2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)必修4全冊(cè)導(dǎo)學(xué)案蘇教版

2017^2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)

必修4全冊(cè)導(dǎo)學(xué)案匯編

目錄

1.1.1任意角.........................................1

1.1.2弧度制.........................................5

1.2.1任意角的三角函數(shù)............................9

1.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系..............................14

1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式...........................20

1.3.1三角函數(shù)的周期性...........................25

1.3.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)........................29

1.3.3函數(shù)y=Asin（cox+（p）的圖象..................36

1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用...............................42

2.1向量的概念及表示...............................47

2.2向量的線(xiàn)性運(yùn)算.................................51

2.3向量的坐標(biāo)表示.................................55

2.4向量的數(shù)量積...................................61

2.5向量的應(yīng)用.....................................65

3.1.1兩角和與差的余弦...........................72

3.1.2兩角和與差的正弦..............................77

3.1.3兩角和與差的正切.............................82

3.2二倍角的三角函數(shù)...............................87

3.3幾個(gè)三角恒等式.................................93

1.1.1任意角

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

1.任意角的概念和象限角的概念

(7

【例1】若a是第四象限角，那么上是第幾象限角？

2

思路分析:運(yùn)用直角坐標(biāo)系內(nèi)角的表示及不等式性質(zhì)，先用不等式把第四象限的角表示出來(lái),

然后再確定處的范圍.

2

解：是第四象限角.

.\270°+k?3600<a<360°+k?360°(k?Z),則有，

135°+k?1800<—<180°+k?180°(keZ).

2

(X

當(dāng)k=2n(ndZ)時(shí)，135°+n?360°<—<180°+n?360°,

2

是第二象限角.

2

當(dāng)k=2n+l(nWZ)時(shí)

(Y

315°+n?360°<—<360°+n?360°，

2

，區(qū)是第四象限角.

2

綜上所述，0是第二或第四象限角.

2

溫馨提示

準(zhǔn)確表示第四象限角，再分k為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論.不要認(rèn)為。為第四象限角,

則里是第二象限角.

2

2.把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確的表示出來(lái)

【例2】用集合的形式表示與下圖中的角的終邊相同的角的集合.

思路分析：運(yùn)用兩角關(guān)系及終邊相同角解決.

解：(1)從圖①中看出，圖中兩個(gè)角的終邊在一條直線(xiàn)上.

在0。-360°范圍內(nèi)，且另一個(gè)角為225°,故所求集合為

S={B|6=45°+k?360°,keZ}U{P|B=225°+k?360°,keZ}

={B|6=45°+2k-180°,keZ}U{p0=45°+180°+2k?180°,keZ}

={0|3=45°+2k-180°,k￡Z}U{00=45°+(2k+l)?180°,kez}

1

={B|6=45°+n?180°,neZ}.

(2)從圖②中看出，圖中兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故所求集合為

S={6|8=30°+k?360°,keZ}U{0|6=330°+k?360°,k《Z}

={B|6=30°+k?360°,keZ}U{P【B=-30°+360°+k?360°,keZ}

={B|B=30°+k-360°,keZ}U{PIB=-30°+(k+1)-360°,keZ}

={B|6=±30。+n?360°,neZ}.

(3)從圖③中看出，圖中兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故所求集合為

S={B|B=30°+k?360°,keZ}U{P|0=150°+k?360°,keZ}

={B|6=30°+k?360°,keZ}U{B3=-30°+180°+2k-180°,kGZ}

={B|3=30°+2k?180°,keZ}U{PB=-30°+(2k+l)?180°,keZ}

={B|B=(-1)"?30°+n-180°,neZ}.

溫馨提示

本題求解過(guò)程中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想.兩個(gè)集合并為一個(gè)集合，應(yīng)先把兩個(gè)集合變

成一個(gè)統(tǒng)一的形式.否則，就不能并為一個(gè)集合.

