第04講隨機事件頻率與概率（教師版）

第04講隨機事件、頻率與概率（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第3題,5分抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算分步乘法計數(shù)原理及簡單應用實際問題中的組合計數(shù)問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】隨機事件的定義區(qū)分必然事件、不可能事件、互斥事件與對立事件3.理解頻率與概率的意義【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般結(jié)合后面學的互斥事件、獨立事件及概率的相關計算一起考查，需強化概念理解知識講解1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．考點一、事件的判斷1．（2022·全國·高三專題練習）以下事件是隨機事件的是（

）A．標準大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件的概念判斷即可【詳解】解：A．標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）以下現(xiàn)象中不是隨機現(xiàn)象的是（

）．A．在相同的條件下投擲一枚均勻的硬幣兩次，正反兩面都出現(xiàn)B．明天下雨C．連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點D．平面四邊形的內(nèi)角和是360°【答案】D【分析】根據(jù)隨機現(xiàn)象的定義進行判斷即可.【詳解】因為平面四邊形的內(nèi)角和是360°是一個確定的事實，而其他三個現(xiàn)象都是隨機出現(xiàn)的，所以選項D不符合題意，故選：D3．（2022·浙江·高三專題練習）有兩個事件，事件拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù)；事件人中至少有人生日相同.下列說法正確的是（

）A．事件、都是隨機事件 B．事件、都是必然事件C．事件是隨機事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是隨機事件【答案】C【解析】判斷事件、的類型，由此可得出結(jié)論.【詳解】對于事件，拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面的點數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，則事件為隨機事件；對于事件B，一年有天或天，由抽屜原理可知，人中至少有人生日相同，事件為必然事件.故選：C.【點睛】本題考查事件類型的判斷，屬于基礎題.4．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A是集合B的真子集，則下列關于非空集合A，B的四個命題：①若任取，則是必然事件；②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】、由題意作出韋恩圖，結(jié)合必然事件、不可能事件和隨機事件的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】因為集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：對于①：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；對于②：任取，則是隨機事件，故②不正確；對于③：因為集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取，則是隨機事件，故③正確；對于④：因為集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故④正確；所以①③④正確，正確的命題有3個．故選：C．5．（2022·全國·高三專題練習）（多選）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是必然事件【答案】ABC【分析】由隨機事件、不可能事件、必然事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；對于B，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；對于C，因為只有2張藍色卡片，從中任取3張卡片，所以事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件，故C正確；對于D，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D不正確.故選：ABC.1．（2023·全國·高三專題練習）下列事件中不是確定事件的個數(shù)是（

