新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1第1課時(shí)等式不等式與比較大小課件

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)

等式、不等式與比較大小課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過具體情境感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.理解不等式的概念.3.學(xué)習(xí)用不等式(組)來描述不等關(guān)系,了解不等式(組)是研究不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具,理解不等式(組)對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.4.掌握作差法比較數(shù)或式大小的步驟.5.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、不等式與不等關(guān)系【問題思考】1.給出下列問題:(1)今天的天氣預(yù)報(bào)說:明天早晨的最低溫度為7℃,白天的最高溫度為13℃;(2)△ABC的任意兩邊之和大于第三邊.你能用不等式(組)表示上述兩個(gè)問題的不等關(guān)系嗎?提示:(1)設(shè)明日白天的氣溫為t,則7≤t≤13(單位:℃).2.填空:我們經(jīng)常用不等式來研究含有不等關(guān)系的問題,常用的不等號有

>、<、≤、≥、≠.3.做一做:某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h,正常行駛過程中,同一車道上的車間距d不得小于50m.用不等式表示為(

)解析:考慮實(shí)際意義,知v≤120

km/h,且d≥10

m.答案:B二、用作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小【問題思考】1.想一想,怎樣比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小?提示:用作差法.2.填空:對于任意的實(shí)數(shù)a,b,有以下基本事實(shí):a>b?a-b>0;a=b?a-b=0;a<b?a-b<0.從這三條基本事實(shí)可知,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.3.做一做:已知x<1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為

.

解析:x2+2-3x=(x-2)(x-1),∵x<1,∴x-2<0,x-1<0,∴x2+2-3x>0,∴x2+2>3x.答案:x2+2>3x三、不等式:?a,b∈R,a2+b2≥2ab【問題思考】如圖(1)是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo),將其抽象成如圖(2)的形式.設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a,b(a≠b),那么正方形的邊長為圖(1)圖(2)1.根據(jù)抽象的圖形,你能從中得到一個(gè)什么樣的不等關(guān)系?提示:由正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和,得到不等式a2+b2>2ab.2.當(dāng)中間的四邊形EFGH縮為一點(diǎn),即四個(gè)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí),可以得到什么結(jié)論?結(jié)合問題1你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:a2+b2=2ab;由問題1,2,可得a2+b2≥2ab.3.你能用兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí),證明上述發(fā)現(xiàn)嗎?提示:能,由a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,得a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.4.填空:一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)

a=b時(shí),等號成立.5.做一做:若x2+y2=4,則xy的最大值是(

)答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(√)(2)實(shí)數(shù)x不大于3,用不等式表示為x<3.(×)(3)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只能用作差法.(×)(4)對任意實(shí)數(shù)x,y∈R,x2+y2≥2xy.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】

《鐵路旅行常識》規(guī)定:“一、隨同成人旅行身高1.2~1.5米的兒童,享受半價(jià)客票(以下稱兒童票),超過1.5米時(shí),應(yīng)買全價(jià)票.每一成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.2米的兒童,超過一名時(shí),超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票.……十、旅客免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是:每件物品的外部尺寸長、寬、高之和不超過160厘米,桿狀物品不超過200厘米,重量不超過20千克……”設(shè)身高為h(米),物品外部尺寸長、寬、高之和為P(厘米),請用不等式表示下表中的不等關(guān)系.解析:身高在1.2~1.5米之間可表示為1.2≤h≤1.5;身高超過1.5米可表示為h>1.5;身高不足1.2米可表示為0<h<1.2;物體長、寬、高之和不超過160厘米可表示為P≤160.答案:1.2≤h≤1.5

h>1.5

0<h<1.2

P≤160反思感悟1.用不等式表示不等關(guān)系時(shí),要注意體會關(guān)鍵詞的含義,如本例中的“在……之間”“不足”“不超過”等,對于實(shí)際問題不要漏掉隱含條件.

2.文字語言與數(shù)學(xué)符號語言之間的轉(zhuǎn)換.

