4.2.2異面直線（解析版）

4.2.2異面直線同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．如圖，是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中直線關(guān)系正確的是（

）

A．BM與ED平行 B．CN與BE是異面直線 C．CN與BM平行 D．BD與FN平行【答案】D【分析】將平面圖還原成正方體，結(jié)合異面直線定義、正方體性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】將平面圖還原成正方體如下圖，

是異面直線、是異面直線，A、C錯(cuò)；平行、平行，B錯(cuò)，D對(duì).故選：D2．如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.【詳解】如圖，連接，，則,

，分別是，的中點(diǎn)，，是異面直線與所成的角，且是等邊三角形，.故選：.3．下列命題正確的是（

）A．過兩條直線有且只有一個(gè)平面B．過一點(diǎn)和一條直線有且只有一個(gè)平面C．過梯形兩腰所在直線有且只有一個(gè)平面D．過三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)線、線線位置關(guān)系，結(jié)合平面的相關(guān)性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】A：若兩條直線異面，不存在過這兩條直線的平面，錯(cuò)誤；B：若點(diǎn)在直線上，過該點(diǎn)和直線的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；C：由梯形各線段都在一個(gè)平面上，故其兩腰所在直線有且只有一個(gè)平面，正確；D：若三點(diǎn)共線，則有無(wú)數(shù)個(gè)平面，錯(cuò)誤.故選：C4．兩條異面直線指的是（

）A．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線B．在空間內(nèi)不相交的兩條直線C．分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線D．某一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線【答案】A【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳解】解：兩條異面直線指的是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，故A正確；空間中不相交的兩條直線可以平行或異面，故B錯(cuò)誤；分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可以平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤；某一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線可以平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選：A5．正方體中，與對(duì)角線成異面直線的棱有（

）A．3條 B．4條 C．6條 D．8條【答案】C【分析】由異面直線的定義即可得出答案.【詳解】解：由圖可知與直線為異面直線的棱分別是、、、、、共條.故選：C6．如圖，在直三棱柱中，棱與直線異面有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)異面直線的定義即可判斷.【詳解】在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線有，共3條.故選:C.7．在棱長(zhǎng)為a的正方體中，與AD成異面直線且距離等于a的棱共有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【分析】結(jié)合異面直線與異面直線距離的定義，直接觀察直觀圖即可【詳解】由題，觀察正方體即可得與AD成異面直線且距離等于a的棱有，故選：C8．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，，，且，．為EF與AC所成的角．又，．又，，，為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，找角證角求角，主要是通過平移將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形，屬于基礎(chǔ)題．9．空間四邊形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，則AC與BD所成角為()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】取中點(diǎn)，連接,根據(jù)已知條件，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】解：取中點(diǎn)，連接,由已知得，又平面,所以平面，因此,故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理，異面直線所成的角，關(guān)鍵在于線面垂直的判定定理的運(yùn)用．10．如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由異面直線的定義判斷即可.【詳解】體對(duì)角線與面對(duì)角線不在同一個(gè)平面內(nèi)，且不平行，故體對(duì)角線與面對(duì)角線的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.二、填空題11．棱長(zhǎng)為1的正方體中，異面直線與之間的距離為．【答案】【分析】根據(jù)題意，證得且，得到為異面直線與的公垂線，即可求解.【詳解】如圖所示，在正方體中，可得平面，平面，因?yàn)槠矫妫矫妫郧?，所以為異面直線與的公垂線，又由正方體的棱長(zhǎng)為，可得，所以異面直線與的距離為.故答案為：.12．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，則異面直線B1B與DC之間的距離為.【答案】4【分析】利用異面直線間的距離定義即可得出答案.【詳解】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得是異面直線B1B與DC的公垂線，所以異面直線B1B與DC之間的距離為BC=4.故答案為：413．空間內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是.（用區(qū)間表示）【答案】【分析】利用異面直線所成角的定義直接寫出范圍作答.【詳解】由異面直線所成角的定義知，兩異面直線所成角的取值范圍是.故答案為：14．異面直線所成的角如圖，是異面直線，在空間中任選一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的平行線和，則這兩條直線和所成的，稱為異面直線所成的角．【答案】銳角或直角【分析】根據(jù)異面直線所成的角的定義【詳解】過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角故答案為：銳角或直角15．已知正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【分析】證明出，即可求得結(jié)果.【詳解】在正方體中，四邊形為正方形，則，所以，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.三、解答題16．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，．求異面直線AD和的距離．【答案】3cm【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)及異面直線距離的定義，確定異面直線AD和的距離即可.【詳解】∵，，∴就是異面直線AD和的公垂線．∴長(zhǎng)度即為異面直線AD和的距離．∵，∴異面直線AD和的距離是3cm．17．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E?F分別是和的中點(diǎn).（1）求異面直線和的距離；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知為異面直線和的公垂線段，即為和的距離；（2）取中點(diǎn),連接由異面直線成角定義可知即為與成角，計(jì)算即可.【詳解】（1）為異面直線和的公垂線段，,即為和的距離為；（2）取中點(diǎn),連接，因?yàn)?則即為與成角，在中，可知，，，所以，即面直線與所成角的大小為.18．如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？【答案】(1)(2)【分析】（1）確定是異面直線與所成的角，在中根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系得到答案；（2）確定是異面直線和BC所成的角，則得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，在中，，，所以.故異面直線和所成的角是.（2）因?yàn)?，則和BC所成的角即為，顯然，則和BC所成的角是.19．如圖，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都是cm，高是4cm.(1)求BC和A′C′所成的角的度數(shù)．(2)求AA′和BC′所成的角的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得，所以為與所成的角，由正方形的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果；（2）長(zhǎng)方體中，，所以為與所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得，所以與所成的角為.試題解析：(1)在長(zhǎng)方體中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′為BC與A′C′所成的角，因?yàn)锳′B′＝B′C′＝cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角為45°.(2)在長(zhǎng)方體中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′為AA′與BC′所成的角，因?yàn)锽B′＝4cm，B′C′＝

cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角為60°.能力進(jìn)階能力進(jìn)階20．如圖，在長(zhǎng)方體中，哪些棱所在的直線與直線是異面直線且互相垂直？【答案】答案見詳解.【分析】利用異面直線的概念即可得出答案.【詳解】由異面直線的概念可知，這些棱所在的直線與直線異面：棱所在的直線，棱所在的直線，棱所在的直線，棱所在的直線，21．長(zhǎng)方體