4.1任意角弧度制及任意角的三角函數(shù)答案

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解任意角和弧度制的概念,體會弧度制引入的必要性2.能熟練進(jìn)行弧度制與角度制的互化3.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義象限角及終邊相同的角通過了解任意角和弧度制的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)弧度制及其應(yīng)用通過弧度制和角度制的互化,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)任意角的三角函數(shù)——由定義求參數(shù)、由三角函數(shù)值符號判斷角所在的象限通過任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)1.(概念辨析)給出下列四個命題:①3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.(對接教材)(多選)下列表示正確的是().A.終邊在x軸上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.終邊在第二象限的角的集合為απ2+2kπ<α<π+2kπ,k∈ZC.終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是αα=kπ2,k∈ZD.終邊在直線y=x上的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z答案ABC3.(對接教材)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,6)且cosα=513A.52 B.52 C.±52 答案B解析由cosα=513得-xx2+364.(易錯自糾)(多選)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是().A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案AC解析因?yàn)榻?α的終邊在x軸的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,則有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故當(dāng)k=2n,n∈Z時,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1,n∈Z時,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α為第三象限角.5.(真題演練)(模擬預(yù)測改編)已知扇形的圓心角為30°,其弧長為2π,則此扇形的面積為.

答案12π解析設(shè)扇形的圓心角為α,半徑為r,弧長為l,因?yàn)棣?30°=π6,l=αr,所以r=2ππ6=12,所以扇形的面積S=1象限角及終邊相同的角典例1(1)已知下列四組角的表達(dá)式(各式中k∈Z):①2kπ±π3與kπ±π3;②kπ±π2與2kπ+π2;③kπ其中表示具有相同終邊的角的組數(shù)是().A.0 B.1 C.2 D.3(2)若α是第二象限角,則().A.α是第一象限角 B.α2C.3π2+α是第二象限角 答案(1)B(2)D解析(1)對于①,當(dāng)k=1時,kπ+π3=4π3,不存在2kπ±對于②,kπ±π2表示終邊在y軸上的角,2kπ+π對于③,kππ2,kπ+π對于④,2kπ±π表示終邊在x軸負(fù)半軸上的角,kπ表示終邊在x軸上的角,不正確.故選B.(2)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?所以可得π2對于A,可得π2kπ<α<π22kπ,k∈Z,此時對于B,可得π4+kπ<α2<當(dāng)k為偶數(shù)時,α2是第一象限角,當(dāng)k為奇數(shù)時,α對于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以對于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上的角,所以D正確.1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.確定nα,αn(n∈N*)的終邊位置的方法:先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出nα或αn的范圍,然后根據(jù)n的可能取值討論確定nα或訓(xùn)練1已知角α的終邊與5π3的終邊重合,則αA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案A解析因?yàn)榻铅恋慕K邊與5π3所以α=5π3+2kπ(k∈Z),所以α3=5π9令k=3n(n∈Z),則α3=5π9+2nπ(n∈Z),此時令k=3n+1(n∈Z),則α3=11π9+2nπ(n∈Z),此時令k=3n+2(n∈Z),則α3=17π9+2nπ(n∈Z),此時所以α3弧度制及其應(yīng)用典例2(1)下列結(jié)論錯誤的是().A.150°化成弧度是7π6rad B.10π3C.67°30'化成弧度是3π8rad D.π12rad化成度是15°(2)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著,成于公元一世紀(jì)左右,系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計(jì)算弧田(弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式:弧田面積=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2π3,弦長為403m的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為().