專題09 點、線、面的位置關(guān)系 解析版

Page16Page1專題09點、線、面的位置關(guān)系知識總結(jié)：1平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無線延展的．2平面的表示平面通常用希臘字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱．如平面ABCD、平面AC或者平面BD，還可以用平面內(nèi)不共線的三點的字母表示，如平面ABC.3公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法4公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；5公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)6公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．7直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點個數(shù)100特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)8直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點個數(shù)無數(shù)個109平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上10等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．題型歸納【題型01平面及其性質(zhì)】【題型02數(shù)學符號的表示】【題型033個公理】【題型04點線面的位置關(guān)系】【題型01平面及其性質(zhì)】【典例1】（2023春·安徽·高一安徽師范大學附屬中學校考階段練習）在下列條件下，能確定一個平面的是（

）A．空間的任意三點 B．空間的任意一條直線和任意一點C．空間的任意兩條直線 D．梯形的兩條腰所在的直線【答案】D【分析】三個不共線的點或者兩條共面直線可確定一個平面，由此判斷即可.【解析】三點共線則不能確定一個平面，A錯誤；點在直線則不能確定一個平面，B錯誤；若兩線直線為異面直線，則不能確定一個平面，C錯誤；梯形的兩條腰所在的直線在梯形所在的面上，可以確定一個平面，D正確.故選：D【題型02數(shù)學符號的表示】【典例1】2．用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)點、線以及線、面的符號表示，即得答案.【詳解】由題意用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，即，，故選：A【題型033個公理】【典例1】2．在下列命題中，不是公理的是A．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi).B．經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.C．垂直于同一條直線的兩個平面相互平行.D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點,這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線.【答案】C【分析】由題易知A、B、D答案是公理，可得結(jié)果.【詳解】對于答案A、B、D分別是公理1、3、2；答案C不是公理，故選C【點睛】本題考查了點、線、面的公理，熟悉公理是解題關(guān)鍵，屬于基礎題.【題型04點線面的位置關(guān)系】【典例1】1．（2023春·黑龍江·高一黑龍江實驗中學?？计谥校┰诳臻g中，下列命題不正確的是（

）A．若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點．且在一條直線上B．若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線C．梯形可確定一個平面D．任意三點能確定一個平面【答案】D【分析】利用平面的相關(guān)公理和推論逐項進行判斷即可求解.【解析】對于選項A，若兩個平面有一個公共點，則它們有經(jīng)過該公共點的一條直線，即兩平面有無數(shù)個公共點，故選項A正確；對于選項B，若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線，否則，若存在三點共線，則問題轉(zhuǎn)化為一條直線與直線外一點，則四點共面，故選項B正確；對于選項C，因為兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可確定一個平面，故選項C正確；對于選項D，共線的三點不能確定一個平面，故選項D錯誤；故選：D.同步練習選擇題1．三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.故選：C2．若點A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)點線面的關(guān)系結(jié)合元素和集合、集合與集合的關(guān)系直接寫出即可.【詳解】因為直線和平面都是由點形成的，所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點A在平面內(nèi)表示為，點A不在直線l上表示為，根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為.故選：B3．如圖所示，用符號語言可表達為（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】結(jié)合圖形及點、線、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達為，，，故選：A．4．空間不重合的三個平面可以把空間分成（

）A．4或6或7個部分 B．4或6或7或8個部分C．4或7或8個部分 D．6或7或8個部分【答案】B【分析】將空間不重合的三個平面位置關(guān)系分為：三個平面互相平行；三個平面有兩個平面平行；三個平面交于一線；三個平面兩兩相交且三條交線平行；三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，分情況分析求解即可.【詳解】空間不重合的三個平面，若三個平面互相平行，則可將空間分為4部分；若三個平面有兩個平面平行，則第三個平面與其它兩個平面相交，可將空間分為6部分；若三個平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯(lián)想墻角三個墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分.

故選：B.5．如果A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】直接按照平面內(nèi)點、線、面的位置關(guān)系，寫出結(jié)果即可．【詳解】A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點B在內(nèi)，表示為：，，．故選：B.6．下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面【答案】D【分析】直接根據(jù)立體幾何作圖規(guī)范要求依次判斷即可.【詳解】若直線在平面內(nèi)，應將直線畫在平面內(nèi)，A錯誤；平面與平面相交時，兩個平面相交于直線，而不是點，B錯誤；直線與平面相交，看不到的部分應當畫虛線，C錯誤；兩直線異面滿足作圖規(guī)范.故選：D7．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，長方體ABCD-A'B'C'D'中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線AC與A'B相交B．直線AD'與BC'是異面直線C．直線B'D'與DC'有公共點D．A'B//D'C【答案】D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【解析】對于A，AC?面ABCD，A'B∩面ABCD=B，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線AC與A'B是異面直線，故A選項錯誤；對于B，∵AB//C'D'，AB=C'D'，∴四邊形ABC'D'為平行四邊形，∴AD'//BC'，即直線AD'與BC'平行直線，故B選項錯誤；對于C，B'D'?面A'B'C'D'，DC'∩面A'B'C'D'=C'，C'?B'D'，根據(jù)異面直線的定義得，直線B'D'與DC'是異面直線，故C選項錯誤；對于D，∵BC//A'D'，BC=A'D'，∴四邊形BCD'A'為平行四邊形，∴A'B//D'C，故D選項正確；故選：D.8．如圖所示，平面α∩平面β=l，點A,B∈α，點C∈β，直線AB∩l=R.設過A,B,C三點的平面為γ，則β∩γ=（

