高考數(shù)學(xué) 直線和圓的方程含解析

專題九：直線和圓的方程

考點32.直線方程和兩條直線的位置關(guān)系

基礎(chǔ)闖關(guān)

1.直線L|：ax+3y+l=0,L2：2x+(a+1)y+l=O,若LI〃L2，則a的值為()

A.-3B.2C.-3或2D.3或-2

【解答】解：直線Li：ax+3y+l=0的斜率為：-且，直線L/L2,所以L2：2x+(a+1)y+l=O的斜率為:

3

__a

~3

解得a=-3,a=2(舍去)

故選A.

【點評】本題考查兩條直線平行的判定，兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系，考查計算能力，推理能力,

是基礎(chǔ)題.

2.直線xsina-y+I=O的傾斜角的變化范圍是()

AA.(/0八,兀)、BD.(z0n,it)、C.[r—..兀.,兀]1Dc.r[c0,兀]iUii[r3兀,兀)、

24444

【解答】解:由xsina-y+1=0,得此直線的斜率為sinaC[-1,1].

設(shè)其傾斜角為0(0<e<7t),

則tan9G[-l,I].

.?.附0,2L]u[-^2L,n).

44

故選：D.

【點評】本題考查直線的傾斜角，考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

3.與直線L：mx-m2y=1垂直于點P(2,1)的直線L2的方程為()

A.x+y-1=0B.x-y-3=0C.x-y-1=0D.x+y-3=0

【解答】解：點P(2,1)代入直線L"mx-m2y=l,可得m=l,

所以直線Li的斜率為1,直線L2的斜率為7,故可知方程為x+y-3=0,

故選D.

【點評】本題主要考查兩直線垂直，斜率互為負倒數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知直線h：mx+y-2=0,b：6x+(2m-1)y-6=0,若l/k，則實數(shù)m的值是()

A.B.2C.-W或-2D.旦或-2

222

【解答】解：當m=0時，顯然h與12不平行.

當m#0時，

V11Z/12,

二

62m-1

解得:=-l,

m2

故選：A.

【點評】本題考查兩直線平行的充要條件，等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

5.直線(a+2)x+(1-a)y-3=0與(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，則a的值為()

A.-1B.1C.±1D.

【解答】解：由題意，?.,直線(a+2)x+(1-a)y-3=0與(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直

J(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0

/.(a-1)(a+2-2a-3)=0

/.(a-1)(a+1)=0

/.a=L或a=-1

故選C.

【點評】本題以直線為載體，考查兩條直線的垂直關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用兩條直線垂直的充要條件.

6.點(2,1)到直線3x-4y+2=0的距離是()

【解答】解：點(2,1)至［直線3x-4y+2=0的距離3：2-4X1+2|二區(qū)

732+(-4)25

故選A.

【點評】本題考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.直線kx-y+l=3k,當k變動時，所有直線都通過定點()

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

【解答】解：由kx-y+l=3k得k(x-3)=y-1

-3=0

對于任何kdR都成立，則J,

y-1=0

解得x=3,y=1,

故直線經(jīng)過定點(3,1),故選C.

【點評】本題考查直線過定點問題，把直線方程變形為參數(shù)乘以一個因式再加上另一個因式等于0的形式

恒成立，故這兩個因式都等于0.

8.直線x+(1-m)y+3=0(m為實數(shù))恒過定點()

A.(3,0)B.(0,-3)C.(-3,0)D.(-3,1)

x+3=0

【解答】解:令

(1-ro)y=0

解得：，x=-3

y=0

故直線恒過定點(-3,0),

故選：C.

【點評】本題考查了直線系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.若直線1過兩點P(1,3)和Q(2,2),則1的斜率為-I.

【解答】解：根據(jù)題意，P(1,3),Q(2,2),

-

x2-xj21

即過PQ,3),Q(2,2)兩點的直線1的斜率為：-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

10.過點(1,2)且與直線2x-v-1=0平行的直線方程為2x-y=0.

【解答】解:設(shè)過點(1,2)且與直線2x-y-1=0平行的直線方程為2x-y+c=0,

把點(1,2)代入，得2-2+c=0,

解得c=0.

二所求直線方程為:2x-y=0.