3.任意角的概念

【例3】設(shè)集合M={小于90°的角},N={第一象限的角},則MAN等于()

A.{銳角}B.{小于90°的角}

C.{第一象限角}D.以上均不對(duì)

思路分析：抓住幾個(gè)有關(guān)概念的區(qū)別.

解：小于90°的角由銳角、零角、負(fù)角組成.

而第一象限角包括銳角及終邊在第一象限的角.

MAN由銳角及其終邊在第一象限的負(fù)角組成.故選D.

答案：D

溫馨提示

上述幾個(gè)概念用起來(lái)容易混淆，要加以辨別，搞清它們之間的關(guān)系.

各個(gè)擊破

類(lèi)題演練1

若a是第二象限角，上是第幾象限角？

3

解：因?yàn)閍是第二象限角，則有：

k?360°+90°<a<k?360°+180°,keZ,

(X

所以k?120°+30°<—<k?120°+60°,keZ.

3

當(dāng)k=3m(m￡Z)時(shí)，

(V所以@是第一象限角.

m?360°+30°<—<m?360°+60°m￡Z,

33

當(dāng)k=3m+l(mGZ)時(shí),

a

m-360°+150°<—<m-360°+180°m￡Z,所以上是第二象限角.

33

當(dāng)k=3m+2(m￡Z)時(shí),

?360°+270°<—<m?360°+300°mez,

m3

所以處是第四象限角.

3

2

因此上Qf是第一、二、四象限角.

3

變式提升1

己知角a是第二象限角，求角2a是第幾象限角.

解：因?yàn)閍是第二象限角，則

k?360°+90°<a<k?360°+180°,keZ,

A2k-360°+180°<2a<2k?360°+360°,keZ,

??.2a是第三或第四象限角，以及終邊落在y軸的非正半軸上的角.

類(lèi)題演練2

已知a=1690°,

(1)把a(bǔ)改寫(xiě)成p+k-360°(keZ,0°WB<360°)的形式；

(2)求。，使。的終邊與a相同，且-360°V0<360。，并判斷9屬于第幾象限.

解：(1)a=250°+4?360°(k=4,B=250°).

(2)V9與a終邊相同，

0角可寫(xiě)成250°+k?360°.

又?.?-360°<0<360°,

...-360°<250°+k?360°<360°,keZ.

解得k=T或0,

...9=-110°或250。，

二9是第三象限角.

變式提升2

(1)與-457°角終邊相同的角的集合是()

A.{a[a=k?360°+457°,kWZ}B.{a[a=k?3600+97。,keZ}

C.{a|a=k-360°+263°,kGZ}

D.{a|a=k-360°-263°,keZ}

解法1：V-457°=-2X360°+263。，.,.應(yīng)選C.

解法2：：-457°角與-97。角終邊相同,

又-97。角與263°角終邊相同，

又263°角與k?360°+263°角終邊相同，二應(yīng)選C.

答案：C

(2)已知角a、P的終邊相同，那么a-p的終邊在()

A.x軸的非負(fù)半軸上B.y軸的非負(fù)半軸上

C.x軸的非正半軸上D.y軸的非正半軸上

解析：???角a、B終邊相同.

a=k?360°+B,keZ,

作差a-B=k?360°+B-B=k?360°,keZ.

a-B的終邊在x軸的非負(fù)半軸上.

答案：A

類(lèi)題演練3

用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“銳角”“小于90°的角”

“0°—90°的角”.

解：0°—90°的角的集合為{a|0°<90°]；

第一象限角的集合為{a|k?360°<a<k?360°+90°,kGZ}；

銳角的集合為{a00<a<90°}；

3

小于90°的角的集合為｛a|a<90°）；

0°—90°的角的集合為｛a|0°WaW90°｝.