）①從三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；②水中撈月；③守株待兔；④某地區(qū)明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件的定義分析判斷即可【詳解】三角形三條高線一定交于一點，則①是必然事件；②水中撈月是不可能事件；③守株待兔是隨機事件，不是確定事件；④某地區(qū)明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是隨機事件，不是確定事件.故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）下列事件：（1）在標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰；（2）平面三角形的內(nèi)角和是180°；（3）騎車到十字路口遇到紅燈；（4）某人購買福利彩票5注，均未中獎；（5）沒有水分，種子發(fā)芽了．其中隨機事件的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件的定義進行判斷即可.【詳解】事件（1）是基本事實，因此是確定事件；事件（2）是基本事實，因此它是確定事件；事件（3、（4）是隨機出現(xiàn)，是隨機事件；事件（5）是不可能事件，故選：B3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件【答案】C【分析】根據(jù)隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.【詳解】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；在B中，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；在C中，事件“至少有一張藍色卡片”是隨機事件，故C錯誤；在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D正確．故選：C．4．（2023秋·四川宜賓·高三四川省興文第二中學校?？奸_學考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個白色球”是必然事件D．事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件【答案】C【分析】對事件分類，利用隨機事件的定義直接判斷即可．【詳解】因為袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，所以從中任取4個球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個白色球”是隨機事件，故C錯誤；事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件，故D正確．故選：C5．（2023·全國·高三對口高考）給出下列四種說法：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當x為某一實數(shù)時可使”是不可能事件；③“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件；④從裝有8個紅球，6個白球的袋中任取2球，事件“至少有一個白球”和“都是紅球”是兩個對立事件；其中不正確說法的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)事件的分類，以及對立事件的定義，即可判斷選項.【詳解】①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”正確，所以是必然事件；故①正確；②不存在，使，“當x為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件；故②正確；③“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件；故③正確；④根據(jù)對立事件的定義，可知事件“至少有一個白球”的對立事件是一個白球都沒有，即都是紅球，故④正確；故選：A考點二、事件的關系和運算1．（2022·全國·高三專題練習）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】合理設出事件，從而得到事件A，B，C三者的關系.【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．A與B互斥且為對立事件 B．B與C互斥且為對立事件C．A與C存在有包含關系 D．A與C不是對立事件【答案】A【分析】將取出的三件產(chǎn)品分類為M=“三件產(chǎn)品全是正品”，N=“兩件正品，一件次品”，P=“一件正品，兩件次品”，Q=“三件產(chǎn)品全是次品”，進而根據(jù)題意得到答案.【詳解】取出的三件產(chǎn)品分類為M=“三件產(chǎn)品全是正品”，N=“兩件正品，一件次品”，P=“一件正品，兩件次品”，Q=“三件產(chǎn)品全是次品”，它們之間兩兩互斥.于是A=M，B=Q，，所以A與B互斥但不對立，A錯誤；B,C,D正確.故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習）擲一個骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)記是事件的對立事件，求，，，．【答案】(1)，.(2)，．(3)，，，．【分析】（1）根據(jù)交事件（積事件）的概念求解即可；（2）根據(jù)并事件（和事件）的概念求解即可；（3）根據(jù)對立事件與交事件、并事件運算求解即可.【詳解】（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．4．（2022·全國·高三專題練習）（多選）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【答案】ABC【分析】根據(jù)試驗過程，分析出事件A、B、C、D的含義，對四個選項一一判斷.【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.故選：ABC.5．（2022·全國·高三專題練習）（多選）拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，定義以下事件：“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)為4”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由事件的基本關系及運算依次判斷即可.【詳解】對于A，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)大于2”，顯然，A正確；對于B，“點數(shù)為4”，“點數(shù)大于3”，，B正確；對于C，由A選項知，，則，C錯誤；對于D，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，顯然不能同時發(fā)生，則，D正確.故選：ABD.1．（2022·全國·高三專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A表示隨機事件“兩枚炮彈都擊中飛機”，事件B表示隨機事件“兩枚炮彈都未擊中飛機”，事件C表示隨機事件“恰有一枚炮彈擊中飛機”，事件D表示隨機事件“至少有一枚炮彈擊中飛機”，則下列關系不正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)試驗過程，分析出事件A、B、C、D的含義，對四個選項一一判斷.【詳解】“至少有一枚炮彈擊中飛機”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機，，，“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒擊中或第一枚沒擊中第二枚擊中，所以，又包含該試驗的所有樣本點，為必然事件，而事件表示“兩個炮彈都擊中飛機或者都沒擊中飛機”，所以.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】根據(jù)事件的關系逐個判斷即可.【詳解】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A【點睛】本題主要考查了事件的基本關系,屬于基礎題型.3．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關系式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)事件關系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.【詳解】由題可得：①，正確；②事件“靶被擊中”，表示甲乙同時擊中，，所以②錯誤；③，正確，④表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤，正確；⑥互為對立事件，，正確；⑦，所以⑦不正確．正確的是①③⑤⑥．故選：B【點睛】此題考查事件關系和概率關系的辨析，需要熟練掌握事件的關系及其運算，弄清事件特征及其概率特征準確辨析.4．（2023·全國·高三專題練習）（多選）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件以及利用和事件、積事件的定義進行判斷.【詳解】對于A選項，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；對于B選項，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數(shù)包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；對于C選項，事件A和B不可能同時發(fā)生，即事件，故C錯誤；對于D選項，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯誤．故選：AB．5．（多選）（2023·全國·高三專題練習）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】記{有枚硬幣正面向上}，，則，結(jié)合事件的關系和運算逐項分析判斷.【詳解】記{有枚硬幣正面向上}，，則，對于選項A：因為，故A錯誤；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，故C正確；對于選項D：因為，故D正確；故選：CD.考點三、頻率與概率1．（2022·全國·高三專題練習）A表示事件“正面向上”，則A的（