故答案為:2x-y=0.

【點評】本題考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，仔細解答.

11.兩直線h：ax+2y+6=0,卜：x+(a-1)y+(a2-1)=0,若h-LH貝Ua=___.

3

【解答】解：當a=0或a=l時，不滿足條件，舍去.

兩條直線的斜率分別為：kk一亙，kc一一.

K12K21_a

?*.li±12，，k|k,=-―~—=-1,解得a=2.

-2(1-a)3

故答案為：2.

3

【點評】本題考查了直線相互垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知平行直線巾2x+y-1=0,12：2x+y+l=0,則小卜的距離_工運_

5

【解答】解：平行直線1］：2x+y-1=0,I2：2x+y+l=0,則h，卜的距離：'+1?—

V22+l25

故答案為：空5.

5

【點評】本題考查平行線之間的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力.

13.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2,4),直線1：x-2y+l=0.

(1)求過點A且平行于1的直線的方程；

(2)若點M在直線1上，且AML,求點M的坐標.

【解答】解：(1)法一：直線1：x-2y+l=0的斜率是2,

故所求直線的斜率是工，

2

故所求直線方程是：y-4=l(x-2),

2

即x-2y+6=0；

法二：由題意設(shè)所求直線方程是：x-2y+c=0,

將A(2,4)代入方程得：2-2x4+=0,解得：c=6,

故所求方程是“x-2y+6=0；

(2)?.?直線1：x-2y+l=0的斜率是5,

故所求直線的斜率是-2,

二直線AM的方程是：y-4=-2(x-2),

即：2x+y-8=0,

,fx_2y+l=0,

聯(lián)立I，解得M(3,2).

2x+y-8=0

【點評】本題考查了求直線方程問題，考查直線的位置關(guān)系，直線交點問題，是一道基礎(chǔ)題.

14.已知直線L：(m-2)x+3y+2m=0,b：x+my+6=0

(1)若直線h與12垂直，求實數(shù)m的值；

(2)若直線L與12平行，求實數(shù)m的值.

【解答】解：(1)?.■直線h：(m-2)x+3y+2m=0,Hx+my+6=0,直線h與b垂直,

/.(m-2)xl+3m=0,

解得m=".

2

(2、?直線h：(m-2)x+3y+2m=0,I2：x+my+6=0,直線h與「平行,

???m-2―-3----2-m,

1m6

解得m=-1.

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直線與直線垂直和直線與直線平行

的性質(zhì)的合理運用.

拓展提升

1.直線AB的斜率為2,其中點A(l,-1),點B在直線y=x+l上，則點B的坐標是()

A.(4,5)B.(5.7)C.(2,1)D.(2,3)

【解答】解：根據(jù)題意，點B在直線y=x+l上，設(shè)B的坐標為(x,x+1),

則直線AB的斜率k=(x+l)-(T)二^±L=2,

X-1X-1

解可得x=4,

即B的坐標為(4,5),

故選：A.

【點評】本題考查直線的斜率計算，注意要先設(shè)出B的坐標，再利用直線的斜率公式計算.

2.已知直線I：3x-4y+m=0上存在不同的兩點M與N,它們都滿足與兩點A(-1,0),B(1,0)連線

的斜率kMA與kMB之積為-1，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-3,3)B.(-4,4)C.(-5,5)D.[-5,5]

【解答】解：由題意可知I,點M、N、A、B在以AB為直徑的圓上，

則該圓的方程為x?+y2=l.

???M、N是不同的兩點，.?.直線1與圓相交，

且直線1與圓相切為臨界條件，此時原點到直線1的距離等于圓的半徑，

即1=/.m=±5.

V32+42

，m的取值范圍為(-5,5).

故選：C.

【點評】不同考查直線的斜率，考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

3.直線2ax+（a2+l）y-1=0的傾斜角的取值范圍是（）

K3兀[nrc冗iiir3冗,

AA.r[―,-^―]B.[0,—]U[——,TT]

4444

c.（o,2L]u[12L,兀）D.[o,-2L]u[^2L,兀）

4444

【解答】解：設(shè)直線2ax+（a?+l）y-1=0的傾斜角為0,

則tanG=-一華

a2+l

a=0時，tanO=O,可得0=0；

a>0時，tanON-&=-1，當且僅當a=l時取等號，.,兀)；

2aL4

TT

a<0時，tanOSl,當且僅當a=-1時取等號，(0,—1.