變式提升3

下列命題中，正確的是（）

A.終邊相同的角一定相等B.銳角都是第一象限角

C.第一象限的角都是銳角D.小于90°的角都是銳角

解析：終邊相同的兩個(gè)角彼此相差360。的整數(shù)倍，它們可能相等也可能不等，故排除A；

第一象限的角是指｛a|k?360。<a<k-3600+90。，k?Z｝,所以銳角組成的集合是第一

象限的角所成集合的子集，故C錯(cuò)；小于90。的角也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)；因此正確的答

案為B.

答案：B

4

1.1.2弧度制

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

1.弧度的意義，角度與弧度之間的換算

【例1】-300°化為弧度是（）

思路分析：運(yùn)用角度與弧度間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式.

解：=三弧度，

A-300°=----弧度.

3

答案：B

溫馨提示

掌握基本換算關(guān)系：180°="弧度，1弧度=（—）°弋57.30。，可以解決角度與弧

度的換算問(wèn)題.

2.弧度制的概念及其與角度的關(guān)系

【例2】用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角

的集合（不包括邊界）.

思路分析：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合表示象限角的方法，先找出終邊落在陰影邊界的兩個(gè)最小正角或

最大負(fù)數(shù).

解：（1）中0B為終邊的角為330°,可看成-30°,化為弧度，

陰影部分內(nèi)的角的集合為

TT5萬(wàn)

{o2kn——<0<2kn+——,keZ}.

612

（2）中0B為終邊的角是225°,可看成-135°,

化為弧度，即一3二4，

而135°=—.

4

陰影部分內(nèi)的角的集合為

5

{e|2kn----<e<2kn+——,keZ}.

44

溫馨提示

在表示角的集合時(shí)，一定要使用統(tǒng)一的單位，只能用角度制或弧度制的一種，不能混用.

3.弧度的意義的再理解

【例3】下列諸命題中，真命題是（）

A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧

B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧

C.一弧度是一度的弧與一度的角之和

D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，它是角的一種度量單位

思路分析：弧度定義的理解.

解：根據(jù)一弧度的定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)圓心角叫做一弧度的角，由選項(xiàng)知，D

為真命題.

答案：D

溫馨提示

掌握定義的準(zhǔn)確表述，弧度是角的單位，不是弧的單位.

各個(gè)擊破

類(lèi)題演練1

把260°化為弧度為.

解析：???1。=2弧度

180

13

.-.260°=—乃弧度.

9

田田13

答案：一71

9

變式提升1

⑴將112。30'化為弧度；

（2）將-5'萬(wàn)rad化為度.

解：=---rad,

180

，112°30'=—X112.5rad=—rad.

1808

10()

(2)V1rad=(—)°

n

._5￡radl*竽。一5。

類(lèi)題演練2

（1）分別寫(xiě)出終邊落在0A,0B位置上的角的集合；

（2）寫(xiě)出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

6

思路分析：先在。到2人之間找出終邊落在OA與OB位置上的角的集合，為方便起見(jiàn)，也可

以在-“與"之間找出終邊落在0A與0B位置上的角的集合.

7F7T37r

解：(1)在。到2n之間，終邊落在0A位置上的角是生+2=二，終邊落在0B位置上的

244

4口3〃兀114

角是一+一=——

236

故終邊落在0A上的角的集合為｛a|a=2k3r+—,keZ),

4

終邊落在OB上的角的集合為｛BIB=2kn+±1\T?T,kez｝.

6

TT

(2)終邊落在陰影部分角的集合為｛。|2k兀一代W。W2k冗+3巳不，kWZ｝.

64

變式提升2

(1)己知0<。<2口，且。與7。終邊相同，求0.

解：由已知有7@=2kn+0,k《Z.

k

即60=2kn.0=—7U.

3

k

又0<2n,.-.0<-^<2n.

3

Vkez,

當(dāng)k=l,2,3,4,5時(shí)，9=—,—,Jt,—,—.

3333

(2)已知某角是小于2“的非負(fù)角且此角的終邊與它的5倍角的終邊相同，求此角的大小.

解：設(shè)這個(gè)角是a,則0<a<2n.

V5a與a終邊相同，

/.5a=a+2kn(kGZ),

a=—(kez).

