2018屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題2

題組層級(jí)快練(四十九)1．以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的方程為()A．x2＋y2－2x－1＝0 B．x2＋y2－2x－3＝0C．x2＋y2＋2x－1＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0答案B解析∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是(1，0)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋y2＝4，展開(kāi)得x2＋y2－2x－3＝0.2．已知一圓的圓心為點(diǎn)(2，－3)，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案A解析設(shè)該直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P(a，0)，Q(0，b)，則A(2，－3)是線段PQ的中點(diǎn)，所以P(4，0)，Q(0，－6)，圓的半徑r＝|PA|＝eq\r(（4－2）2＋32)＝eq\r(13).故圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.3．過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.∵圓心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．(2016·四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1答案B解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－1，1)，它關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱的點(diǎn)為(2，－2)，對(duì)稱后半徑不變，所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1.5．過(guò)點(diǎn)P(0，1)與圓x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直線中，被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方程是()A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0答案C解析依題意得所求直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，1)及圓心(1，0)的直線，因此所求直線方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，選C.6．(2016·山東青島一模)若過(guò)點(diǎn)P(1，eq\r(3))作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則弦長(zhǎng)|AB|＝()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(2) D．4答案A解析如圖所示，∵PA，PB分別為圓O：x2＋y2＝1的切線，∴OA⊥AP.∵P(1，eq\r(3))，O(0，0)，∴|OP|＝eq\r(1＋3)＝2.又∵|OA|＝1，∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝eq\f(1,2).∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝eq\r(3).7．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0，1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．5eq\r(2) B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)答案B解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10，則圓心(1，3)，半徑r＝eq\r(10)，由題意知AC⊥BD，且|AC|＝2eq\r(10)，|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5)，所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).8．已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝5上，點(diǎn)Q(0，－1)，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案B解析設(shè)P(x0，y0)，PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圓的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化簡(jiǎn)，得x2＋y2＋y－1＝0.9．已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最小值為()A．6 B.eq\f(11,2)C．8 D.eq\f(21,2)答案B解析如圖，過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最?。本€AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離為d＝eq\f(|3×0－4×1－12|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(16,5)，∴△ABP的面積的最小值為eq\f(1,2)×5×(eq\f(16,5)－1)＝eq\f(11,2).10．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；當(dāng)半徑最大時(shí)，答案2<m<4(x－1)2＋(y＋3)2＝1解析∵原方程可化為(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2<m<4.當(dāng)m＝3時(shí)，r最大為1，圓的方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝1.11．(2016·吉林長(zhǎng)春一調(diào))若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對(duì)稱，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．答案4解析圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圓心坐標(biāo)為C(－1，2)代入直線2ax＋by＋6＝0，得－2a＋2b＋6＝0即點(diǎn)(a，b)在直線x－y－3＝0上．過(guò)C(－1，2)作l的垂線，垂足設(shè)為D，過(guò)D作圓C的切線，切點(diǎn)設(shè)為E，則切線長(zhǎng)|DE|最短，于是有|CE|＝eq\r(2)，|CD|＝eq\f(|6|,\r(2))＝3eq\r(2)，∴切線長(zhǎng)|DE|＝eq\r(|CD|2－r2)＝4.12．從原點(diǎn)O向圓C：x2＋y2－6x＋eq\f(27,4)＝0作兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則圓C上兩切點(diǎn)P，Q間的劣弧長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案π解析如圖，圓C：(x－3)2＋y2＝eq\f(9,4)，所以圓心C(3，0)，半徑r＝eq\f(3,2).在Rt△POC中，∠POC＝eq\f(π,6).則劣弧PQ所對(duì)圓心角為eq\f(2π,3).弧長(zhǎng)為eq\f(2,3)π×eq\f(3,2)＝π.13．設(shè)圓C同時(shí)滿足三個(gè)條件：①過(guò)原點(diǎn)；②圓心在直線y＝x上；③截y軸所得的弦長(zhǎng)為4，則圓C的方程是________．答案(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8解析由題意可設(shè)圓心A(a，a)，如圖，則22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圓C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.14．