函數(shù)在(0,4a)上單調(diào)遞減，在，+8］上單調(diào)遞增；

當(dāng)xVO時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

四、函數(shù)的奇偶性：

1.函數(shù)奇偶性的定義：

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/■(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).

注意：⑴由定義可知，函數(shù)具有奇偶性的必要條件是定義域關(guān)于對稱.

⑵函數(shù)的奇偶性可分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(此時我們說該函數(shù)

具有奇偶性)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(此時我們說該函數(shù)不具有奇偶性).

注意：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條

件是f(x)恒等于0.

例:f(x)=0,x￡(-1,1);f(x)=0,xG[-2,2]；f(x)=Jl-/+J/-1等等.

2.具有奇偶性函數(shù)的圖象特征：

⑴奇函數(shù)O圖象關(guān)于對稱；⑵偶函數(shù)O圖象關(guān)于對稱.

3.判斷函數(shù)奇偶性的方法：

⑴圖象法；

⑵定義法.其一般步驟是：

①求函數(shù)的定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱,則此函數(shù)不具有奇偶性：

若對稱,再進行第二步；

②判斷/x)與f(x)的關(guān)系,并下結(jié)論.

若/1(-x)=-f(x)且f(x)不恒等于0,則此函數(shù)為奇函數(shù)；

若f(-x)=f(x)且F(x)不恒等于0,則此函數(shù)為偶函數(shù)；

若/?(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),則此函數(shù)為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

若/'(-x)#-f(x)且f(-x)WF(x),則此函數(shù)為既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).

4.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

⑴兩個奇函數(shù)的和(或差)仍是奇函數(shù)；即：奇土奇=奇.

⑵兩個偶函數(shù)的和(或差)仍是偶函數(shù)；即：偶土偶=偶.

⑶奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(或商,分母不為0)為；

即：奇乂奇=偶；偶X偶-偶；奇/奇=偶；偶/偶=偶.

⑷奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(或商,分母不為0)為；

即奇義偶=奇；偶*奇=奇；奇/偶=奇；偶/奇=奇.

⑸奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有

相反的單調(diào)性；

⑹定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)A(x)之和，即

f(x)=g(x)+Z?(x),其中g(shù)(x)=/(x)力(x)=/(")+"T).

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⑺若f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有意義，則必有f(0)=.

f(0)=0是f(x)是奇函數(shù)的條件.

五、反函數(shù)：

1.定義：函數(shù)y=f(x)(xGA),設(shè)它的值域為C,我們根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系,用y的式子表示x,得

到x=@(y).如果對于C中的任何一個值,通過x=4>(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)那么，

x=6(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=@(y)(y^C)叫做函數(shù)y=f

(x)

的反函數(shù)，記作x=f(y),習(xí)慣上一般用x表示自變量,用y表示函數(shù)，所以y=r(x)的反函數(shù)

通常寫為丫=『'(X).由反函數(shù)的定義知

⑴函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f'(X)互為反函數(shù)；(2)f1(x)]=x；(3)f'[f(x)]=x.

2.函數(shù)x=fi(y)(yGC,xCA)、函數(shù)y=f一(x)(xWC,yGA)與函數(shù)y=F(x)(xGA,ySC)的區(qū)別與聯(lián)

系：

⑴函數(shù)x=f'(y)與函數(shù)y=f-'(x)都是y=f(x)的反函數(shù);

⑵在y=f(x)與x-f1(y)中,x,y所處的地位不同:在y-f(x)中,x是自變量,y是x的函數(shù)；

在x=F-'(y)中，y是自變量,x是y的函數(shù).

在同一坐標(biāo)系中y=f(x)與x=f1(y)的圖象；

⑶在y=F(x)與y=f-'(x)中，x,y所處的地位相同,但取值的范圍不同：在y=F(x)中，xGA,yGC,

而在

y=f"(x)中，xGC,y€A.在同一坐標(biāo)系中y-f(x)與y=f一'(x)的圖象關(guān)于直線對稱；

3.求函數(shù)y=F(x)的反函數(shù)的步驟：

⑴求原函數(shù)的值域,即反函數(shù)y=f'(x)的定義域；

⑵將y=f(x)看成方程，在其定義域內(nèi)解出x=尸(y)；

⑶將x,y互換得y=f(x),并注明其定義域.