4

綜上可得：9G[0,—]U[衛(wèi)，兀).

44

故選：D.

【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值、分類討論方法、傾斜角與斜率的關(guān)系，考查了推

理能力與計算能力，屬于中檔題.

4.“a=2”是“直線h：(a+2)x+(a-2)y=l與直線E(a-2)x+(3a-4)y=2相互垂直''的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當a=2時，兩條直線分別化為：4x=l,y=l,此時兩條直線相互垂直；

當2=&時，兩條直線分別化為：10x-2y=3,x=-3,此時兩條直線不相互垂直，舍去；

3

2

當時且，2時，由兩條直線相互垂直，A--S±g-x.~1.=-1,解得a=L.

323a~42

綜上可得：兩條直線相互垂直的充要條件為：a=工或2.

2

，“a=2"是"直線L：(a+2)x+(a-2)y=l與直線k：(a-2)x+(3a-4)y=2相互垂直”的充分不必要條

件.

故選：A.

【點評】本題考查了兩條直線相互垂直的充要條件，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

5.已知直線1：x+ay+2=0的傾斜角為匹，則直線1在y軸上的截距為()

4

A.-2B.2C.」D.工

22

【解答】解：???直線1：x+ay+2=0的傾斜角為2L,

4

.?.tan亞=-1，解得a=-l.

4a

.?.直線化為：y=x+2,

，該直線的縱截距等于2.

故選：B.

【點評】本題考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系、斜截式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

6.直線(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0過定點()

A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3)

【解答】解：直線方程整理得：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,

.J2x+y=7,

Ix+y=4

解得：fx=3,

Iy=l

則直線過定點(3,1),

故選：C.

【點評】此題考查了恒過定點的直線，將直線方程就行適當?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵.

7.在直角坐標平面內(nèi)，過定點P的直線1：ax+y-1=0與過定點Q的直線m：x-ay+3=0相交于點M,則

|MP『+|MQ『的值為()

A.B.V10C.5D.10

【解答】解：?.?在平面內(nèi)，過定點P的直線ax+y-1=0與過定點Q的直線x-ay+3=0相交與點M,

.?.P(0,1),Q(-3,0),

?過定點P的直線ax+y-1=0與過定點Q的直線x-ay+3=0垂直，

.??M位于以PQ為直徑的圓上，

VIPQI=V9+1=VTO.

.,.|MP|2+|MQ|2=10,

故選：D.

【點評】本題考查兩線段乘積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合

理運用.

8.設(shè)點A(-2,3),B(3,2),若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點，則a的取值范圍是()

A.(-00,-當U邑，+00)B.

23

D.(~co,--]U[―,+8)

32

【解答】解：直線ax+y+2=0恒過點M(0,-2),

且斜率為-a,

3-(-2)5

-2-02

kMB上

3-03

由圖可知：-a>-壬Jl-a<2,

23

aG(--,旦)，

32

故選B.

【點評】本題考點是兩直線的交點坐標，考查直線與線段無公共點時參數(shù)的范圍，此題常采用的技巧是借

助圖象求參數(shù)的取值范圍，本題直線ax+y+2=0形式簡單，作答時易想不到這也是一個直線系方程，從而

解不出定點致使題目無從下手.

9.過A(m,1)與B(-1,m)的直線與過點P(I,2),Q(-5,0)的直線垂直，則m=-2.

【解答】解：過點A(m,1)與B(-1,m)的直線的斜率一m一二一,過點P(1,2),Q(-5,0)的直

-1~in

線的斜率為：

1+53

因為兩條直線垂直，所以」-11,解得m=-2.

-1-m3

故答案為：-2.

【點評】本題考查直線的斜率的求法，直線垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力.

10.已知直線h：ax-y+l=0,卜：x+y+l=0,\\//\^則a的值為-1，直線h與卜間的距離為_

【解答】解:直線h：ax-y+l=0,I2：x+y+l=0,分別化為：y=ax+Ly=-x-1,

?.,li〃12，Aa=-1,厚-1.

