培優(yōu)沖刺02 二次函數(shù)與幾何的綜合（解析版）

培優(yōu)沖刺02二次函數(shù)與幾何的綜合1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合2、二次函數(shù)與最值的綜合3、二次函數(shù)與相似的綜合4、二次函數(shù)與新定義的綜合題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合此類問題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)或者存在性問題；做題時(shí)需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用?！局锌颊骖}練】1．（2023?揚(yáng)州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．（1）如果四個(gè)點(diǎn)（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上．①a＝1；②如圖1，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且AD⊥y軸，求菱形的邊長(zhǎng)；③如圖2，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究n﹣m是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由．（2）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a＞0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．【分析】（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，即知（0，2）不在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上，用待定系數(shù)法可得a＝1；②設(shè)BC交y軸于E，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2t，可得B（﹣t，t2），故AE＝＝t，D（2t，t2+t），代入y＝x2得t2+t＝4t2，可解得t＝，故菱形的邊長(zhǎng)為；③過B作BF⊥y軸于F，過D作DE⊥y軸于E，由點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，可得BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，證明△ABF≌△DAE（AAS），有BF＝AE，AF＝DE，故m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，即可得n﹣m＝1；（2）過B作BF⊥y軸于F，過D作DE⊥y軸于E，由點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，知B（m，am2），D（n，an2），分三種情況：①當(dāng)B，D在y軸左側(cè)時(shí)，由△ABF≌△DAE（AAS），可得﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，故n﹣m＝；②當(dāng)B在y軸左側(cè)，D在y軸右側(cè)時(shí)，由△ABF≌△DAE（AAS），有﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，知m+n＝0或n﹣m＝；③當(dāng)B，D在y軸右側(cè)時(shí)，m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，可得n﹣m＝．【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，∴（0，0）在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上，（0，2）不在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上，∵四個(gè)點(diǎn)（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上，∴二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上的三個(gè)點(diǎn)是（0，0），（1，1），（﹣1，1），把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，故答案為：1；②設(shè)BC交y軸于E，如圖：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2t，則AB＝BC＝CD＝AD＝2t，∵B，C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴BE＝CE＝t，∴B（﹣t，t2），∴OE＝t2，∵AE＝＝t，∴OA＝OE+AE＝t2+t，∴D（2t，t2+t），把D（2t，t2+t）代入y＝x2得：t2+t＝4t2，解得t＝或t＝0（舍去），∴菱形的邊長(zhǎng)為；③n﹣m是為定值，理由如下：過B作BF⊥y軸于F，過D作DE⊥y軸于E，如圖：∵點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，∴B（m，m2），D（n，n2），∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB，∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，∴m＝n2﹣n﹣m2，∴m+n＝（n﹣m）（n+m），∵點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，∴m+n≠0，∴n﹣m＝1；（2）過B作BF⊥y軸于F，過D作DE⊥y軸于E，∵點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，∴B（m，am2），D（n，an2），①當(dāng)B，D在y軸左側(cè)時(shí)，如圖：∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，∴﹣m＝am2+n﹣an2，∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），∵m+n≠0，∴n﹣m＝；②當(dāng)B在y軸左側(cè)，D在y軸右側(cè)時(shí)，如圖：∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，∴﹣m＝am2+n﹣an2，∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），∴m+n＝0或n﹣m＝；③當(dāng)B，D在y軸右側(cè)時(shí)，如圖：∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，∴m＝an2﹣n﹣am2，∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），∵m+n≠0∴n﹣m＝；綜上所述，m、n滿足的等量關(guān)系式為m+n＝0或n﹣m＝．2．