）A．直線AC B．直線BCC．直線CR D．以上均不正確【答案】C【解析】由C,R是平面β和γ的兩個公共點，由兩個平面若有交點，所有的交點都在同一條直線上，即可進行判斷.【詳解】∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴R∈l,l?β,R∈AB，∴R∈β.又∵A,B,C三點確定的平面為γ，∴C∈γ,AB?γ,∴R∈γ.又∵C∈β,∴C,R是平面β和γ的公共點，∴β∩γ=CR.故選：C【點睛】如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，因此兩個不重合的平面的兩個公共點的連線必為這兩個不重合的平面的交線.9．若一直線上有一點在已知平面外，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與平面平行 B．直線與平面相交C．直線上至少有一個點在平面內(nèi) D．直線上有無數(shù)多個點都在平面外【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面、點與平面位置關(guān)系依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，若直線與平面相交，此時除交點外，其余點都在平面外，A錯誤；對于BC，若直線與平面平行，則所有點都在平面外，BC錯誤；對于D，直線無論與平面相交還是平行，則都有無數(shù)個點在平面外，D正確.故選：D.10．經(jīng)過平面外兩點與這個平面平行的平面A．只有一個 B．至少有一個 C．可能沒有 D．有無數(shù)個【答案】C【詳解】試題分析：經(jīng)過平面外兩點與這個平面平行的平面可能沒有，如圖A,B在平面外，但過A,B的直線與平面垂直時（相交時）．故選C．考點：本題主要考查平面的基本性質(zhì)．點評：考慮多種位置關(guān)系，通過舉反例，達到解題目的．11．與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．都相交C．在這兩個平面內(nèi) D．至少和其中一個平行【答案】D【分析】對該直線是否在其中一個平面內(nèi)進行討論即可求解【詳解】①當該直線不在任何一個平面時，則該直線與兩平面平行；②當該直線在其中一個平面時，則其必和另一個平面平行．綜上這條直線至少和兩平面中的一個平行．故選：D．12．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)【答案】D【分析】分別討論直線是否在其中的一個平面內(nèi)，結(jié)合平行的傳遞性和面面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】設這兩個平面為α，β，直線l∥α，且α∥β，如果l?β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直線平行于另一個平面；如果l?β，由α∥β可知，l∥α，滿足題意，則直線可以在另一個平面內(nèi).故選：D.二、填空1．“直線和平面相交于點”的符號表達為．【答案】【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系用符合表達即可.【詳解】“直線和平面相交于點”的符號表達為．故答案為：．2．下圖中的兩個相交平面，其中畫法正確的是．【答案】④【分析】根據(jù)相交平面的畫法逐一判斷即可.【詳解】解：對于①，因被擋住的部分應畫虛線，需要畫出兩相交平面的交線，故①錯誤；對于②，因被擋住的部分應畫虛線，故②錯誤；對于③，因被擋住的部分應畫虛線，不被擋住的畫出實線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故③錯誤；對于④，因被擋住的部分應畫虛線，不被擋住的畫出實線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故④正確.故答案為：④.3．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC//BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________．【答案】共線【分析】證明點O，C，D同在另一平面β內(nèi)，結(jié)合平面基本事實推理作答.【詳解】因AC//BD，則AC與BD確定一個平面β，而C，D∈α，從而得α∩β=CD，又l∩α=O，即O∈α，而l?β，則有O∈β，于是得O∈CD，所以O，C，D三點共線.故答案為：共線4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1與平面BDC1的交線是________．【答案】C1M【分析】找到同時在兩平面上的點，從而可求出交線.【詳解】因為C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同時M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，所以平面A1CC1與平面BDC1的交線是C1M.故答案為:C1M.三、解答題1．用符號語言改寫下列語句．(1)點A在平面內(nèi)，點B不在直線l上；(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面有且只有一個公共點M；(3)直線a和b相交于一點M；(4)平面與平面相交于過點A的直線l．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)立體幾何的相關(guān)符號語言一一表述即可.【詳解】（1）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（2）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（3）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（4）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；2．根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應的圖形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．【答案】(1)詳情見解析(2)詳情見解析(3)詳情見解析【分析】（1）（2）（3）根據(jù)空間中點、線、面的位置關(guān)系畫出圖形.【詳解】（1）解：點在平面上，點不在平面上，如下圖所示：（2）解：直線在平面上，直線與平面相交于點，且點不在直線上，如下圖所示：．（3）解：直線經(jīng)過平面外一點和平面上一點，如下圖所示：3．根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面直角的關(guān)系．(1)點與直線；(2)點與直線；(3)點與平面；(4)點與平面；(5)直線與直線；(6)直線與平面．【答案】(1)；(2)；(3)平面；(4)平面；(5)；(6)平面.【分析】根據(jù)立體圖形，結(jié)合點，線，面的位置關(guān)系及表示方法寫出答案.【詳解】（1）；（2）；（3）平面；（4）平面；（5）；（6）平面.4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點，求證：(1)證明：E、C、D1、F四點共面；(2)設D1F∩CE=O，證明：A，O，D三點共線．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形的中位線及平行四邊形的性質(zhì)證明EF/