兩條直線方程可得：x+y-1=0,x+y+l=0.

直線b與1間的距離d=J-1二IL圾.

2_V2

故答案分別為：-1;血.

【點評】本題考查了兩條直線相互平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

11.設(shè)直線h：(m+1)x-(m-3)y-8=0(mGR),則直線h恒過定點(2,2)；若過原點作直線

b〃h，則當直線h與12的距離最大時，直線b的方程為x+y=0.

【解答】解：,?直線1|：(m+1)x-(m-3)y-8=0(mGR),化為：m(x-y)+(x+3y-8)=0,可得

x-y=0”,

-,解得x=y=2,

x+3y-8=0

則直線h恒過定點(2,2).

過原點作直線12〃1”可設(shè)b方程為：(m+1)x-(m-3)y=0,

則經(jīng)過兩點(0,0)與(2,2)的直線方程為：y=x.

則當直線h與b的距離最大時，b與直線y=x垂直.

直線12的方程為x+y=o.

故答案分別為：(2,2)；x+y=0.

【點評】本題考查了相互平行與相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

12.已知直線(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0(其中a為實數(shù))過定點P,點Q在函數(shù)行乂+工的圖象

X

上，則PQ連線的斜率的取值范圍是.[-3,+8).

【解答】解：己知直線(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0即x+y-4+a(-x+y-4)=0,

x+y-4=0(

由，解得JXL故定點p的坐標為(o,4).

-x+y-4=0[y=4

J-

42

設(shè)點Q(m,m+1),m和，則PQ連線的斜率為ID-=l+-^---=(--2)-3>-3,

IDID-0

故PQ連線的斜率的取值范圍為[-3,+oo),

故答案為[-3,+8).

【點評】本題主要考查直線過定點問題，直線的斜率公式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

22

13.已知B、F2分別是橢圓三-+"1的左、右焦點，曲線C是坐標原點為頂點，以F2為焦點的拋物線,

43

過點Fi的直線1交曲線C于x軸上方兩個不同點P、Q,點P關(guān)于x軸的對稱點為M,設(shè)F[0="

(I)若入W[2,4],求直線L的斜率k的取值范圍；

(II)求證：直線MQ過定點.

【解答】解：(I)令P(xi，yi),Q(x2,y2)>由題意，可設(shè)拋物線方程為y?=2px

由橢圓的方程可得B(-1,0),F2(1,0)故p=2,曲線C的方程為y2=4x,

由題意，可設(shè)PQ的方程x=my-1(m>0).把PQ的方程代入曲線C的方程化簡可得y2-4my+4=0,

.?.yi+y2=4m,yiy2=4.又可下=入再[，-Xi+^A.(x2+l),yi=Xy2,

（yi+y?）2

又一-~--=訐?三+2=4n?.入6[2,4],...2+!0九+三9+1,

X2入4髀啜

返直線L的斜率k的取值范圍為得孚.

5m3

（II）由于P,M關(guān)于X軸對稱，故M（X|,-yj）

y2Yi_2kyly2-2（y1+y2）

MF-

ax2-1x「l（X11）（x2~1）

；.M、Q、F2三點共線，故直線MQ過定點F2（1,0）.

【點評】本題考查橢圓、拋物線的標準方程、簡單性質(zhì)，三點共線的條件，根據(jù)題意，得到2+工4+與“+

2人

1,是解題的關(guān)鍵.

4

14.已知直線1的方程為x+my-2m-1=0,m6R且m和.

（1）若直線1在x軸，y軸上的截距之和為6,求實數(shù)m的值；

（2）設(shè)直線1與x軸，y軸的正半軸分別交于A,B兩點，O為坐標原點，求aAOB面積最小時直線I的

方程.

【解答】解：（1）令x=0,得產(chǎn)2+工.

m

令y=0，得x=2m+L

由題意知，2nH?1+2+2=6?

ID

即2m2-3m+l=0,

解得1rp■或m=l；

（2）方法一：

由（1）得A（2m+1,0）,B（0,24），

ID

f2irri-l>0

由｛1>o解得m>0.

卷（）（巧）

SAABC=^-|AO|*|BO|~|2nH-lH|2+^|2nrH2

二（2+^-）=2+2in4-^L-^:2+2=4-

Zinzin

當且僅當2nf4,即《時，取等號.