（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）利用待定系數(shù)法可得直線AM的解析式為y＝2x+2，進(jìn)而可得D（0，2），作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣2），連接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值為D′M，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得答案；（3）分三種情況：當(dāng)DM、PQ為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)DP、MQ為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)DQ、PM為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即對(duì)角線的中點(diǎn)重合，分別列方程組求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AM的解析式為y＝2x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴D（0，2），作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣2），連接D′M，D′H，如圖，則DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值為D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值為；（3）對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），∵拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴設(shè)Q（1，n），當(dāng)DM、PQ為對(duì)角線時(shí)，DM、PQ的中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；當(dāng)DP、MQ為對(duì)角線時(shí)，DP、MQ的中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；當(dāng)DQ、PM為對(duì)角線時(shí)，DQ、PM的中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；綜上所述，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或（1，1）或（1，5）．3．（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為的拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）若，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形？（3）若，設(shè)直線MN交直線BC于點(diǎn)E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線MN的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）根據(jù)MN＝2ME，分E在MN內(nèi)部與外部?jī)煞N情況討論，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．【解答】解：（1）在直線y＝﹣x+4中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，∴點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4），設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4）代入可得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝＝﹣x2+3x+4；（2）由題意，P（m，﹣m2+3m+4），∴PN＝﹣m2+3m+4，當(dāng)四邊形CDNP是平行四邊形時(shí)，PN＝CD，∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，∴D（0，m2﹣3m）N（m，0），設(shè)直線MN的解析式為，把N（m，0）代入可得，解得：k1＝3﹣m，∴直線MN的解析式為y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，又∵過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，且拋物線對(duì)稱軸為，∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，解得m1＝（不合題意，舍去），m2＝；∴當(dāng)m為時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形；（3）存在，理由如下：∵對(duì)稱軸為x＝，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：×2﹣m＝3﹣m，∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），①如圖1，∵M(jìn)N＝2ME，即E是MN的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)稱軸x＝上，∴E（，），又點(diǎn)E在直線BC：y＝﹣x+4，代入得：＝﹣+4，解得：m＝或（舍去），故此時(shí)m的值為．②如圖2，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∵M(jìn)N＝2ME，∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，聯(lián)立①②并解得：m＝（舍去）或，綜上所述，m的值為或．【中考模擬練】1．（2024?新沂市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．（1）a＝1，b＝﹣2；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若△CDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）當(dāng)∠ECD＝90°，由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4），則直線CD⊥BC，即可求解；當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，則點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求解；（3）由CE＝DE，得到x＝3﹣，則CE＝x＝32＝CF，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），則y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，則a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，即a＝1，b＝﹣2，故答案為：1，﹣2；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)B、C的坐標(biāo)的得，直線BC的表達(dá)式知：y＝x﹣3，當(dāng)∠ECD＝90°，由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4），則直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，則直線CD⊥BC，即當(dāng)點(diǎn)D和拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，△CDE是直角三角形，即點(diǎn)P（1，0）；當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，則點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)P（2，0）；綜上，P（1，0）或（2，0）；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)P（x，0），則點(diǎn)E（x，x﹣3），點(diǎn)D（x，x2﹣2x﹣3），則DE＝x﹣3﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x，①當(dāng)CE＝ED＝CF，則CE＝DE，即﹣x2+3x＝x，解得：x＝3﹣，則CE＝x＝32＝CF，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，3﹣5）（舍去）或（0，﹣3﹣1）．②當(dāng)FE＝ED＝CD＝CF，此時(shí)∠CED＝∠BCO＝45，∠FEC＝∠CED＝45（菱形的對(duì)角線平分菱形的角），∴∠FED＝90，因此這個(gè)菱形正好是特殊的正方形．∴當(dāng)CD∥x軸（∠CDE＝90）時(shí)，即可滿足．此時(shí)E（2，﹣1），∵FE∥CD，∴F（0，﹣1），綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，﹣1）或（0，﹣3﹣1）．題型二：二次函數(shù)與最值的綜合1、二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式求最值；2、拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值，常用“水平寬×鉛垂高÷2”來計(jì)算【中考真題練】1．