2

又：ae[0,2n)，令k=0,1,2,3.

巳3萬(wàn).即為所求值.

2

溫馨提示

求與a終邊相同的角，一般先將這樣的角表示為2k"+a(kGZ)的形式，再由題目已

知條件來(lái)求解.

類(lèi)題演練3

下列諸命題中，假命題是()

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

7

B.一度的角是周角的「一,一弧度的角是周角的

3602萬(wàn)

C.根據(jù)弧度的定義，180°一定等于n弧度

D.不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)

解析：根據(jù)角度和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)

關(guān)，而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，所以D項(xiàng)是假命題，其他A、B、C三項(xiàng)均為真命題.

答案：D

變式提升3

在半徑不等的圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的（）

A.弦長(zhǎng)相等B.弧長(zhǎng)相等

C.弦長(zhǎng)等于所在圓的半徑D.弧長(zhǎng)等于所在圓的半徑

解析：由弧度的意義可知選D.

答案：D

8

1.2.1任意角的三角函數(shù)

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

1.任意角的正弦、余弦、正切的定義

【例11有下列命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()

①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相同

②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等

③若sina>0,則a是第一、二象限的角

④若a是第二象限的角，且P(x,y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosa=，^=

7^7

A.1B.2C.3D.4

思路分析：運(yùn)用概念判斷.

解析：由任意角三角函數(shù)定義知①正確：

對(duì)②，我們舉出反例Sin生7T二sin絲；

33

JTTTY

對(duì)③，可指出sin—>0,但一不是第一、二象限的角；對(duì)④，應(yīng)是cosa=.

227^+7

綜上選A.

答案：A

溫馨提示

要準(zhǔn)確地理解任意角的三角函數(shù)定義，可與三角函數(shù)線(xiàn)結(jié)合記憶.

2.角、實(shí)數(shù)和三角函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

【例2】判斷下列各式的符號(hào).

(1)tan250°?cos(-350");

(2)sinl51°cos2300；

⑶sin3cos4tan5;

(4)sin(cos0),cos(sin0)(0是第二象限角).

思路分析：本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào).角度確定了，所在的象限也就確定了.三角函數(shù)的

符號(hào)也就確定了.進(jìn)一步再確定各式的符號(hào).對(duì)于(4),視sin。、cosO為弧度數(shù).

解：⑴Vtan250°>0,cos(-350°)>0,

tan250°,cos(-350°)>0.

(2)Vsinl510>0,cos2300<0,

sinl51°,cos2300<0.

，人、..%-*3兀3?！搁T(mén)

(3)?—<3Vn,“<4<,V5<2n,

222

/.sin3>0,cos4<0,tan5<0,

sin3?cos4,tan5>0.

TT

(4)：。是第二象限角，...OVsinOVlV—,

2

/.cos(sin0)>0.

9

同理，一一VTVcos。V0,

2

Asin(cos0)<0,故sin(cos0)?cos(sin。)<0.

溫馨提示

(1)判斷各三角函數(shù)值的符號(hào)，須判斷角所在的象限.(2)sin。既表示角0的正弦值，同

時(shí)也可以表示L-l,1］上的一個(gè)角的弧度數(shù).(3)中解題的關(guān)鍵是將cos。、sinO視為角

的弧度數(shù).

tan(尤-馬?Jsinx

【例3】求函數(shù)y=——---------的定義域.

lg(2cosx-l)

思路分析：運(yùn)用等價(jià)及集合的思想.

,3

X---兀-W—71Fk,/r,k、GZr,Xw及不+—萬(wàn)

424

解：只需滿(mǎn)足條件!sinx20,=Vsin>0,

lg(2cosx-l)w0,0<2cosx-1W1,

溫馨提示

利用圖形，可直觀找出不等式組的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

各個(gè)擊破

類(lèi)題演練1

已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-6,-2),求a的三個(gè)三角函數(shù)值.

