慕華優(yōu)策聯(lián)考20242024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考理科試題

慕華優(yōu)策聯(lián)考20242024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考理科試題本試卷共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。留意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1.若復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知命題：，使得“1”且，則為A.，使得且 B.，使得或C.，使得或 D.，使得且3.已知集合，，則A. B.C. D.4.若的綻開式有且只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為A.-960 B.960 C.448 D.-4485.已知向量，向量滿意，且，則與夾角為A.0 B. C. D.6.已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為，則該圓臺(tái)的體積為A. B. C. D.7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿意，且，，則A. B. C. D.9.傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)F，與該拋物線交于點(diǎn)A，B，且以AB為直徑的圓與直線相切，則A.4 B. C. D.10.將函數(shù)圖象上的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），然后再將其圖象向左平移單位得到圖象，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為A. B. C. D.11.在棱長為2的正方體中，M為中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是A. B.三棱錐的體積為C.線段最小值為 D.的取值范圍為12.已知函數(shù)對(duì)均滿意，其中是的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知在點(diǎn)處的切線的斜率為2，則的最小值為_________.14.寫出同時(shí)滿意下列條件①②的直線方程：_________（寫出一個(gè)滿意條件的答案即可）.①在軸上的截距為2；②與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).15.學(xué)校高一年級(jí)從6個(gè)班各自選出2名同學(xué)參與市里組織的朗讀競賽.若從這12名同學(xué)選出6人參與決賽，其中預(yù)賽成果優(yōu)秀的一（1）班甲和一（2）班乙兩名同學(xué)必需參與，其余任選，則這6人恰好僅有兩名同學(xué)來自相同班級(jí)的概率為_____________.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若數(shù)列滿意，，則_____________.三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.（1）求證：；（2）若，點(diǎn)D為邊AB上的一點(diǎn)，CD平分，，求邊長.18.（12分）某校本著“我運(yùn)動(dòng)我歡樂我熬煉我健康"精神主動(dòng)組織學(xué)生參與足球、籃球、排球、羽毛球等球類活動(dòng).為了解學(xué)生參與狀況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生對(duì)是否參與狀況進(jìn)行問卷調(diào)查.所得數(shù)據(jù)制成下表：不參與參與合計(jì)男生153550女生50合計(jì)100若從這100人中任選1人恰好參與球類活動(dòng)的概率為0.6.（1）推斷是否有95%的把握認(rèn)為“參與球類活動(dòng)”與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從不參與球類活動(dòng)的學(xué)生中按其性別比例實(shí)行分層抽樣的方法選取8人，再在這8人中抽取3人參與游泳，設(shè)抽取的女生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：2×2列聯(lián)表參考公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（12分）在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.（1）求證：為直角三角形；（2）若，求二面角的正弦值.20.（12分）已知過點(diǎn)的橢圓：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）已知過橢圓：上一點(diǎn)的切線方程為.已知點(diǎn)M為直線上隨意一點(diǎn)，過M點(diǎn)作橢圓的兩條切線MA，MB，A，B為切點(diǎn)，AB與（O為原點(diǎn)）交于點(diǎn)D，當(dāng)最小時(shí)求四邊形AOBM的面積.21.（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在的單調(diào)性；（2）若，對(duì)，不等式恒成立，求的最小值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.22.【4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)）.經(jīng)伸縮變換后的曲線為，以原點(diǎn)О為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）M，N是曲線上的兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍.23.【4-5不等式選講】已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若，，且，求滿意條件的整數(shù)的全部取值的和.慕華·優(yōu)策20242-2025年高三年級(jí)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案與評(píng)分說明（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.B【解析】∵.，故選B.【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算等必備的基礎(chǔ)學(xué)問.2.C【解析】依據(jù)復(fù)合命題的否定知：改結(jié)論不改條件，“存在”改為“隨意”，“且”改“或”.故選C.【命題意圖】本題主要考查復(fù)合命題的否定必備的基礎(chǔ)學(xué)問.3.C【解析】，，，，故選C.【命題意圖】本題主要考察集合的運(yùn)算與對(duì)數(shù)的定義域等必備基礎(chǔ)學(xué)問.4.D【解析】依題意只有時(shí)第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，項(xiàng)的系數(shù)為.【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理與性質(zhì)點(diǎn)等必備基礎(chǔ)學(xué)問.5.D【解析】依題意有，∴，又，即，∴，，，∴.故選D.【命題意圖】本題主要考查平面對(duì)量及運(yùn)算等必備學(xué)問.6.D【解析】圓臺(tái)軸截面如圖，則，∴.圓臺(tái)高，∴.故選D.