(其中π≈3,A.15m2 B.16m2 C.17m2 D.18m2答案(1)A(2)B解析(1)對于A,150°=150×π180=5π對于B,10π3=-10π3×對于C,67°30'=67.5×π180=3π對于D,π12=π12×(2)因?yàn)閳A心角為2π3,弦長為403因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為12(403×20+20×20)=(4003+200)(m2實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積,為12×2π3×40212×20×403=1600π因此兩者之差為1600π34003(4003+200)≈16(m2扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式:弧度制下扇形的面積公式是S=12lR=12αR(2)找關(guān)鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計(jì)算問題,關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.訓(xùn)練2(1)(多選)下列角度與弧度進(jìn)行互化正確的是().A.37°30'=5π24 B.216°=C.7π12=115° D.11π5(2)(多選)中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn),一般情況下,折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成的,如圖,設(shè)扇形的面積為S1,其圓心角為θ,圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為5-12時,扇面為“美觀扇面”,下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù):A.S1SB.若S1S2=1C.若扇面為“美觀扇面”,則θ≈138°D.若扇面為“美觀扇面”,扇形的半徑R=20,則此時的扇形面積為200(35)答案(1)ABD(2)AC解析對于A,37°30'=37.5°=752°=752×π180對于B,216°=216×π180=6π對于C,7π12=7π12×對于D,11π5=-11π(2)對于A,設(shè)扇形的半徑為R,因?yàn)镾1與S2所在扇形的圓心角分別為θ,2πθ,所以S1S2=1對于B,因?yàn)镾1S2=θ2π-θ=12,所以θ=2π3,所以S1=對于C,因?yàn)镾1S2=θ2π-θ對于D,S1=12·θ·R2=12×(35)π×400=200(3任意角的三角函數(shù)典例3(1)(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,3),且角θ與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,則下列選項(xiàng)正確的是().A.sinθ=21B.α為鈍角C.cosα=2D.點(diǎn)(tanθ,sinα)在第一象限(2)下列判斷正確的是().A.tan120°sin269°<0 B.cos4tan-23πC.sin3·cos5·tan4<0 D.sin2·tan53π12答案(1)ACD(2)D解析(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(2,3),所以sinθ=217因?yàn)榻铅扰c角α的終邊關(guān)于x軸對稱,所以角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,3),α為第二象限角,不一定為鈍角,cosα=27因?yàn)閠anθ=32>0,sinα=21(2)對于A,因?yàn)?20°角是第二象限角,所以tan120°<0,因?yàn)?69°角是第三象限角,所以sin269°<0,所以tan120°sin269°>0,故A錯誤;對于B,因?yàn)棣?lt;4<3π2,所以4弧度角是第三象限角,所以cos4<0,因?yàn)?3π4=6π+π4,所以23π4是第一象限角,所以tan對于C,因?yàn)棣?<3<π,π<4<3π2,對于D,tan53π12=tan4π+5π12=tan5π12,5π12∈0,1.在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時,應(yīng)注意到角的終邊為射線,所以應(yīng)分兩種情況處理,取射線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b),則對應(yīng)角α的三角函數(shù)值分別為sinα=ba2+b22.三角函數(shù)值符號的判斷問題(1)由三角函數(shù)的定義可知sinα=yr,cosα=xr,tanα=(2)由三角函數(shù)值的符號確定角α的終邊所在象限問題,應(yīng)首先依據(jù)題目中所有三角函數(shù)值的符號來確定角α的終邊所在的象限,則它們的公共象限即為所求.訓(xùn)練3(1)(多選)下列選項(xiàng)中,符號為負(fù)的是().A.sin(100°) B.cos(220°) C.tan10 D.cosπ(2)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為23,則tanα=答案(1)ABD(2)2解析(1)角100°是第三象限角,故sin(100°)<0;角220°是第二象限角,故cos(220°)<0;10∈3π,7π(2)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x,則由x2+49=1,解得x=±53,因?yàn)榻铅翞榈诙笙藿?