此時直線1的方程為2x+y-4=0.

方法二：

由x+my-2m-1=0,得(x-1)+m(y-2)=0.

4x-1=0.解得尸.

y-2=0\y=2

，直線1過定點P(1,2).

設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),

則直線I的方程為：工哈15>0,b>0).

將點(1,2)代入直線方程，得L哈二i，

由基本不等式得L噲》2^，ab28.

當且僅當工=2,即a=2,b=4時，取等號.

ab

'SAABC^fab>4,

當AAOB面積最小時，直線1的方程為2x+y-4=0.

【點評】本題考查了直線的一般式方程，考查了基本不等式的運用，是中檔題.

考點33.圓的方程

基礎(chǔ)闖關(guān)

1.圓(x+l)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為()

A.IB.2c.圾D.25/2

【解答】解：??,圓(x+l)2+y2=2的圓心為(-1,0),

...圓(x+l)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為：

d=M+31=^

V2

故選：C.

【點評】本題考查圓心到直線的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式和

圓的性質(zhì)的合理運用.

2.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+l)2+(y+1)2=1

C.(x+l)2+(y+1)MD.(x-1)2+(y-1)2-2

【解答】解：由題意知圓半徑-如，

二圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.

故選：D.

【點評】本題考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題.

3.過三點A(1,0),B(0,遮)，C(2,V3)則4ABC外接圓的圓心到原點的距離為()

A.”B.等C2^5

3-3

【解答】解:因為4ABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=l上,

可設(shè)圓心P(l,p),由PA=PB得

IPl=Jl+(p一付2,

得p=■邁

3

圓心坐標為P(1,織豆),

3

所以圓心到原點的距離|OP|=J1+(當i

故選：B

【點評】本題主要考查圓性質(zhì)及aABC外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運用是解決本題的關(guān)鍵.

4.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲線關(guān)于直線y=x對稱，那么必有()

A.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=F

【解答】解：曲線關(guān)于直線y=x對稱，就是圓心坐標在直線y=x上，圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D?+E2

-4F>0)中，D=E.

故選A.

【點評】本題考查圓的一般方程，對稱問題，是基礎(chǔ)題.

5.已知兩點P(4,0),Q(0,2),則以線段PQ為直徑的圓的方程是()

A.(x+2)2+(y+1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=IOC.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=10

【解答】解：?.?圓的直徑為線段PQ,...圓心坐標為(2,1)

半徑「野_="+(廠)々旄

.?.圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

故選：C.

【點評】本題主要考查了圓的標準方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y=x對稱，則圓C的標準方程為()

A.(x-1)2+y2=lB.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=l

【解答】解：圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y=x對稱，可得圓的圓心坐標(0,1),

圓的方程為：x2+(y-1)2=1.

故選：C,

【點評】本題考查圓的方程的求法，考查計算能力.

7.圓x2+y2-2x=0的圓心坐標和半徑分別為()

A.(1,0),1B.(0,1),1C.(-1,0),1D.(1,0),2

【解答】解：圓x?+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1＞表示以(1,0)為圓心、半徑等于1的圓，

故選：A.

【點評】本題主要考查圓的標準方程的特征，屬于基礎(chǔ)題.

8.過點(2,0)且圓心為(1,0)的圓的方程是()

A.x2+y2+2x=0B.x2+y2-2x=0C.x2+y2-4x=0D.x2+y2+4x=0

【解答】解：圓的半徑為1)2+(0_0)2=1，故圓的方程為(x-1)2+y2=i,即x2+y2-2x=0,

故選：B.

【點評】本題主要考查求圓的方程的方法，屬于基礎(chǔ)題.

9.若圓C以拋物線y2=4x的焦點為圓心，截此拋物線的準線所得弦長為6,則該圓的標準方程是(x-1)

2+y2=]3.

【解答】解：拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),準線方程為x=-l,

?.?圓C截此拋物線的準線所得弦長為6,

.?.圓的半徑為布瓦盧=任

.?.圓的標準方程是(x-1)2+y2=13

故答案為：(x-1)2+y2=]3

【點評】本題考查圓的標準方程，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知圓C的圓心在直線2x+y-1=0上，且經(jīng)過原點和點(-1,-5),則圓C的方程為(x-2)?+

(丫+3)2=13.