-2Vio

解：已知x=-6,y=-2,所以r=25/10，于是sina

r25/1010

3-=乎=-①，

r2V1010x-63

變式提升1

10

已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2t,-3t)(tVO),求sina,cosQ,tana.

解：Vx=2t,y=-3t

...r=7(-2r)2+(-3r)2=713|r|

Vt<0/.r=-V13/

3V13

??.sinaU=。

r-V13r13

xIt2A/13

cosa=—=-----=^—----------,

r-V13r13

y—3t3

tana=——=-----=-----.

x22

類(lèi)題演練2

判斷下列各式的符號(hào)

77

(1)sinl05°?cos230°;(2)sin—冗?tan—兀；

88

23

(3)cos6?tan6;(4)sin4?tan(------7t).

4

解：(l)???105°、230°分別為第二、第三象限角,

Asinl05o>0.cos230°<0.

sinl05°?cos230°<0.

jr77

(2)???2v,冗v無(wú)，??.」兀是第二象限角.

288

77

Asin—n>0,tan—n<0.

88

77

sin—n?tan—n<0.

88

3

(3)???一n<6<2n,，6弧度的角是第四象限角.

2

/.cos6>0,tan6<0./.cos6?tan6<0.

3

(4)VJT<4<-兀，???sin4Vo.

2

又一三23不二-6n+7生1，???一T三S萬(wàn)與生71終邊相同.

4444

23

tan(------乃)>0.

4

23

/.sin4?tan(------7T)<0.

4

變式提升2

已知a是第三象限角，試判斷sin(cosa)?cos(sina)的符號(hào).

解：:a是第三象限角.

/.cosa<0,sina<0.

11

又|sina|<1,|cosa|<1,

.*.-l<cosa<0,-l<sina<0,

sin(cosa)<0,cos(sinQ)>0.

/.sin(cosa)?cos(sina)<0.

類(lèi)題演練3

己知角。的終邊在直線(xiàn)y=-3x上，求10sinQ+3cosa的值.

解：設(shè)a終邊上任意一點(diǎn)P(k,-3k)，則

廠次+y2=或2+(_3k)2=晌ZI,

當(dāng)k>0時(shí)，,

MkVW

k_1

cosa=

回k~V10

___o/1n___

/.10sina+3cosa=-3V10+——=——Vio.

1010

當(dāng)kvo時(shí)，r=-JHJk,

-3k_3

/.sina

-Mk―Vio

k1Vio

cosa=----———7==----------------

一J10&J1010

/.lOsina+3cosa=3加-亞=包廂.

1010

變式提升3

兀

已知aG(0,—),試比較a、sina、tana的大小.

2

解：如右圖，設(shè)銳角a的終邊交單位圓于點(diǎn)P,過(guò)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切

線(xiàn)交0P延長(zhǎng)線(xiàn)于T,并過(guò)點(diǎn)P作PMJ_x軸，則

MP|=sina,|AT|=tana,

ARKJ長(zhǎng)為a.

12

連PA,

,**SAOAPVS扇形OAPVSAOAT，

即L|0A|?|MP|<-|0A|2?a<-|OA|?|AT|,|MP|<a<|AT|,

222

Asina<a<tana.

13

1.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

1.同角三角函數(shù)關(guān)系

【例1】已知sin。-cos0=L則sir?0-cos'0二.

2

思路分析：把si/O-cos?。變形湊出含有sin。-cos6的代數(shù)式代入求值.

解析：Vsin0-cos0=—,

2

(sin0-cos0)2=—.

4

l-2sin0cos。=—,

4

..AA3

..sinB?cosu=—.

8

/.sin30-cos30

=(sin0-cos0)(sin20+sin0?cos。+cos20)

溫馨提示

若己知sina-cosa與sina+cosa其中一個(gè)條件，求sin*Q?cos2a,sin'a±cos3a

時(shí)，常用湊出sina?cosa與sina土cosa的關(guān)系來(lái)變化.