）A．頻率為 B．概率為 C．頻率為 D．概率接近【答案】A【分析】根據(jù)頻率和概率的知識確定正確選項.【詳解】依題意可知，事件的頻率為，概率為.所以A選項正確，BCD選項錯誤.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）【答案】B【分析】根據(jù)頻率的計算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.【詳解】某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為,由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是,故出現(xiàn)正面朝上的概率為,故選︰B．3．（2022·全國·高三專題練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（

）【答案】D【分析】直接利用頻率的公式求解.【詳解】由題得這個人中靶的次數(shù)為2+3+4=9，所以此人中靶的頻率是.故選：D4．（2022·浙江·高三專題練習）某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：射擊次數(shù)501002004001000射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（

）【答案】C【分析】利用頻率估計概率即可求解.【詳解】大量重復試驗，由表格知射擊運動員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在，所以這名運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為，故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.【詳解】由已知可得這家健身房的總好評率為.故選：B.1．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）【答案】D【分析】利用概率的定義求解.【詳解】解：由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，取到優(yōu)秀成績的概率為，故選：D2．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）某機構(gòu)對某銀行窗口服務進行了一次調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：等待時間（分鐘）人數(shù)48742則估計顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是（

）【答案】D【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接求解【詳解】由題意可得顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是．故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學這兩場投籃的命中率為（）A．72% B．74% C．75% D．76%【答案】B【分析】根據(jù)題意可直接計算.【詳解】該同學這兩場投籃的命中率為.故選：B.4．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預測）某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)45253818以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則x=（

）A．100 B．300 C．400 D．600【答案】B【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表確定概率【詳解】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為，所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.1.故選：B．5．（2022·全國·高三專題練習）某同學做立定投籃訓練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的估計是（

）【答案】D【分析】由頻率和概率的關系求解.【詳解】解：由題可知，試驗次數(shù)越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越?。蔬x：D．【基礎過關】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（

）.A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不會發(fā)生；D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生．【答案】A【分析】理解諺語的描述，應用數(shù)學概率知識改寫即可.【詳解】“不怕一萬，就怕萬一”表示小概率事件很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；故選：A2．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）明明同學打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有兩次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件的概念分析判斷.【詳解】樣本空間為：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，所以選項B、C、D中的事件與事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”與事件“至少有一次中靶”互斥，故A正確，B、C、D錯誤；故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習）袋內(nèi)有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立【答案】A【分析】根據(jù)相互獨立和互斥的定義即可判斷，或者根據(jù)概率的乘法公式驗證也可判斷相互獨立.【詳解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的結(jié)果對第二次摸球的結(jié)果沒有影響，故與，與C均相互獨立．而與，與均能同時發(fā)生，從而不互斥．方法二：標記1，2，3表示3個白球，4，5表示2個黑球，全體樣本點為，用古典概型概率計算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以與相互獨立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以與相互獨立．故選:A．4．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅?黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是.故選：C5．（2023·全國·高三對口高考）下列說法正確的是（

）A．互斥事件一定是對立事件C．若彩票中獎概率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎D．必然事件的概率為1【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系可知A選項錯誤；由隨機事件概率的性質(zhì)可知某事件的概率不可能大于1，即B錯誤；根據(jù)互斥事件概率的計算公式可知，買1000張這種彩票也不一定能中獎，即C錯誤；由必然事件的概念可得D正確.【詳解】對于A，互斥事件和對立事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生第三種情況，所以互斥事件不一定是對立事件，即A錯誤；對于B，根據(jù)隨機事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為，即B錯誤；對于C，根據(jù)隨機事件的概率可知，買1000張這種彩票也會有的可能性不中獎，所以C錯誤；對于D，根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即D正確；故選：D6．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）【答案】D【分析】利用概率的定義求解.【詳解】解：由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，取到優(yōu)秀成績的概率為，故選：D7．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？奸_學考試）在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，則下列說法正確的是（