【解答】解：由題意設(shè)圓的圓心C(b,1-2b),再根據(jù)圓過原點和點(-1,-5),

可得C到原點的距離等于C到點(-1,-5)的距離，

即b2+(1-2b)2=(b+1)2+(1-2b+5)2,

解得b=2._

可得圓心C(2,-3),半徑=后，

則圓C的方程為：(x-2)2+(y+3)2=13.

故答案為：(x-2)2+(y+3)2=13.

【點評】本題考查圓的標準方程的求法，準確利用已知條件列出方程是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

11.已知aGR,方程a?x2+(a+2)y?+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標是(-2,-4),半徑是5.

【解答】解：方程al、(a+2)y?+4x+8y+5a=0表示圓，

/.a2=a+2/0,解得a=-I或a=2.

當a=-1時，方程化為x2+y2+4x+8y-5=0,

配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圓的圓心坐標為(-2,-4),半徑為5；

當a=2時，方程化為x2+y2+x+2y+~=0，

J1WD2+E2-4F=l+4-4X-|^-5<0.方程不表示圓，

故答案為：(-2,-4),5.

【點評】本題考查圓的一般方程，考查圓的一般方程化標準方程，是基礎(chǔ)題.

12.已知直線1過圓x?+y2-6y+5=0的圓心，且與直線x+y+l=O垂直，則1的方程是x-丫+3=0

【解答】解：由題意可得所求直線1經(jīng)過點(0,3),斜率為1,

故1的方程是y-3=x-0,即x-y+3=0,

故答案為：x-y+3=0

【點評】本題主要考查用點斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知直線1：x+y=l與y軸交于點P,圓O的方程為x\y、/(r>0).

(1)如果直線1與圓O相切，那么口返；(將結(jié)果直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上)

~2~

(II)如果直線1與圓O交于A,B兩點，且㈣-』，求r的值.

|PB|2

【解答】解：(I)圓心到直線的距離d=3=返，…(1分)

V222

(II)設(shè)|PA|=x,則|PB|=2x.

圓心到直線的距離dNa.

2

①點P在圓內(nèi)，|AB|=3x,則x?2x=(r-l)(r+1),x2=—(r2-1),

2

r2=—(r2-1)+—,"'?r=\/5；

82

2

②點P在圓外，則x?2x=(1-r)(r+1),.*=工(1-r),

2

/.r2=—(1-r2),?，?尸^應(yīng)?

825'

.?.r的值為逅或旄…(5分)

5

故答案為：返.

2

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查相交弦定理、勾股定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中

檔題.

14.已知圓C：x2+y2+2x-3=0.

(1)求圓的圓心C的坐標和半徑長;

(2)直線1經(jīng)過坐標原點且不與y軸重合，1與圓C相交于A(xi，yi)>B(x2,y2)兩點，求證：-

X1x2

為定值；

(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點，求直線m的方程，使aCDE的面積最大.

【解答】解：(1)圓C：x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,

則圓心C的坐標為(-1,0).圓的半徑長為2；

(2)設(shè)直線1的方程為丫=1?,

x2+y2+2x-3=0

聯(lián)立方程組，

y=kx

消去y得（1+1?）X2+2X-3=0,

則有：X]+X9=~->X<Xo=~-

1+k*1+儲

所以+工廠上2.=2為定值；

xjx2xjx23

(3)解法一：設(shè)直線m的方程為y=kx+b,則圓心C到直線m的距離J二1

V2

22,

所以IDE|=27R2-d=2i/4-d

2

SACDE-IDE|?d=V4-d'1j)+d=2-

當且僅當d=、4-d2，即df巧時，ZXCDE的面積最大，

從而此二工1一而，解之得b=3或b=-1,

V2一

故所求直線方程為x-y+3=0或x-y-1=0.

解法二：由⑴知|CD|=|CE|=R=2,

所以SMDE與CD|"CE|，sinNDCE=2sin/D2

當且僅當CDJ_CE時，ACDE的面積最大，此時|DE1=2后；

設(shè)直線m的方程為y=x+b,則圓心C到直線m的距離二

V2

由IDE|=2^R2-d2=26-群=2?得

由此口-3，得b=3或b=-1,

V2r'

故所求直線方程為x-y+3=0或x-y-1=0.