注意：求分段函數(shù)的反函數(shù),先分別在各段中求出其反函數(shù),然后用大刮號聯(lián)立.

4.關(guān)于反函數(shù)的有關(guān)結(jié)論：

⑴函數(shù)y=y(x)的定義域是它的反函數(shù)y=f1(x)的,函數(shù)y=f(x)的值域是它的

反函數(shù)y-f'(x)的；

⑵定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；

⑶互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

⑷若奇函數(shù)有反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)；

(注意：并不是每個奇函數(shù)都有反函數(shù)，例如：y=sinx(xSR).

⑸定義域為非季的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；

注意：函數(shù)f(x)=l,(xe{0})是不是偶函數(shù)(為什么?)它有沒有反函數(shù)?若有,則它的反函數(shù)

是.反函數(shù)的奇偶性是什么？答：.

(6)F"T(X)]=,f[L(y)]=；

⑺互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

六、函數(shù)圖象的變換：

1.平移變換：

⑴y=f(x)的圖象沿x軸向右平移a(a>0)個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；

⑵y=f(x)的圖象沿x軸向左平移a(a>0)個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；

⑶y=f(x)的圖象沿y軸向上平移a(a>0)個單位得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象；

⑷y=f(x)的圖象沿y軸向下平移a(a>0)個單位得到y(tǒng)=f(x)-a的圖象.

2.伸縮變換：

⑴把y=f(x)的圖象上所有的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膇(a>0)倍,縱坐標(biāo)不變,可得到y(tǒng)=r(ax)的圖象;

a

⑵把y=f(x)的圖象上所有的點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁(A>0)倍,橫坐標(biāo)不變,可得到y(tǒng)=Af(x)的

圖象；

3.對稱變換：

(一)兩個函數(shù)圖象的對稱關(guān)系：

⑴y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱；

⑵y=f&)與丫=『(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(3)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點軸對稱;

(4)y=f(x)與y=f'(x)的圖象關(guān)于直線y=x軸對稱；

⑸y=f(|x1)的圖象是保留y=f(x)的圖象中y軸右邊部分,并作其關(guān)于y軸對稱的圖象，再擦掉

y=f(x)的圖象中y軸左邊部分而得到；

(6)y="(x)|的圖象是保留y=r(x)的圖象中x軸上方的圖象及x軸上的點,并將x軸下方的圖象

以x軸為對稱軸翻折到x軸上方去；

(7)*函數(shù)y=f(a+mx)與函數(shù)y=f(b-mx)(a、b：mGR,mWO)的圖象關(guān)于直線■對稱.

2m

(二)函數(shù)圖象自身的對稱性：

⑴奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；

⑵偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；

⑶對函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(a+mx)=y(a-mx)(a、mGR,且m#0)

of(x)的圖象關(guān)于直線對稱；

⑷對函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(a+mx)=f(b-mx)(a、b、mdR,且mWO)

of(x)的圖象關(guān)于直線對稱；

⑸對函數(shù)F(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(a+x)=-F(a-x)oF(x)的圖象關(guān)于

點對稱.以上結(jié)論會證嗎？

七、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)：

1.根式的定義：

⑴方根：如果一個數(shù)的n次方等于a(n>l且nGN*),那么這個數(shù)叫做a的n次方根.

即：若x三a,則x叫做a的n次方根.

⑵根式：式子后叫做根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).當(dāng)n是偶數(shù)時，仁

表示正數(shù)a的正的n次方根.

2.根式的性質(zhì):

⑴(C)"=a；⑵當(dāng)n為奇數(shù)時，"=a

當(dāng)n是偶數(shù)時；痂=|〃|=卜(0-0).

[-6Z(Q<0)

3.分數(shù)指數(shù)嘉:

當(dāng)a>0,m、n￡N*且n>l吐規(guī)定：

rn__mmm

an=處，;af,--；0"=0；0n無意義.

ni

an

4.有理指數(shù)基的性質(zhì)：

(l)ar,a'=ar"(a>0,r、s6Q)；

(2)(ar)s=ars(a>0,r、sGQ)；

(3)(ab)r=a'b'(a>0,b>0,rGQ).

5.指數(shù)函數(shù)：

⑴指數(shù)函數(shù)的定義：把形如y=a(a>0,且aWl)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).