）A．“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件B．“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”是互斥事件C．“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，也是對立事件D．“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，結(jié)合題意逐項檢驗即可求解.【詳解】“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故A錯誤；“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故B錯誤；“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，不是對立事件，故C錯誤；“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件，故D正確.故選：D.8．（2023春·四川成都·高三成都七中校考開學考試）在手工課上，老師將藍、黑、紅、黃、綠5個紙環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人分得1個，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（

）．A．對立事件 B．不可能事件C．互斥但不對立事件 D．不是互斥事件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念求解即可.【詳解】甲、乙不可能同時得到紅色，故這兩件事是互斥事件.又因為甲、乙可能都拿不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事件，所以這兩件事不是對立事件.故選：C9．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學 B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學 D．恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.【詳解】從裝有2本數(shù)學和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學”是對立事件，故A錯誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關系，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學”包含事件：“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.故選:D.10．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關系中，說法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【答案】D【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.【詳解】一個人連續(xù)射擊次，其可能結(jié)果為擊中次，擊中次，擊中次，其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯誤；事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，事件“第二次擊中”包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時發(fā)生，故C錯誤；事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；故選：D11．（2023·全國·高三專題練習）池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6.現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十個整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當天下雨，6，7，8，9表示當天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下40組四位隨機數(shù)：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意找出0～5的整數(shù)恰出現(xiàn)3次的四位數(shù)的組數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得出答案.【詳解】解：在40組四位隨機數(shù)中，0～5的整數(shù)恰出現(xiàn)3次的四位數(shù)有16組，故四天中恰有三天下雨的概率的估計值為.故選：B.12．（2023·全國·高三專題練習）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對立 B．事件A與事件互斥且對立C．事件與事件相互獨立 D．事件A與事件相互獨立【答案】D【分析】先列出生3個小孩包含的基本事件數(shù)及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件數(shù)，再利用互斥，對立和獨立事件所滿足的關系，對四個選項一一作出判斷.【詳解】生3個小孩的總事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8個基本事件，事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6個基本事件，事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4個基本事件，事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4個基本事件，A選項，因為，，所以事件與事件互斥且對立，A錯誤；B選項，因為，所以事件A與事件B不互斥，不對立，B錯誤；C選項，因為，所以，又，故，故事件與事件不獨立，C錯誤；D選項，因為有3個基本事件，所以，又，所以，D正確.故選：D13．（2023·全國·高三專題練習）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與至少有一個紅球C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球D．至少有一個黑球與都是紅球【答案】C【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，不正確；對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，不正確；對于：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，正確；對于：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，不正確；故選：.二、多選題14．（2023春·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學校考階段練習）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（

）A．與不互斥且相互獨立 B．與互斥且不相互獨立C．與互斥且不相互獨立 D．與不互斥且相互獨立【答案】ABD【分析】根據(jù)事件的互斥與獨立的定義對選項一一驗證即可.【詳解】對于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥；故A正確；對于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故B正確；對于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；對于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會影響兩次點數(shù)之和的奇偶，即與相互獨立；若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.15．（2023·全國·高三專題練習）從1，2，3，，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（

）A．“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)” B．“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”C．“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)” D．“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”【答案】AD【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷即可.【詳解】從1~9中任取三數(shù)，按這三個數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：（1）三個均為奇數(shù)；（2）兩個奇數(shù)一個偶數(shù)；（3）一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；（4）三個均為偶數(shù)，所以選項A、D是互斥但不是對立事件，選項C是對立事件，選項B不是互斥事件.故選：AD.三、填空題16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）在一次全運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽．羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率．為此，用計算機產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6．由于要比賽三局，所以每3個隨機數(shù)為一組．例如，產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：423