一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，求此圓的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切，∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|.又圓在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝(eq\f(|a－b|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圓與y軸相切，∴r2＝a2. ②又因?yàn)樗髨A心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法三：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圓與y軸相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))到直線x－y＝0的距離為eq\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直線x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ⑥聯(lián)立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F(xiàn)＝1或D＝6，E＝2，F(xiàn)＝1.故所求圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．答案(1)y2－x2＝1(2)x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3解析(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P點(diǎn)在雙曲線y2－x2＝1上，從而得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y02－x02＝1.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y02－x02＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此時(shí)，圓P的半徑r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y02－x02＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此時(shí)，圓P的半徑r＝eq\r(3).故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－2y＝0.(1)求2x＋y的取值范圍；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．答案(1)1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5)(2)c≥eq\r(2)－1解析(1)方法一：圓x2＋(y－1)2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ，))∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1.∵－eq\r(5)≤2cosθ＋sinθ≤eq\r(5)，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤eq\r(5)＋1.方法二：2x＋y可看作直線y＝－2x＋b在y軸的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)b取最值，此時(shí)eq\f(|2×0＋1－b|,\r(5))＝1.∴b＝1±eq\r(5)，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5).(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))＋1，∴x＋y＋c的最小值為1－eq\r(2)＋c.∴x＋y＋c≥0恒成立等價(jià)于1－eq\r(2)＋c≥0.∴c的取值范圍為c≥eq\r(2)－1.1．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析因?yàn)閳A心是(1，2)，所以將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選C.2．設(shè)A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，若線段AD是△ABC外接圓的直徑，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A．(－8，6) B．(8，－6)C．(4，－6) D．(4，－3)答案B解析線段AB的垂直平分線x＋y－1＝0與線段AC的垂直平分線2x＋y－5＝0的交點(diǎn)即圓心(4，－3)，直徑為10，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，－6)．3．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋(y－eq\f(7,3))2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－eq\f(3,2))2＋(y－1)2＝1答案B解析設(shè)圓心為(a，1)，由已知得d＝eq\f(|4a－3|,5)＝1，∴a＝2(舍－eq\f(1,2))．4．圓心在拋物線x2＝2y(x>0)上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及y軸均相切的圓的方程是()A．x2＋y2－x－2y－eq\f(1,4)＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x－y＋eq\f(1,4)＝0答案D解析∵圓心在拋物線上，∴設(shè)圓心(a，eq\f(a2,2))．∴圓的方程為(x－a)2＋(y－eq\f(a2,2))2＝r2.∴x2＋y2－2ax－a2y＋a2＋eq\f(a4,4)－r2＝0.對(duì)比A，B，C，D項(xiàng)，僅D項(xiàng)x，y前系數(shù)符合條件．5．若圓C的半徑為1，點(diǎn)C與點(diǎn)(2，0)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案A解析因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)(2，0)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0，0)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.6．若直線l：4x－3y－12＝0與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB內(nèi)切圓的方程為_(kāi)_______．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由題意知，A(3，0)，B(0，－4)，則|AB|＝5.∴△AOB的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(3＋4－5,2)＝1，內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為(1，－1)．∴內(nèi)切圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.7．已知圓C的方程為x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下關(guān)于這個(gè)圓的敘述中，所有正確命題的序號(hào)是________．①圓C必定經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②圓C的圓心不可能在第二象限或第四象限；③y軸被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2m；④直線y＝x與y軸的夾角的平分線必過(guò)圓心．答案①②8．(2016·西安五校聯(lián)考)若過(guò)圓x2＋y2＝4外一點(diǎn)P(4，2)作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，則△APB的外接圓方程為_(kāi)_______．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析連接OA，OB，由平面幾何知識(shí)可知O，A，P，B四點(diǎn)共圓，故△APB的外接圓即為以O(shè)P為直徑的圓，即圓心為C(2，1)，半徑r＝eq\f(1,2)|OP|＝|OC|＝eq\r(5)，故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以M(－1，0)為圓心的圓與直線x－eq\r(3)y－3＝0相切．(