⑵指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

X

y=a

(a>0,且aa>l0<a<l

HI)

圖象

定義域

值域

性

單調(diào)性

其它①x>0時,y>l；①x>0時，0<y<l；

質(zhì)性質(zhì)

②xVO時,0VyVl；②x<0時，y>l；

③x=0時，y=l.即圖象恒過點(0,1)③x=0時，y=l.即圖象恒過點(0,1)

八、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)：

1.對數(shù)的概念：

⑴對數(shù)的定義：如果a(a>0,aWl)的b次基等于N,即a—N,那么，數(shù)b叫做以a為底

N的對數(shù).其中,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做對數(shù)的真數(shù).

⑵常用對數(shù)：把以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并記YogwN為7gN.

⑶自然對數(shù)：把以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),并記Jog°N為/nN.

其中e=2.71828……,是一個無理數(shù).

⑷對數(shù)恒等式：小&N=N(°>0且.1,N>0).

2.對數(shù)的運算法則：

如果a>0,a￥l,M>0,N>0,那么

(l)/oga(MN)=logM+7ogN；(2)log..—=logM-logN；⑶/ogM=n7og?M.

aaN

3.對數(shù)的三個性質(zhì)：

(1)1的對數(shù)為0(即7og,,l=0)；⑵底的對數(shù)為1(即7og?a=l)；⑶零和負數(shù)沒有對數(shù).

4.對數(shù)函數(shù):

⑴對數(shù)函數(shù)的定義：把形如y=；ogax（a>0,且a￥l）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).

⑵對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

y=7ogax

(a>0,且aa>l0<a<l

Wl)

圖象

定義域

值域

性

單調(diào)性

其它①x>l時,y>0；①x>l時，y<0；

質(zhì)性質(zhì)

②0<xVl時，y<0；②0<x<l時;y>0；

③x=l時,y=0.即圖象恒過點（1,0）③x=l時，y=0.即圖象恒過點（1,0）

第三章數(shù)列基礎(chǔ)知識梳理

一、數(shù)列

1.定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項,各項依

次叫做這個數(shù)列的第一項(或首項)，第二項，…，第n項，….

2.數(shù)列中的數(shù)有兩個特性：⑴有序性；⑵可重復(fù)性.

3.數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列是定義在N*(或它的有限子集｛1,2,…,n｝)上的函數(shù)當(dāng)自變量從小到

大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.

4.數(shù)列的表示：

⑴數(shù)列的一般形式:a.皿…，a……簡記為數(shù)?).

⑵解析法：若須與n的函數(shù)關(guān)系可用一個解析式a0=f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通

項公式.

⑶圖象法：數(shù)列的圖象是一群孤立的點(n,a.)(nWN*)所組成的圖形(在縱軸的右邊).

5.數(shù)列的分類：

⑴數(shù)列按項數(shù)n的取值范圍分：①有窮數(shù)列；②無窮數(shù)列.

⑵數(shù)列按相鄰項的大小關(guān)系分：

①遞減數(shù)列(an,i>a”,nGN,)；②遞增數(shù)列(a0+i<a”,nGN*=；

③擺動數(shù)列(a田與a”的大小不定ndN*)；④常數(shù)列(a0“=a”,nGN*).

6.由遞推關(guān)系給定的數(shù)列：

已知數(shù)列的前若干項，而這些項之后的任意一項都可以用它相鄰的前若干項的一個關(guān)

系式表示出來,這個關(guān)系式稱做遞推公式,這種給定數(shù)列的方法叫做遞推法.

請思考：已知數(shù)列⑸｝中，ai=l,a0=an-1+—!—(n22),求a,“答案：a?=.

n(n-1)n

設(shè)S?=ai+a+--+an,則a=0(〃-"

7a與Sn的關(guān)系:2n

15"-S"_|(n>2,neN*)

二、等差數(shù)列

1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)

列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.

等差數(shù)列定義的數(shù)學(xué)表達式：a“=d(ndN*).

2.表示方法：(D定義法：az-a產(chǎn)a3-a2=-a?=d；

⑵遞推法：仁UM

⑶通項法：abai+d,ai+2d,??-,ai+(n-l)d.,??-.

3.通項公式：⑴已知首項ai和公差d,則an刊+(n-l)d.(一般公式為：an=dn+q).

⑵已知非首項演(小22)和公差d,則須二a+(。-m)d.

4.等差中項：如果a,A,b成等差數(shù)歹U,那么A叫做a與b的等差中項.顯然2A=a+b.