231

423

344

114

453

525

323

152

342345

443

512

541

125

342

334

252

324

254相當于做了20次重復試驗，用頻率估計甲獲得冠軍的概率的近似值為．【答案】【分析】由20組隨機數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進而可得答案【詳解】解：由題意可知，20組隨機數(shù)中甲獲勝的有：423

231

423

114

323

152

342

512

125

342

334

252

324有13組，所以甲獲勝的頻率為，所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為，故答案為：【點睛】此題考查頻率與概率的關系，屬于基礎題17．（2023春·河北保定·高三校考階段練習）袋子中有四個小球，分別寫有“中?華?民?族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為.【答案】【分析】利用古典概型的隨機數(shù)法求解.【詳解】由隨機產(chǎn)生的隨機數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故答案為：18．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為．（小數(shù)點后保留一位小數(shù)）【分析】以頻率估計概率，直接運算求解即可.【詳解】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，所以摸到紅球概率的估計值為.19．（2023·全國·高三專題練習）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：據(jù)此估計，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為.【分析】確定隨機數(shù)組中以恰有兩個數(shù)字是2，4，6，8，再由概率公式計算．【詳解】由題意，隨機數(shù)組421，292，274，632，478，663共6個，表示恰有兩次命中十環(huán)，所以概率為．故答案為：0.3．20．（2022秋·新疆阿克蘇·高三?？计谀版I盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網(wǎng)絡上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有人．【答案】【分析】求出在隨機抽取的50人中，持反對態(tài)度的有36人，即可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的人數(shù).【詳解】由題意，在隨機抽取的50人中，持反對態(tài)度的有36人，故可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的約有.故答案為：.【能力提升】一、單選題1．（2022秋·江蘇揚州·高三揚州中學校考階段練習）對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥且不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關系，根據(jù)與的關系判斷事件是否獨立.【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；由，A、D互斥且對立，B錯誤；又，，則，C與D不互斥，C錯誤；由，，，所以，即A與C相互獨立，D正確.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中正確的是（

）A．事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率B．一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，說明這個骰子擲6次一定會出現(xiàn)一次3點C．擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件為“兩枚都是正面朝上”，則D．對于兩個事件、，若，則事件與事件互斥【答案】C【解析】根據(jù)頻率與概率的關系判斷即可得A選項錯誤；根據(jù)概率的意義即可判斷B選項錯誤；根據(jù)古典概型公式計算即可得C選項正確；舉例說明即可得D選項錯誤.【詳解】解：對于A選項，頻率與實驗次數(shù)有關，且在概率附近擺動，故A選項錯誤；對于B選項，根據(jù)概率的意義，一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，表示一次實驗發(fā)生的可能性是，故骰子擲6次出現(xiàn)3點的次數(shù)也不確定，故B選項錯誤；對于C選項，根據(jù)概率的計算公式得，，故，故C選項正確；對于D選項，設，A事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，B事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，顯然，此時A事件與B事件不互斥，故D選項錯誤.【點睛】本題考查概率與頻率的關系，概率的意義，互斥事件等，解題的關鍵在于D選項的判斷，適當?shù)呐e反例求解即可.3．（2023·全國·高三專題練習）連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為a，b，記，則下列說法正確的是（