【點評】本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了點到直線的距離以及方程組的應(yīng)用問題，考查

了轉(zhuǎn)化思想以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

拓展提升

1.過三點A(3,2),B(4,5),C(1,6)的圓，則圓的面積為()

A.10兀B.5TIC.”兀D.”兀

24

【解答】解：VA(3,2),B(4,5),C(1,6),

|AB|=7(4-3)2+(5-2)2=V10，|AC|=7(1-3)2+(6-2)2=V20，

|BCI=7(1-4)2+(6-5)2=V10，

V|AB|2+|BC|2=|AC|2,.-.ZB=90°,故|AC|為過A,B,C的圓的直徑，則圓的面積S=7T(Y|B)2=5加

故選：B.

【點評】本題考查圓的方程，考查圓面積的求法，訓(xùn)練了兩點間距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2.圓心在直線y=x上，經(jīng)過原點，且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+(y+1)2=2

22

C.(X-1)2+(y-1)2=2或(x+l)+(y+1)=2

D.(x-1)2+(y+1)2=2或(x+l)2+(y-1)2=2

【解答】解：畫出圓A滿足題中的條件，有兩個位置，

當圓心A在第一象限時,過A作ACJ_x軸,又|OB|=2,

根據(jù)垂徑定理得到點C為弦OB的中點，則|OC|=1,由點A在直線y=x上，

得到圓心A的坐標為(1,1),且半徑|OA|=J，，

則圓A的標準方程為：(x-1)2+(y-1)2=2；

當圓心A，在第三象限時,過A作A，C'_Lx軸,又|OB1=2,

根據(jù)垂徑定理得到點C為弦OB，的中點，則|OC|=1,由點A，在直線y=x上，

得到圓心A，的坐標為(-1,-1),且半徑|0"|=、巧，

則圓A，的標準方程為：(x+l)2+(y+1)2=2,

綜上，滿足題意的圓的方程為：(x-1)2+(y-1)2=2或(X+1)2+(y+I)2=2.

故選C

【點評】此題考查學(xué)生靈活運用垂徑定理化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔

題.需注意的事項是應(yīng)注意此題有兩解，不要遺漏.

3.已知兩點0(0,0),A(-2,0),以線段OA為直徑的圓的方程是()

A.(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=4

C.(x-I)2+y2=lD.(x+1)2+y2=l

【解答】解：根據(jù)題意，線段OA是圓的直徑，且O(0,0),A(-2,0),

則圓心的坐標為(-1,0),

|OA|=、(-2產(chǎn)=2,則圓的半徑為*|OA|=1；

故圓的方程為(x+1)2+y2=l；

故選：D.

【點評】本題考查圓的標準方程，根據(jù)題意求出圓的圓心與半徑是解題的關(guān)鍵.

4.已知圓C的圓心是直線x-y+l=0與y軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓的標準方程為()

A.x2+(y-1)2=8B.x2+(y+1)2=8

C.(x-1)2+(y+1)2=8D.(x+1)2+(y-1)2=8

【解答】解：對于直線x-y+l=0,令x=0,解得y=l.

.?.圓心C(0,1),

設(shè)圓的半徑為r,

?圓C與直線x+y+3=0相切，

?=2圾,

V2

...圓的標準方程為x?+(y-1)2=8.

故選：A.

【點評】本題考查了點到直線的距離公式及其圓與直線相切的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

5.已知aABC的三個頂點坐標分別為A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原點為圓心的圓與

此三角形有唯一的公共點，則圓的方程為()

A.x2+y2=lB.x2+y2=4

22

c.x+y=liD.x?+y2=l或x?+y2=37

5

【解答】解：如圖，

A(-2,3),C(6,-1),

...過A、C的直線方程為包=x-6,化為一般式方程,

3+1-2-6

點O到直線x+2y-4=0的距離d=

x0A"V(_2)2+32=V13,OB=7(-2)2+(-1)2=V5,oc=7s2+(_1)2=V371

以原點為圓心的圓若與三角形ABC有唯一的公共點，則公共點為（0,-1）或（6,-1）,

圓的半徑為1或所，

則圓的方程為x2+y2=l或x?+y2=37.