所以x=5比較大小典例下面四個選項(xiàng)中,大小關(guān)系正確的是().A.sinπ5<sin4π5 B.sinπC.cosπ5<cos4π5 D.tanπ答案B解析如圖,在單位圓中作出角π5的正弦線DP、余弦線OD、正切線AT,角4π由于π5=π4π5,因此π5由圖可得sinπ5=sin4π5>0,cosπ5tanπ5>0>tan4π所以sinπ5>0>cos4π(1)三角函數(shù)線的意義是可以表示三角函數(shù)的值,其長度等于三角函數(shù)值的絕對值,方向表示三函數(shù)值的正負(fù).(2)因?yàn)槿呛瘮?shù)線是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作角的三角函數(shù)線時,一定要先作單位圓.(3)有向線段的書寫:有向線段的起點(diǎn)字母寫在前面,終點(diǎn)字母寫在后面.訓(xùn)練依據(jù)三角函數(shù)線,作出如下四個判斷:①sinπ6=sin7π6;②cos-π4=cosπ4;③tanπ8>tanA.1個 B.2個C.3個 D.4個答案B解析根據(jù)下列四個圖形,容易判斷正確的結(jié)論是②④,有2個.一、單選題1.角25π12A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A2.若一個扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍,而弧長也變?yōu)樵瓉淼?倍,則().A.扇形的面積不變B.扇形的圓心角不變C.扇形的面積增大到原來的2倍D.扇形的圓心角增大到原來的2倍答案B解析設(shè)扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l,因?yàn)棣?lR而S=12αR23.(2023·湖南質(zhì)檢)若角α是第三象限角,則點(diǎn)P(2,sinα)所在的象限為().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由α是第三象限角知,sinα<0,因此點(diǎn)P(2,sinα)在第四象限.4.(2023·河北月考)擲鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動.如圖,這是一位擲鐵餅運(yùn)動員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間,張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”.經(jīng)測量,此時兩手掌心之間的弧長是7π10,“弓”所在圓的半徑為1.05米,則這位擲鐵餅運(yùn)動員兩手掌心之間的距離約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3A.1.819米 B.1.485米C.1.649米 D.1.945米答案A解析根據(jù)題意作圖如下,由題意知,ADB的長為7π10,D為ADB的中點(diǎn),所以∠AOC=7π201.05所以AB=2AC=2×1.05sinπ3=2.1×3二、多選題5.(2023·廣東中山月考)已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是().A.tanA與cosB B.cosB與sinCC.tanB2與cosC2 D.tan答案CD6.下列三角函數(shù)值的符號判斷正確的是().A.cos(280°)<0 B.sin500°>0C.tan-7π8>0 D.tan答案BCD三、填空題7.(2023·福建廈門調(diào)研)在面積為4的扇形中,其周長最小時半徑的值為.

答案2解析設(shè)扇形的半徑為R(R>0),圓心角為α,則12αR2=4,所以α=8則扇形的周長為2R+αR=2R+8R≥22R·88.已知α,β都是銳角,且α+β的終邊與280°角的終邊相同,αβ的終邊與670°角的終邊相同,則α=,β=.

答案15°65°解析由題意可知α+β=280°+k·360°,k∈Z.因?yàn)棣?β都是銳角,所以0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°,①αβ=670°+k·360°,k∈Z.因?yàn)棣?β都是銳角,所以90°<αβ<90°,取k=2,得αβ=50°,②由①②得α=15°,β=65°.四、解答題9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B,始邊不動,終邊在運(yùn)動.(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為45(2)若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合.解析(1)由題意可得B-45,35(2)因?yàn)椤鰽OB為等邊三角形,且點(diǎn)B在x軸上方,則∠AOB=π3,故與角α終邊相同的角β的集合為β|β=10.已知θ是第二象限角.(1)試判斷sin(cosθ)(2)若角θ的終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0),且cosθ=1010解析(1)因?yàn)?kπ+π2所以1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π(k∈Z),所以1≤sin2θ<0,所以sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0.所以sin(cosθ)所以sin(cosθ)(2)由題意,得r=|OP|=x2+9,則cosθ=xr因?yàn)閏osθ=1010x,所以xx2因?yàn)閤≠0,所以x=1或x=1.當(dāng)x=1時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3),角θ為第一象限角,此時,sinθ=310=31010當(dāng)x=1時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3),角θ為第二象限角,此時,sinθ=31010,cosθ=11.(多選)某教師從“丟手絹”游戲中抽象出以下數(shù)學(xué)問題,質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓O上逆時針做勻速