（2023?荊州）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a＝4b，則a的值是0或2或﹣；（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），并與動(dòng)直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC的面積；②探究直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．【分析】（1）y關(guān)于x的函數(shù)應(yīng)分一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況，其中二次函數(shù)應(yīng)分為①與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)；②與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)兩種情況討論；（2）①如圖，設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)F，待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+8，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直線BC的解析式為y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；②如圖，設(shè)直線x＝m交x軸于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OD＝8﹣2m，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①當(dāng)a﹣2＝0時(shí)，即a＝2時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝3x+，此時(shí)y＝3x+與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；②當(dāng)a﹣2≠0時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)為二次函數(shù)，∵二次函數(shù)圖象拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線可能存在與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)或與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸一個(gè)交點(diǎn)兩種情況．當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意得b＝0，此時(shí)a＝0，拋物線為y＝﹣2x2+x．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣2x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝．∴其圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（，0）．當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由題意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所對(duì)應(yīng)的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根．∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，解得a＝﹣，此時(shí)y＝﹣x2+x﹣，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣，∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣），當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x﹣＝0，解得x1＝x2＝，∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），綜上所述，若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a可取的值為2，0，﹣，故答案為：2或0或﹣；（2）①如圖，設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+8，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，∴C（0，8），∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，∴P（1，9），∵B（4，0），C（0，8），∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+8，∴F（1，6），∴PF＝9﹣6＝3，∴△PBC的面積＝OB?PF＝＝6；②S1﹣S2存在最大值，理由：如圖，設(shè)直線x＝m交x軸于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），∴PH＝﹣m2+2m+8，∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，∴，∴，∴OD＝8﹣2m，∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，∵﹣3＜0，0＜m＜4，∴當(dāng)m＝時(shí)，S1﹣S2存在最大值，最大值為．2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2過點(diǎn)（1，3），且交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，求△PDE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）中△PDE周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由△PDE周長(zhǎng)的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；（3）當(dāng)AP是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AM＝AN，列出方程組即可求解；當(dāng)AM或AN是對(duì)角線時(shí)，同理可解．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即點(diǎn)B（4，0），∵PE∥y軸，則∠PED＝∠OCB，則tan∠PED＝tan∠OCB＝2，則sin∠PED＝，cos∠PED＝，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，則PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值為2，此時(shí)，點(diǎn)P（2，3），則△PDE周長(zhǎng)的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周長(zhǎng)的最大值為，點(diǎn)P（2，3）；（3）拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于向右平移2個(gè)單位向下平移1個(gè)單位，則平移后拋物線的對(duì)稱軸為x＝，設(shè)點(diǎn)M（，m），點(diǎn)N（s，t），由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得，AP2＝18，當(dāng)AP是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AM＝AN得：，解得：，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣，）；當(dāng)AM或AN是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合題意的值已舍去），即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（，）；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【中考模擬練】1．