）A．事件“”的概率為0 B．事件“”為必然事件C．事件“”與“”為對立事件 D．事件“m是奇數(shù)”與“”為互斥事件【答案】D【分析】利用列舉法和概率公式計算可知A錯誤；根據(jù)必然事件的概念可判斷B錯誤；根據(jù)互斥、對立事件的概念可知C錯誤，D正確.【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)有：，，，，，，共36種，對于A，事件“”所包含的基本事件有6個，所以概率為，故A錯誤；對于B，事件“”所包含的基本事件有0個，為不可能事件，故B錯誤；對于C，事件“”與“”可以同時發(fā)生，不是對立事件，故C錯誤；對于D，事件“m是奇數(shù)”與“”不能同時發(fā)生，所以事件“m是奇數(shù)”與“”互為互斥事件，故D正確.故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P（A）＋P（B）＝1”，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將兩個條件相互推導，根據(jù)能否推導的情況選出正確答案.【詳解】①若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；②投擲一枚硬幣3次，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是對立事件，如：事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“出現(xiàn)3次正面”，則P（A）＝，P（B）＝，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是對立事件.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查對立事件的理解，屬于基礎題.5．（2022·廣西南寧·南寧三中?？级＃难b有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，現(xiàn)有如下說法：①至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件；②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件；④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.在上述說法中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】寫出從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球的所有可能情況，再去辨析各選項的正誤，互斥事件不能有交集事件.【詳解】設兩個紅球為球a、球b，兩個黑球為球1、球2.則從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，所有可能的情況為共6種.①至少有一個黑球與都是黑球有公共事件，故二者不是互斥事件，判斷錯誤；②至少有一個黑球與至少有一個紅球有公共事件，故二者不是互斥事件，判斷正確；③恰好有一個黑球包含事件，恰好有兩個黑球包含事件，故二者是互斥事件，判斷正確；④至少有一個黑球包含事件，都是紅球包含事件，故二者是對立事件，判斷正確.故選：C6．（2022·江蘇·統(tǒng)考二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨立，與不相互獨立.故選：C7．（2022秋·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，是一組兩兩相互獨立的事件，則B．若，事件滿足，則，是對立事件C．若，是互斥事件，則D．“，是互斥事件”是“，是對立事件”的充分不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念對各個選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于選項A，例如，從1，2，3，4中隨機選出一個數(shù)字，記事件為“選出的數(shù)字為1或2”，事件為“選出的數(shù)字為1或3”，事件為“選出的數(shù)字為1或4”，則事件，，，同時發(fā)生的事件為“選出的數(shù)字為1”，因為，，所以，，，故，，是一組兩兩獨立的事件，但是，A不正確.對于選項B，例如，投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“點數(shù)為1，2，3”，事件為“點數(shù)為2，4，6”，則，但是，不是對立事件，B不正確.對于選項C，因為，是互斥事件，所以為必然事件，則，C正確.對于選項D，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，所以“，是互斥事件”是“，是對立事件”的必要不充分條件，D不正確.故選：C.8．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學校聯(lián)考期中）國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對立 B．事件與事件互斥且對立C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立【答案】D【分析】利用互斥事件、對立事件的意義可判斷選項A，B；利用獨立事件的定義可判斷C,D【詳解】有三個小孩的家庭的樣本空間可記為：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，對于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對立，故A不正確；對于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；對于C，事件有4個樣本點，事件有4個樣本點，事件有0個樣本點，，顯然有，即事件與事件不相互獨立，故C不正確；對于D，事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有3個樣本點，，顯然有，即事件與事件相互獨立，故D正確；故選：D9．（2022秋·江蘇南通·高三校考期中）對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關系，根據(jù)的關系判斷事件是否獨立.【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；由，A、D互斥且對立，B錯誤；又，，則，C與D不互斥，C錯誤；由，，，所以，即A與C相互獨立，D正確.故選：D二、多選題10．（2022秋·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┻B續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)是3的倍數(shù)”記為B事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”記為D事件，則（

）A．A與B互斥 B．C與D互斥C．A與C相互獨立 D．B與D一定不相互獨立【答案】BC【分析】由已知，根據(jù)題意，分別寫出事件A、B、C、D包含的基本事件，并計算出概率，然后根據(jù)選項一一驗證即可做出判斷.【詳解】因為拋擲一次骰子，包含6個基本事件，事件A表示結(jié)果向上的點數(shù)為1,2，所以；事件B表示第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)為3,6，所以；事件C表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以；事件D表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以；選項A，事件A與事件B會同時發(fā)生，如第一次拋1，第二次拋3，所以，事件A與事件B不互斥，該選項錯誤；選項B，由上述事件C和事件D表示的結(jié)果可知，，所以事件C與事件D互斥，該選項正確；選項C，，，表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3的概率，共有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），共6種情況，所以，所以A與C相互獨立，該選項正確；選項D，因為，，而表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)且第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率，共有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6），共6種情況，所以所以B與D相互獨立，該選項錯誤；故選：BC.11．（2022·浙江寧波·高三統(tǒng)考競賽）一個裝有8個球的口袋中，有標號分別為1，2的2個紅球和標號分別為1，2，3，4，5，6的6個藍球，除顏色和標號外沒有其他差異．從中任意摸1個球，設事件“摸出的球是紅球”，事件“摸出的球標號為偶數(shù)”，事件“摸出的球標號為3的倍數(shù)”，則（