2.求三角函數(shù)式的值及證明三角函數(shù)恒等式

8

【例2】已知cosQ二----，求sin。及tana的值.

17

思路分析：用同角三角函數(shù)關(guān)系解題.

解：Vcosa<0,且cosa2-1

???a是第二或第三象限角.

如果a是第二象限角，那么

sina=71-COS2a=JI-(一--)2=—.

V1717

sina15、，/17、15

tana=--------=—X(——)=------.

cosa1788

如果a是第三象限角，那么

1515

s1na=--,tana=—.

178

溫馨提示

(1)要會(huì)用公式sin2a+cos2a=1的變形

sin2a=l-cos"a,cos2a=l-sin2a.

(2)若已知正弦、余弦正切中的某一個(gè)三角函數(shù)值，但沒(méi)有指定角所在的象限，要求另外兩

14

個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，可按角所在象限分別進(jìn)行討論，進(jìn)行運(yùn)算，這時(shí)有兩組結(jié)果，本題就屬這

種類(lèi)型.

?八、-1+cosC+sinel+sin6

【例3】求證：----------；—=--------

1+cose—sinecos0

思路分析1：注意到已給等式中含有正弦與余弦，因此采用正、余弦基本關(guān)系證明.

、<…，'、,l+cos6+sin。

證法1：左邊二--------------

1+cos8—sin，

cos6+cos,夕+singcos。

cos0(1+cos0-sin0)

cos0(1+sin。)+1-sin20

cos6(1+cos0-sin6)

(14-sin^)(cos+1-sin0)1+sin。.

-------------------------=--------=右邊M.

cos6(1+cos0-sin&)cosC

???原式成立.

思路分析2：注意到欲證式中只含有一個(gè)角0的函數(shù)，因此可用三角函數(shù)定義證明.

證法2：設(shè)P(x,y)是象限角0終邊上一點(diǎn)，|0P|=r>0,則由三角函數(shù)的定義知：

sin0=—,cos。=二且/+/=大

r

x

1+—+?y

所以，左式=—

1+—

rr

r+y_x(x+r+y)_x2+%(y+r)r2-y2+x(r+y)

r—yx(x+r-y)x(x+r-y)x(x+r-y)

(r+y)(r-y+x)_r+y

x{x+—y)x

1+2

1+sin。,__.

r-------二右式.

xcos。

r

故原式成立.

思路分析3：考慮到A二BQA-B=O,故此題可采用比較法.

EUl+cos^+sin01+sinO

證法3：因?yàn)?-----------------------=

1+cos。-sin。cos。

cos6(1+cos0+sin8)—(1+sin6)(1+cos0-sin8)

cos0(14-cos6-sin0)

sin一夕+cos-6一1八

-----------------------------=0,

cos6(1+cos0-sin6)

15

“，，l+cosC+sinC1+smC

所以--------------=--------.

1+cos-sincos。

3.關(guān)于“1”的變換

【例4】己知tana=2,求sin2a_3sinacosa+1的值.

思路分析：主要應(yīng)用“1”的變換.

解：sin2a-3sinacosa+1

二sin%-3sinacosa+(sin~a+cos%)

=2sin2a-3sinacosa+cos'a

2sin2a-3sinacosa+cos2a2tan2a-3tana+1

；

=------------s-m---6-Z--4----c-o--s-2--a-------------=----------t-a-n-2--a---+--1--------

2X22-3X2+1_3

22+1-5

溫馨提示

已知tana的值，求形如asinJa+bsinacosa+ccos2a的值，可將分母1化為

l=sin2a+cos2a代入，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的表達(dá)式后再求值.

各個(gè)擊破

類(lèi)題演練1

tana

已知=-1,求值.

tana-1

sina-3cosa

sina+cosa

解析：由已知，tana二L所以,

2

sina-3cosa_tana-3_2_5

sina+cosatana+11-3

2

變式提升1

已知tana為非零實(shí)數(shù)，用tanQ表示sina,cosQ.