（2024?東平縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M．（1）求這條拋物線的解析式；（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使得△ANC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，EP∥y軸，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值．【分析】（1）由OB，OC，OA，OD的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）利用配方法可求出拋物線的對(duì)稱軸，連接BC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，此時(shí)AN+CN和最小，即△ANC的周長(zhǎng)最小，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)A，D的坐標(biāo)可得出直線AD的解析式，聯(lián)立直線AD和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過點(diǎn)PP作PE⊥x軸，交直線AD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），進(jìn)而可得出PE的長(zhǎng)，由三角形的面積結(jié)合S△APM＝S△APE+S△MPE可得出S△APM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），將A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴這條拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)N，使得△ANC的周長(zhǎng)最??；理由如下：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，連接BC，交拋物線對(duì)稱軸點(diǎn)N，如圖1所示，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，∴AN＝BN，∴AN+CN＝BN+CN，∴當(dāng)點(diǎn)B，C，N三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CN取得最小值，即△ANC的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d（k≠0），將B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，∴在這條拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)N（﹣1，﹣2）時(shí)△ANC的周長(zhǎng)最??；（3）點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，∵A（1，0），D（0，1），∴直線AD的解析式為y＝﹣x+1，聯(lián)立直線AD和拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣4，5），過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交直線AD于點(diǎn)E，如圖2所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，∴S△APM＝S△APE+S△MPE，＝，＝，∴S△APM＝＝，∵，∴當(dāng)時(shí)，△AMP的面積取最大值，最大值為，∴當(dāng)△AMD面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，面積最大值為．題型三：二次函數(shù)與相似的綜合【中考真題練】1．（2023?樂至縣）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C，求DC的長(zhǎng)的最大值；（3）點(diǎn)Q是線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使△ABQ與△BQN相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)D（m，﹣m2﹣m+3），則C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），進(jìn)而表示出CD的長(zhǎng)；接下來用含m的二次函數(shù)表示S，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；（3）分兩種情況：①當(dāng)△ABQ∽△BQN時(shí)，②當(dāng)△ABQ∽△QBN時(shí)，分別求解即可．【解答】解：（1）∵直線y＝x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，A（﹣4，0），B（0，3），∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）設(shè)D（m，﹣m2﹣m+3），∵DC∥作x軸，與直線AB交于點(diǎn)C，∴x+3＝﹣m2﹣m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，∴C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，DC的長(zhǎng)的最大值為4；（3）設(shè)N（0，n），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝5，分兩種情況：①當(dāng)△ABQ∽△BQN時(shí)，∵△ABQ∽△BQN，∴∠ABQ＝∠BQN，，∴PQ∥AB，∴△OQN∽△OAB，∴，∴，∴OQ＝n，QN＝n，∴BQ＝＝，∴，∴n＝或3（舍去），∴OQ＝n＝，∴Q（﹣，0），N（0，），設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+a，∴，解得，∴直線PQ的解析式為y＝x+，聯(lián)立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合題意，舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)△ABQ∽△QBN時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，∵△ABQ∽△QBN，∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，∴QH＝QO，∵BQ＝BQ，∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，∴BH＝OB＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，設(shè)OQ＝q，則AQ＝4﹣q，QH＝q，∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝，∴Q（﹣，0），∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，∴∠OQN＝∠QBN，∵∠QON＝∠BOQ＝90°，∴△OQN∽△OBQ，∴，∴，∴n＝，∴Q（﹣，0），N（0，），同理得直線PQ的解析式為y＝x+，聯(lián)立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合題意，舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．2．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M（m，0），交BC于點(diǎn)N，連接CM，PB，PC．