2016屆高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)限時訓(xùn)練題18

限時規(guī)范訓(xùn)練十[單獨成冊](建議用時45分鐘)1．(2016·山西省四校高三聯(lián)考)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3,2)b.(1)求證：a、b、c成等差數(shù)列；(2)若B＝eq\f(π,3)，S＝4eq\r(3)，求b.(1)證明：由正弦定理得：sinAcos2eq\f(C,2)＋sinCcos2eq\f(A,2)＝eq\f(3,2)sinB，∴eq\f(sinA＋sinAcosC,2)＋eq\f(sinC＋sinCcosA,2)＝eq\f(3,2)sinB∴eq\f(1,2)sinA＋eq\f(1,2)sinC＋eq\f(1,2)sin(A＋C)＝eq\f(3,2)sinB∴sinA＋sinC＝2sinB∴a＋c＝2b，∴a、b、c成等差數(shù)列(2)解：∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝4eq\r(3)，∴ac＝16.又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac由(1)得：a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48，∴b2＝16，即b＝4.2．(2015·高考全國卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．解：(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2由(1)，知AB＝2AC，所以AC3．(2015·高考浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．解：(1)由b2－a2＝eq\f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2C，所以－cos2B＝sin2C又由A＝eq\f(π,4)，即B＋C＝eq\f(3,4)π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC∴2sinC·cosC＝sin2解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5).因為sinB＝sin(A＋C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))，所以sinB＝eq\f(3\r(10),10).由正弦定理得c＝eq\f(2\r(2)b,3)，又因為A＝eq\f(π,4)，eq\f(1,2)bcsinA＝3，所以bc＝6eq\r(2)，故b＝3.4．(2015·高考調(diào)研卷)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanA＝eq\f(\r(3)cb,c2＋b2－a2).(1)求角A的大??；(2)當(dāng)a＝eq\r(3)時，求c2＋b2的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．解：(1)由已知及余弦定理，得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3)cb,2cbcosA)，sinA＝eq\f(\r(3),2)，因為A為銳角，所以A＝60°.(2)法一由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin(120°－B)．c2＋b2＝4[sin2B＋sin2(120°－B)]＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－cos2B,2)＋\f(1－cos240°－2B,2)))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)cos2B－\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cos2B－\f(\r(3),2)sin2B))))＝4－cos2B＋eq\r(3)sin2B＝4＋2sin(2B－30°)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0°<B<90°，,0°<120°－B<90°，))得30°<B<90°，所以30°<2B－30°<150°，當(dāng)sin(2B－30°)＝1，即B＝60°時，(c2＋b2)max＝6，此時C＝60°，△ABC為等邊三角形．法二由余弦定理得(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝3.而bc≤eq\f(b2＋c2,2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號)，則3≥eq\f(b2＋c2,2)