）A．事件A與事件C互斥B．事件B與事件C互斥C．事件A與事件B相互獨立D．事件B與事件C相互獨立【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的判斷方法可得CD的正誤.【詳解】對AB，若摸得的球為紅球，則其標號為1或2，不可能為3的倍數(shù)，故事件A與事件C互斥，故A正確；若摸得的球的標號為6，則該標號為3的倍數(shù)，故事件B與事件C不互斥，故B錯誤；對C，，所以C正確；對D，，所以D正確；故選：ACD．12．（2023·全國·高三專題練習）某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出事件A，B的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項A，B，C都正確，選項D不正確.故選：ABC.13．（2021秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A．事件M發(fā)生的概率為 B．事件M與事件N互斥C．事件M與事件N相互獨立 D．事件發(fā)生的概率為【答案】AC【分析】A應用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定義，結(jié)合題設描述判斷；C判斷是否成立即可；D應用對立事件的概率求法求發(fā)生的概率即可判斷.【詳解】由題設知：，A正確；由：“第一次向下的數(shù)字為3或4”與：“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，而發(fā)生同時也有可能發(fā)生，故不是互斥事件，B錯誤；因為，而，故，即事件M與事件N相互獨立，C正確；，表示“第一次向下的數(shù)字為1或2”且“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，故，所以，D錯誤.故選：AC.14．（2022·全國·高三專題練習）下列說法不正確的是（

）A．若A，B為兩個事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件B．若A，B為兩個事件，則C．若事件A，B，C兩兩互斥，則D．若事件A，B滿足，則A與B相互對立【答案】BCD【分析】A.“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.,所以該選項錯誤；C.舉反例說明不一定成立，所以該選項錯誤；D.舉反例說明A與B不對立，所以該選項錯誤.【詳解】解：A.若A，B為兩個事件，“A與B互斥”則“A與B不一定相互對立”；“A與B相互對立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.若A，B為兩個事件，則,所以該選項錯誤；C.若事件A，B，C兩兩互斥，則不一定成立，如：擲骰子一次，記向上的點數(shù)為1，向上的點數(shù)為2，向上的點數(shù)為3，事件A，B，C兩兩互斥，則.所以該選項錯誤；D.拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是，擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足，但是A與B不對立，所以該選項錯誤.故選：BCD15．（2022秋·福建福州·高三福建師大附中校考階段練習）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（

）A．與互為對立 B．與互斥C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】ACD【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、相互獨立事件的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】先編號：紅球為，白球為，不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.A選項，，所以與互為對立事件；B選項，，所以與不是互斥事件；C選項，事件“”，所以，所以與相互獨立，所以C選項正確.D選項，事件“”，，所以與相互獨立，所以D選項正確.故選：ACD16．（2022·山東濟南·濟南市歷城第二中學校考模擬預測）一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（

）A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【分析】判斷各選項中的事件是否有同時發(fā)生的可能，即可確定答案.【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；故選：AD17．（2022秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“兩次都中靶”，丁表示事件“兩次都不中靶”，則（

）A．甲與乙是互斥事件 B．乙與丙是互斥事件C．乙與丁是對立事件 D．甲與丁是對立事件【答案】BD【分析】分別寫出各事件包含的基本事件，再結(jié)合互斥與對立事件的概念依次討論求解即可.【詳解】解：一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，其基本事件有：兩