5.前n項和公式：S,=幽3；或SFnai+dUd.要求會推導(dǎo)！

22

前n項和的一般公式：S?=An2+Bn(A、B為常數(shù)).

6.性質(zhì)：⑴在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項和相等,且等于首末兩項的和.

即ai+an—④+①-i—①+①-2二…二ak+a?-k+i；

⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q^N*),則affl+an=aP+aq；

⑶等差數(shù)列中除首項外的每一項a*n22)都是到它距離相等的兩項的等差中項，

即2a?=an-k+a0.k(n>k)；

⑷公差d是數(shù)列圖象上任意兩點所在直線的斜率.即必出;%.

n-m

⑸數(shù)列(aj為等差數(shù)列的充要條件是an是關(guān)于n的一次函數(shù)(dWO)或常數(shù)(d=0).

⑹數(shù)列(a?｝為等差數(shù)列的充要條件是S?=An2+Bn(A、B為常數(shù)).

注意：下面的一個重要結(jié)論可用于解選擇題和填空題：

有窮等差數(shù)列均勻分段后,各段的和也成等差數(shù)列，

即Sn,Szn-Sn,S3?-S2?,-Sk?-S(k-1)?(k22)成等差數(shù)列.

三、等比數(shù)列

1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)

列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示.

等比數(shù)列定義的數(shù)學(xué)表達式：皿=g(nGN*).

由定義知,在等比數(shù)列中,a,#0,且公比q#0.

2.表示方法：⑴定義法:絲=絲=...=皿=4；

?162%

⑵遞推法:

lan=??-!(1(n>2)'

2(n-1)

⑶通項法:ai,aiq,aiq,aiq….

(nn

3.通項公式:⑴已知首項&和公差d,則a?=aiq-.

⑵已知非首項a?(m22)和公比q,貝ijan=a?q?B>.

4.等比中項：如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.G2=abG=+.

5.前n項和公式：S“=.-T](4*1)或$“=一匚19=1).要求會推導(dǎo)！

na\(q=1)(g=l)

6.性質(zhì)：⑴在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項等距離的兩項積相等,且等于首末兩項的積.

即aia“=aza”-1=asan-2=???=aua”-1；

⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q￡N*),則a,"a“=aPaq；

⑶等比數(shù)列中除首項外的每一項a.(nN2)都是到它距離相等的兩項的等比中項,

2aa

即a?=a?-ka,,+h(n>k),或au=±4n+k-n-k；

注意：下面的一個重要結(jié)論可用于解選擇題和填空題：

有窮等比數(shù)列咫勻分較后,各段的和也成等比數(shù)列，

即S,?S2n-S,?S3?-S2?,-Sk?-S(k-1)n(k22)成等比數(shù)列.

四、特殊數(shù)列求和的方法：

倒序法、通項分解法、錯位相減法、裂項法等.

第四章三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)

一、概念

1、角。

正角負角零角O

象限角O

終邊相同的角。

2、角度制；弧度制

1弧度角的規(guī)定。

任意圓中圓心角弧度的算法=

3、三角函數(shù)值的定義。

單位圓;有向線段

三角函數(shù)線。

4、三角函數(shù)值的符號判定：

三角函數(shù)象限第一象限第二象限第三象限第四象限

sinx

cosx

tanx

5、正弦型函數(shù)y=Asin(ax+e)中:

振幅；周期；頻率、

相位；初相.

6、反三角函數(shù)：

(1)若xe[-,則sinx=a(|a區(qū)1)=x=arcsina

(2)若xe[O,;r],貝iJcosx=a(|a|Wl)ox=arccosa

(3)若xe(一三二)，則tanx=a(aeR)ox=arctana

22

二、公式

1、有關(guān)概念的公式：

終邊相同的兩角；任意圓中圓心角弧度大?。?/p>

角度與弧度的換算公式；

扇形的幾個面積計算公式，

2、誘導(dǎo)公式：

A組(函數(shù)名不變，符號看象限)

(l)sin(A>36GP+a)=,cos(A:-360P+a)=,tan&?36(P+a)=

(2)sin(?+cz)=,cos(zr+a)=,tan(r+cz)=,

(3)sin(7r-?)=,cos(zr-a)-,tan〃一a)=,

(4)sin(-a)=,cos(-?)=,tan^-?)=,

(5)sin(2萬一a)=,cos(2%-a)=,tan(2萬一a)=,

B組(函數(shù)名要變，符號看象限)