△PCB的面積記為S1，△BCM的面積記為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求m的值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線上，直線MQ與直線BC交于點(diǎn)H，當(dāng)△HMN與△BCM相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c可解得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）求出C（0，4），直線BC解析式為y＝﹣x+4，由直線l⊥x軸，M（m，0），得P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，故S1＝PN?|xB﹣xC|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，而S2＝BM?|yC|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，根據(jù)S1＝S2，有﹣m2+4m＝8﹣2m，即可解得m的值；（3）由B（4，0），C（0，4），得△BOC是等腰直角三角形，△BMN是等腰直角三角形，故∠BNM＝∠MBN＝45°，而△HMN與△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，可知H在MN的右側(cè)，且＝或＝，設(shè)H（t，﹣t+4），當(dāng)＝時(shí)，＝，可解得H（6，﹣2），直線MH解析式為y＝﹣x+1，聯(lián)立解析式可解得Q的坐標(biāo)為（，）或（，）；當(dāng)＝時(shí)，同理得Q的坐標(biāo)為（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），由B（4，0），C（0，4）可得直線BC解析式為y＝﹣x+4，∵直線l⊥x軸，M（m，0），∴P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），∴PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴S1＝PN?|xB﹣xC|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，∵B（4，0），C（0，4），M（m，0），∴S2＝BM?|yC|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，∵S1＝S2，∴﹣m2+4m＝8﹣2m，解得m＝2或m＝4（P與B重合，舍去），∴m的值為2；（3）∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴∠BNM＝∠MBN＝45°，∵△HMN與△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，∴H在MN的右側(cè)，且＝或＝，設(shè)H（t，﹣t+4），由（2）知M（2，0），N（2，2），B（4，0），C（4，0），∴BC＝4，BM＝2，MN＝2，NH＝＝|t﹣2|，當(dāng)＝時(shí)，如圖：∴＝，解得t＝6或t＝﹣2（此時(shí)H在MN左側(cè)，舍去），∴H（6，﹣2），由M（2，0），H（6，﹣2）得直線MH解析式為y＝﹣x+1，解得或，∴Q的坐標(biāo)為（，）或（，）；當(dāng)＝時(shí)，如圖：∴＝，解得t＝（舍去）或t＝，∴H（，），由M（2，0），H（，）得直線MH解析式為y＝3x﹣6，解得或，∴Q的坐標(biāo)為（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．【中考模擬練】1．（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、CD，設(shè)直線BC交線段AD于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△ACE的面積為S2．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)小于2，是否在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明△AEF∽△DEG，得到＝＝，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸時(shí)，以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，存在∠CAP＝∠DCBC＝90°、∠CPA＝∠DCB＝90°兩種情況，利用解直角三角形的方法即可求解；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在x軸上時(shí)，同理可解．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得：y＝3，∴C（0，3）．把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，∴B（3，0），將C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如右圖，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)D作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F和點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3）則DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，當(dāng)x＝﹣1時(shí)y＝4，∴F（﹣1，4），AF＝4，∵AF∥DG，∴△AEF∽△DEG，∵＝，∴＝＝，則DG＝2，∴﹣m2+3m＝2，解得m1＝1，m2＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；（3）存在，理由：由題意得，點(diǎn)D（1，4），由點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)得，CD＝，BC＝3，BD＝則tan∠CBD＝＝＝tanα，則sinα＝，cosα＝，∠DCB＝90°，當(dāng)點(diǎn)P在y軸時(shí)，∵以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，當(dāng)∠CAP＝∠DCB＝90°時(shí)，則cos∠ACP＝cosα＝＝＝，則CP＝，則點(diǎn)P（0，﹣）；當(dāng)∠CPA＝∠DCB＝90°時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)P、O重合且符合題意，故點(diǎn)P（0，0）；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在x軸上時(shí)，只有∠ACP′＝∠DCB＝90°，則AP′＝＝＝10，則點(diǎn)P′（9，0），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或．題型四：二次函數(shù)與新定義的綜合【中考真題練】1．（2023?南通）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b），點(diǎn)Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“k級(jí)變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣4，6）是點(diǎn)（2，3）的“﹣2級(jí)變換點(diǎn)”．（1）函數(shù)y＝﹣的圖象上是否存在點(diǎn)（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）動(dòng)點(diǎn)A（t，t﹣2）與其“k級(jí)變換點(diǎn)”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(diǎn)（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求證：y1﹣y2≥2；（3）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．【分析】（1）求出（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”的坐標(biāo)，即可求解；（2）求出點(diǎn)A、B所在的直線表達(dá)式，即可求解；（3）先求出點(diǎn)A、B所在的直線為y＝x﹣5，當(dāng)n＞0時(shí)，畫出拋物線和直線AB的大致圖象，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，得到x+5＝，即可求解；當(dāng)n＜0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，直線AB不可能和拋物線在x≥0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求解．