故選：D.

【點評】本題考查圓的標準方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

6.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=（）

【解答】解：圓x?+y2-2x-8y+13=0的圓心坐標為：（1,4）,

故圓心到直線ax+y-1=0的距離d=號與,

解得:a=

3

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是圓的一般方程，點到直線的距離公式，難度中檔.

7.已知圓x2+y2-2x+4y+l=0和兩坐標軸的公共點分別為A,B,C,則AABC的面積為（）

A.4B.2C.273D.V3

【解答】解：由圓C：x2+y2-2x+4y+l=0,化為標準方程得：（x-1）2+（y+2）2=4,

所以圓心的坐標為（1,-2）,半徑為2,

圓在y軸上截得的弦長為2?,與x軸的公共點為（1,0）,

AABC的面積為/x2V3x1=V3>

故選：D.

【點評】本題考查圓的方程，考查三角形面積的計算，屬于中檔題.

8.平面直角坐標系上有兩個定點A,B和動點P,如果直線PA和PB的斜率之積為定值m（m#））,則點

P的軌跡不可能是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【解答】解：設(shè)設(shè)A（-a,0）,B（a,0）,P（x,y）

依題意可知△-?=^=m,整理得y2-mx2=-ma2,

x+ax-a

當m>0時，方程的軌跡為雙曲線.

當m<0時，且m#-1方程的軌跡為橢圓.

當m=-1時，點P的軌跡為圓

，拋物線的標準方程中，x或y的指數(shù)必有一個是1,故P點的軌跡一定不可能是拋物線.

故選D

【點評】本題主要考查了圓錐曲線的綜合.考查了學(xué)生對圓錐曲線標準方程的考查和應(yīng)用.

9.已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點（0,泥）圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為岑￡,則圓

C的方程為（X-2）2+y2=9.

【解答】解：由題意設(shè)圓的方程為（x-a）2+y2=r2（a>0）,

由點M（0,旄）在圓上，且圓心到直線2x-y=0的距離為延■,

5

22

a+5=r

得《|2a|k后，解得a=2,r=3.

座」5

...圓C的方程為：（X-2）2+y2=9.

故答案為：（x-2）2+y?=9.

【點評】本題考查圓的標準方程，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題.

10.在平面直角坐標系xOy中，以點（1,0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（mGR）相切的所有圓

中，半徑最大的圓的標準方程為（X-l）2+y2=2.

【解答】解：圓心到直線的距離d」=

時，圓的半徑最大為加,

二所求圓的標準方程為（x-1）2+y2=2.

故答案為：（x-1）2+y2=2.

【點評】本題考查所圓的標準方程，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

11.如圖，已知圓C與x軸相切于點T(l,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標準方程為(x-1)2+(Y-血)2=2.

(2)圓C在點B處切線在x軸上的截距為--近.

【解答】解：(1)由題意，圓的半徑為后!=?,圓心坐標為(1,加)，

.?.圓C的標準方程為(x-1)2+(Y-A/2)2=2：

(2)由(I)知，B(0,1+圾)，

...圓C在點B處切線方程為(0-1)(x-1)+(1+72-V2)(y-圾)=2，

令y=0可得x=-1-我.

故答案為：(x-1)2+(y-圾)2=2；-1-V2.

【點評】本題考查圓的標準方程，考查圓的切線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

12.過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|=4近.

fl+9+D+3E+F=0

【解答】解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,貝”16+4+4D+2E+FR,

1+49+D-7E+F=0

：.D=-2,E=4,F=-20,

/.x2+y2-2x+4y-20=0,

令x=0,可得y?+4y-20=0,

y=-2±2-\/6，

，|MN|=4捉.

故答案為：4A/S.

【點評】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計算能力，確定圓的方程是關(guān)鍵.

13.在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：x-?尸4相切.

(1)求圓。的方程；_

(2)若圓O上有兩點M、N關(guān)于直線x+2y=0對稱，且|MN|二2次，求直線MN的方程.

【解答】（本題滿分14分）

（1）依題設(shè)，圓0的半徑r等于原點O