(1)sin(9CP—ot)-,cos(9(F-?)-,tan0CF-?)-,

(2)sin(9(T+a)=,cos(9(T+a)=,tan9(P+a)=-------,

(3)sin(27CP+a)=,cos(27GP+a)=,tanQ70P+a)=-------

(4)sin(270P-a)=,cos(270P-a)=,tan(270P-a)=-------

3、同角三角函數(shù)間的關(guān)系公式

(1)平方關(guān)系；；----------------0

(2)商數(shù)關(guān)系；。

(3)倒數(shù)關(guān)系；；----------------°

4、直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式°

5、兩角和與差的三角函數(shù)及變形公式：

(1)sin(tz+)3)=；tanQ±Q)=；cos(e±Q)=

(2)tana+tanQ=,tana—tan?=------------------

6、二倍角公式：

sin2a=；cos2e==---------=----------；tan2a

(1)降幕公式：sin2x=；cos2x=------------；tan-2x=

(2)半角公式：

X

7*、積化和、差公式：

sin?cos^=；cosa-sin/?=-------------

cost-cos'=-sina-sin/?=-------------

8*、和差化積公式：

sina+sin尸=：sina-sin0=-----------------'

cosa+cos/?=；cosa—cos^=-----------------

9、同名三角函數(shù)值相等的角的關(guān)系公式：

sina=sin夕=--------------------------------------------------'

cosa=cos/70'

tana=tan____'

10*、反三角函數(shù)的有關(guān)公式：(主要搞清楚下列公式中x的含義及范圍)

(!)sin(arcsin%)=x；cos(arccost)=x；tan(arctaa)=x

(2)arcsin(simr)=x；arccos(cosr)=x；arctan(taix)=x

三、解題方法、技巧

1、判斷兩個角的集合間的關(guān)系:

2、求兩個集合的交集：

(1)當(dāng)兩個集合都是角的集合時。

(2)當(dāng)兩個集合都是“普通”實數(shù)集合時。

(3)當(dāng)一個是角集合而另一個是“普通”實數(shù)集合時o

3、三角函數(shù)式的化簡、證明過程中常用的方法與技巧：

(1)消“1”；(2)化T；(3)切、割化弦.

4、求任意角的三角函數(shù)值步驟：

(1)(2)(3)“

5、三角函數(shù)式的化簡、證明過程的巧配角：

(1)未知角用已知角來表示；(2)非特殊的角用特殊角來表示。

6、對三角函數(shù)式的化簡、證明問題的特征分析：

(1)對角的特征分析(2)對函數(shù)名稱進行分析(3)對基指數(shù)進行分析。

7、根據(jù)已知條件求角的大小的方法：

(1)選取恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)求值；(2)根據(jù)角的范圍得角的大小(在求、判斷角的范圍時有時要根據(jù)三角

函數(shù)值去逼出角在一個更小的范圍才能求角的大小)。

8、把asinx+人cosx引入輔助角化成一?個角的三角函數(shù)：

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________O

(把三角函數(shù)式化成一個角的三角函數(shù)是求周期、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最值的較佳方法)

9、sinx±cosx與sinxcosx的關(guān)系：。

10、題型

(1)J1+sinx=(2)J1-sinx=(3)VT+cosx=(4)

Jl-cosx=(5)cosacos2?cos4?cos8?cosl6a-

11、三角函數(shù)值大小的比較：

(1)用誘導(dǎo)公式把角化到該三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間(或干脆化成銳角)；

(2)再由單調(diào)性進行大小比較。

12、三角函數(shù)不等式的解法：

A類方法-----利用單位圓中的三角函數(shù)線求解：

(1);

(2).

B類方法------利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象求解：

(1);

(2)?

13、將正弦函數(shù)y=sinx變成正弦型函數(shù)｝?=Asinx(5+Q)的過程：

_____________________________________________________________O

(如果是正弦型函數(shù)變正弦型函數(shù)那么要用上學(xué)期學(xué)的圖象變換方法)

14、根據(jù)正、余弦型函數(shù)的圖象寫解析式的方法：

(1)；(2)。

15、求三角函數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：____________________________________

________________________________O

16、已知三角函數(shù)值求角的方法:

(1)；(2)；(3)o