解：Vsin2a+cos2a=1,

.,.sin2a=l-cos2a.

又??sina

=tana,

cosa

.2i2i

2sin**a1-cosa11

??tana=---------=--------------=-------------1.

cos'acos'acos'a

于是--\—=l+tan2acos2a=-------―.

cosa1+tana

由于tana為非零實(shí)數(shù)，可知角a的終邊不在坐標(biāo)軸上,

16

,1，當(dāng)a為第一，四象限角,

1+tan2a

從而cosa=

1，當(dāng)a為第二，三象限角.

V1+tan2a

sina=cosatana

二，當(dāng)叫第一，四象限角,

V/1+tan26T

2

-Jan-a，當(dāng)a為第二，三象限角

V1+tan2a

類(lèi)題演練2

已知sin0+cos。=g,6G(0,n),求tan。的值.

解：將已知等式平方，得

24

2sin0?cos。=----.

25

Vsin0+cos9=一>0,Asin0>0,cos0<0

5

Acos0<0<sin0,/.sin0-cos0>0.

497

而(sin0-cos。)2=l-2sin0cos0=——,于是sin0-cos。二一.

255

和已知等式聯(lián)立，便可解得

433

sin。二一,cos0=---,tan0=----.

554

變式提升2

已知f(x)=A-~~—，若QW(―,n),則f(cosa)+f(-cosa)可化簡(jiǎn)為

Vl+x2

1-cosa+1+cosa(1-COSa)2+1(1+COS6T)2

解：f(cosa)+f(-COSa)

1+cosa1-cosa1-cos2aV1-cos2a

1-cosa1+COS6Z22

----------1----------=--------=--------

Isina||sina||sina||sina|

答案：--

sin(7

類(lèi)題演練3

4T/、tana，sinatana+sina

求證：(1)-------------=--------------;

tana-sinatana?sina

/、2sinxcosx1+cosx

(2)-----------------------------------=---------

(sinx+cosx-l)(sinx-cosx-f-l)sinx

思路分析：（1）切化弦，（2）左邊入手，利用平方差公式.

17

sin2a

2

證明：(1)左邊=一他必一,l-cosa=l+cos￡

sma疝.sina-sinacosasina(l-cosa)sina

cosa

1cosa11tana+sina

=-----+-----=-----+-----=------------=右邊.

sinasinasinatanatana?sina

所以，原命題成立.

2sinxcosx

(2)左邊二

[sinx+(cosx-l)][sinx-(cosx-1)]

2sinxcosx

sin2x-(cosx-l)2

_2sinxcosx

sin2JC-COS2x+2cosx-l

2sinxcosx_sin

2cosx-2cos2x1-cosx

sinx(l+cosx)

(1-cosx)(l+cosx)

sinx(l+cosx)_1+cosx

sin2xsinx

所以，原命題成立.

變式提升3

已知tan2a=2tanJB+1,求證：sin2B=2sin2a-1.

證明：因?yàn)閠an2a=2tan2P+1,

「「“sin%2sin2/?.

所以一十二———+1

cos-pcos-p

2sin2J+cos?°_1+sin2」

cos20cos20

sin2al+sin2B

所rri以u(píng)------Z—=--------{.

1-sin-a1-sin"

所以sin2a(1-sin2P)=(l-sin2a)(l+sin2P).

所以sin2B=2sin2a-1.

類(lèi)題演練4

Jl+2sinacosa的值為()

A.sina+cosaB.sina-cosaC.cosa-sina

D.|sina+cosaI

解析：Vl+2sinacosa二sin'a+2sinacosa+cos2a

18

=（sina+cosa）2

原式二J（sina+cosa）2=|sina+cosaI,

故選D.