將實(shí)際問題中的不等關(guān)系寫成對應(yīng)的不等式時(shí),問題中關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號語言之間的正確轉(zhuǎn)換,關(guān)系到是否能正確地用不等式表示出不等關(guān)系.3.常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)換【變式訓(xùn)練1】

用不等式表示下列關(guān)系:(1)x為非負(fù)數(shù);(2)x為實(shí)數(shù),而且大于1不大于6;(3)x與y的平方和不小于2,而且不大于10.解:(1)x≥0.(2)x∈R,且1<x≤6.(3)2≤x2+y2≤10.探究二

用作差法比較兩數(shù)(式)的大小【例2】

已知x>1,比較x3-1與2x2-2x的大小.分析:(1)用作差法比較大小.(2)作差后利用因式分解判斷符號.將例題中的“x>1”改為“x∈R”,試比較x3-1與2x2-2x的大小.解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),∴當(dāng)x>1時(shí),(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;當(dāng)x=1時(shí),(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;當(dāng)x<1時(shí),(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.反思感悟1.本題采用的是作差法比較大小,一般地,涉及兩個(gè)代數(shù)式比較大小,常用作差法.2.作差法比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小可以歸納為“三步一結(jié)論”,即作差→變形→定號→結(jié)論.其中變形為關(guān)鍵,定號為目的.一般變形得越徹底,越有利于下一步的判斷.在定號時(shí),若為幾個(gè)因式的積,則需對每個(gè)因式均先定號,當(dāng)符號不確定時(shí),需進(jìn)行討論.探究三

實(shí)際應(yīng)用題【例3】

某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車隊(duì)說:“若領(lǐng)隊(duì)買一張全票,則其余人可享受7.5折優(yōu)惠.”乙車隊(duì)說:“你們屬團(tuán)體票,按原價(jià)的8折優(yōu)惠.”這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的,試根據(jù)該單位去的人數(shù),比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠?解:設(shè)該單位職工有n人(n∈N*),全票價(jià)為x元,坐甲車需花y1元,坐乙車需花y2元,當(dāng)n=5時(shí),y1=y2;當(dāng)n>5時(shí),y1<y2;當(dāng)n<5時(shí),y1>y2.所以當(dāng)該單位去的人數(shù)為5人時(shí),兩車隊(duì)收費(fèi)相同;多于5人時(shí),選甲車隊(duì)更優(yōu)惠;少于5人時(shí),選乙車隊(duì)更優(yōu)惠.反思感悟1.本題采用先建模再比較的方法,這是解答此類實(shí)際問題的常用方法.2.(1)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是理解好每一個(gè)名詞的含義,留意每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的意義,注意實(shí)際意義對變量取值范圍的限制.(2)解決決策優(yōu)化型的實(shí)際問題,首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè),然后確定在各種決策下該量分別是多少,最后用作差法(或其他方法)比較它們的大小即可.3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【變式訓(xùn)練3】

建筑設(shè)計(jì)規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個(gè)比值越大,住宅的采光條件就越好.試問:同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.易

錯(cuò)

辨

析因忽視配方法在判斷符號中的應(yīng)用致錯(cuò)【典例】

若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小關(guān)系不確定錯(cuò)解:因?yàn)锳-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小關(guān)系不確定.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:B防范措施1.用作差法比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小時(shí),其關(guān)鍵是變形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段變形,這樣有利于定號.特別是作差后的式子為二次三項(xiàng)式時(shí),?？紤]因式分解或配方法變形.2.注意培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【變式訓(xùn)練】

若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1>y2 B.y1=y2C.y1<y2 D.隨x值變化而變化解析:∵y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴y1>y2.答案:A隨

堂

練

習(xí)1.下面能表示“m與n的和是非正數(shù)”的不等式為(

)A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0答案:C2.設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.與x的取值有關(guān)答案:A4.一單位的甲、乙、丙三人出差A(yù)城辦事;在安排住宿時(shí),他們有三種住宿方案可供選擇:(1)三人同住一套間;(2)二人住標(biāo)準(zhǔn)間(雙人間)、一人住單間;(3)三人各住一個(gè)單間.若賓館方面對每個(gè)套間、每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間及單間的標(biāo)價(jià)分別為300元、160元和60元;同時(shí)對客戶實(shí)行打折優(yōu)惠,但這三