【命題意圖】設(shè)置課程學(xué)習(xí)背景試題考查學(xué)生臺(tái)體側(cè)面積與體積公式與基本運(yùn)算實(shí)力.7.B【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故.選B.【命題意圖】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與不等式的應(yīng)用及基本運(yùn)算實(shí)力.8.C【解析】依題意，∴.∴，∴，∴.故選C.【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列概念與通項(xiàng)公式及基本運(yùn)算實(shí)力.9.B【解析】依題意直線即為拋物線的準(zhǔn)線，∴.∴.設(shè)直線方程為，∴，即，∴，∴.故選B.【命題意圖】本題主要考查拋物線概念與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想.10.C【解析】依題意由誘導(dǎo)公式知，橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變）得到，向左平移單位得到圖象，而圖象關(guān)于軸對(duì)稱，∴，則的最小值為.故選C.【命題意圖】本題主要考查學(xué)生三角函數(shù)有關(guān)的必備學(xué)問與推理求解實(shí)力.11.D.【解析】取中點(diǎn)，連接，，，，則有平面平面，∴平面，即在線段上.當(dāng)在時(shí)夾角為45°，故A錯(cuò)；.故B錯(cuò).線段的最小值為等腰三角形腰上的高，，故C錯(cuò).故選D.事實(shí)上，.當(dāng)為點(diǎn)時(shí)最大，的最小.此時(shí)為最小，當(dāng)最小值為直角三角形斜邊的高，即，此時(shí)為最大.D正確.【命題意圖】本題主要考查空間圖形的線面關(guān)系與綜合應(yīng)用實(shí)力.12.B【解析】令，，∴當(dāng)時(shí)，∴單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，∴單調(diào)遞減.對(duì)于A：，即.故A錯(cuò)；對(duì)于B：，又，∴，故B對(duì)；對(duì)于C：，又，∴，故C錯(cuò)；對(duì)于D：，又，∴，故D錯(cuò).故選B.【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在同構(gòu)不等式的應(yīng)用與代數(shù)推理等關(guān)鍵實(shí)力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2【解析】，∴，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本概念及基本不等式的應(yīng)用.14.或或或.（填對(duì)一個(gè)給滿分）【解析】依題意可設(shè)直線為，當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，.當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)由判別式為0解得，∴.【命題意圖】本題主要考查雙曲線定義性質(zhì)等必備學(xué)問與基本實(shí)力.15.【解析】12名同學(xué)中選6人，其中2人必需參與，即在余下的10人中任選4人，所以基本領(lǐng)件總數(shù)為，余下4人中如有一人來自一（1）或一（2）選法有種，余下4人均來自余下的四個(gè)班選法有種，故所求概率為.【命題意圖】設(shè)置生活情境試題，考查學(xué)排列組合與概率的必備學(xué)問與閱讀理解等關(guān)鍵實(shí)力.16.5149【解析】∵，∴.當(dāng)時(shí)，，∴，即.∴.……，上式累加得，∴.當(dāng)時(shí)也滿意，故.又，，∴，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③由①②得，由②③得，∴.【命題意圖】本題設(shè)置遞推數(shù)列與不等式綜合問題主要考查學(xué)生探究創(chuàng)新實(shí)力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、323題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.【解析】（1）解法一：∵，由余弦定理有，.∴，∴.又A，B，C為三角形內(nèi)角，∴.解法二：依正弦定理有，∴，即，又，∴，∴，∴或，又，∴，，∴（2）∵，∴，，∴.又，.∴，∴，∴，∴，∴.∴，∴.【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)與解三角形等必備學(xué)問與推理運(yùn)算實(shí)力.18.【解析】依題意參與球類活動(dòng)概率為60%，即有60人參與球類，可得下列聯(lián)表不參與參與合計(jì)男生153550女生252550合計(jì)4060100∴.故有95%把握認(rèn)為體育活動(dòng)時(shí)間達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）按不參與球類活動(dòng)比例抽取的8名學(xué)生中有3名男生，5名女生，則0123其期望為.【命題意圖】本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本學(xué)問與數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵實(shí)力.19.【解析】（1）在等腰梯形中，，，，為垂足，∴，，∴，∴.又∵，平面平面，又平面，平面，∴，∴平面，∴，∴，即為直角三角形.（2）由（1）知，平面，∴，∵，∴，，過作于，則平面.在為直角三角形中，，以P為原點(diǎn)PC，PD分別為x，y軸建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，，.在平面PAB中，設(shè)其法向量為，，，則，取，在平面中，設(shè)其法向量為，，.則，取，令，故求二面角的正弦值為.【命題意圖】本題主要考查空間幾何體線面位置關(guān)系的必備學(xué)問與邏輯推理等關(guān)鍵實(shí)力.20.【解析】（1）依題意有，，，∴，，橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，依題意有切線方程為，切線方程為，又切線都過點(diǎn)，∴，，∴方程為：.∴，.設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)E，則有∴.此時(shí)，同理依據(jù)對(duì)稱性可求得時(shí)故方程為：或，∴.依據(jù)對(duì)稱性可以取，則，，，聯(lián)立，，得.∴，.∴.∴.故最小時(shí)求四邊形的面積為.【命題意圖】本題主要考查圓錐曲線必備的綜合學(xué)問與邏輯推理及運(yùn)算求解等關(guān)鍵實(shí)力.21.【解析】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)令，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）依題意對(duì)成立，令，.即對(duì)成立，設(shè)，∴，又在上單調(diào)遞增，則肯定存在使得，即，，，，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴.令，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，∴.又，而在為增函數(shù)，又，∴，∴.【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合學(xué)問與邏輯推理及創(chuàng)新應(yīng)用等關(guān)鍵實(shí)力.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，令，，變換后直角坐標(biāo)方程