【解答】（1）解：存在，理由：由題意得，（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”為：（k，﹣2k），將（k，﹣2k）代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：﹣4＝k（﹣2k），解得：k＝±；（2）證明：由題意得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（kt，﹣kt+2k），由點(diǎn)A的坐標(biāo)知，點(diǎn)A在直線y＝x﹣2上，同理可得，點(diǎn)B在直線y＝﹣x+2k，則y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，則y1﹣y2＝m2﹣2+m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，∵k≤﹣2，則﹣2k﹣2+m2≥2，即y1﹣y2≥2；（3）解：設(shè)在二次函數(shù)上的點(diǎn)為點(diǎn)A、B，設(shè)點(diǎn)A（s，t），則其“1級(jí)變換點(diǎn)”坐標(biāo)為：（s，﹣t），將（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，則t＝s﹣5，即點(diǎn)A在直線y＝x﹣5上，同理可得，點(diǎn)B在直線y＝x﹣5上，即點(diǎn)A、B所在的直線為y＝x﹣5；由拋物線的表達(dá)式知，其和x軸的交點(diǎn)為：（﹣1，0）、（5，0），其對(duì)稱軸為x＝2，當(dāng)n＞0時(shí)，拋物線和直線AB的大致圖象如下：直線和拋物線均過點(diǎn)（5，0），則點(diǎn)A、B必然有一個(gè)點(diǎn)為（5，0），設(shè)該點(diǎn)為點(diǎn)B，另外一個(gè)點(diǎn)為點(diǎn)A，如上圖，聯(lián)立直線AB和拋物線的表達(dá)式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，則x+5＝，∵x≥0，則﹣5≥0，解得：n≤1，此外，直線AB和拋物線在x≥0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，故n≠，即0＜n≤1且n≠；當(dāng)n＜0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，直線AB不可能和拋物線在x≥0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故該情況不存在，綜上，0＜n≤1且n≠1/6．2．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：（0，1），y＝﹣1；【技能訓(xùn)練】（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請(qǐng)直接寫出d1+d2的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點(diǎn)F（h，k+），直線l過點(diǎn)M（h，k﹣）且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，）的距離等于點(diǎn)P到直線l：y＝的距離．請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：（4）如圖4，點(diǎn)D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2﹣1上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)PO+PD取最小值時(shí)，請(qǐng)求出△POD的面積．【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得＝8+2y0﹣1，然后根據(jù)y0＝，求出y0，進(jìn)而可得x0，問題得解；（3）過點(diǎn)P作PE⊥直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)F，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2的值最?。淮ㄏ禂?shù)法求直線PE的解析式，根據(jù)點(diǎn)E是直線PE和直線m的交點(diǎn)，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），即可求得d1+d2的最小值；（4）根據(jù)題意求得拋物線y＝x2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，0），準(zhǔn)線l的方程為y＝﹣2，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF，則PO+PD＝PG+PD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)D，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PD的值最??；求得（﹣﹣），即可求得的面積．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線l的方程為y＝﹣1，故答案為：（0，1），y＝﹣1；（2）由（1）知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），∵點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，又∵y0＝，∴4y0＝8+2y0﹣1，解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），∴x0＝（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）過點(diǎn)P作PE⊥直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如圖：若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故當(dāng)F，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最??；∵直線PE與直線m垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y＝﹣2x+b，將F（0，1）代入解得：b＝1，∴直線PE的解析式為y＝﹣2x+1，∵點(diǎn)E是直線PE和直線m的交點(diǎn)，令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），∴d1+d2＝﹣1．即d1+d2的最小值為﹣1．（4）∵拋物線y＝x2﹣1中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴拋物線y＝x2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），準(zhǔn)線l的方程為y＝﹣2，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF，則PO+PD＝PG+PD，如圖：若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故當(dāng)D，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最?。蝗鐖D：∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），DG⊥準(zhǔn)線l，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，則△OPD的面積為××1＝．【中考模擬練】1．（2024?新吳區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，且與x軸交于點(diǎn)A（4，0）．作出該拋物線位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，位于x軸上方的圖象保持不變，就得到y(tǒng)＝|ax2+bx|的圖象，直線y＝kx（k＞0）與y＝|