答案：D

變式提升4

若Bw[0,2兀），且Jl-cos?0+^/l-sin2/3=sinB-cosB,則B的取值范圍是（）

一萬(wàn)、「兀r?「3兀'3"八、

A.[0,—）B.[_—,n]C.[n,----]D.r[----,2兀）

2222

解析：***Jl-cos20+-Jl-sin2p='sin2°+Jcos20

=|sin3|+1cosB:二sinB-cosB,

???sinB20,cosBW0,???B是第二象限角（包括x軸負(fù)半軸和y軸正半軸）.

JT

<2n,Ape[—,Ji].

2

答案：B

19

1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

1.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

【例1】求下列各三角函數(shù)值.

小?/10乃、

(l)sin(------);

3

(2)cos(----);

6

(3)tan(-855°).

思路分析：直接運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形求值即可.

解：(l)sin(-吻)=-sin叱

33

47r

=-sin(2n+——)

3

,4〃

=-sin---

3

=-sin(JT+—)

3

,兀_邪)

-sin-------

32

小29〃,5不、

(2)cos---=cos(4"+—)

66

5〃,4、

=cos—=cos("----)

66

71V3

=-cos-=-----

62

(3)tan(-855°)=-tan855"

=-tan(2X360°+135°)

=-tanl35°=-tan(180°-45°)

=tan45°=1.

溫馨提示

對(duì)于負(fù)角的三角函數(shù)求值，可先利用誘導(dǎo)公式三，化為正角的三角函數(shù)，若化了以后的

正角大于360°,再利用誘導(dǎo)公式一，化為0°—360°間的角的三角函數(shù)，若這時(shí)是

90°—360°間的角，再利用180°+a或180°-a或360°-a的誘導(dǎo)公式化為0°—90°

間的角的三角函數(shù).

【例2】化簡(jiǎn)：

3k+1,3k—1..

cos(―--乃+a)+cos(---7r-a)(keZ).

思路分析：將k分為奇數(shù)和偶數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式.

解法1：當(dāng)k=2n,n《Z時(shí)，

20

原式二cos(k五+—+a)+cos(k冗一一-a)

33

.7C.yTC、

=cos(2nn+—+a)+cos(2nn-一-a)

33

/7C、/乃,兀、

=cos(—+a)+cos(—+a)=2cos(—+a).

333

當(dāng)k=2n+l,n￡Z時(shí),

原式二cos[(2n+l)n+—+a]+cos[(2n+l)叮一一-a]=cos(n+—+a)+cos(兀一一-a)

3333

=-cos(—+a)-cos(—+a)=-2cos(一+a).

333

jrjr

解法2：V(kn+—+a)+(kn---a)=2kn,

33

.*.cos(kn-——-a)=cos[2k-(kn+——+a)]=cos(kn+—+a).

333

工原式=2cos(kn---a)=

兀

2cos(y+a)(k=In.nGZ),

兀

-2cos(§+a)(Z=2〃+l,〃wZ).

溫馨提示

觀察每組誘導(dǎo)公式的等號(hào)兩邊的角度，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)角度的和或差是一個(gè)軸線(xiàn)角，

即為ku,k￡Z的形式.于是誘導(dǎo)公式的一個(gè)重要的功能是：如果兩個(gè)角的和或差是軸線(xiàn)角

kn,k￡Z的話(huà)，利用誘導(dǎo)公式總可以把它們變成同角函數(shù)來(lái)處理.

2.關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)與(2±a)的誘導(dǎo)公式

2

【例3】證明sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

思路分析：利用三角函數(shù)定義解析問(wèn)題.

證明：設(shè)任意角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為R(x,y),由于角-a的終邊與角a的終

邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，角-a的終邊與單位圓的交點(diǎn)巴與點(diǎn)R,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)巴的坐標(biāo)

是(x,-y),由三角函數(shù)的定義得

sina=y,cosa=x,tana=—;

X

y

sin(-a)=-y,cos(-a)=x,tan(-a)二—-;

X

從而得sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

溫馨提示

學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分理解本節(jié)的宗旨，突出數(shù)形結(jié)合思想.

3.誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)符號(hào)的確定

［例4］已知sin(3n+0)=—,

3