2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測四第五章三角函數(shù)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(四)(第五章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的)1.設(shè)a=sinQUOTE,b=cosQUOTE,c=tanQUOTE,則 ()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【解析】選D.因為a=sinQUOTE=sinQUOTE,b=cosQUOTE,所以a>0,b>0,且QUOTE=QUOTE=tanQUOTE>tanQUOTE=1,所以c=tanQUOTE>1,1>a>b>0,所以b<a<c.2.若f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是單調(diào)遞減的,則a的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.π【解析】選C.由題意,f(x)=cosx-sinx=-QUOTEsinQUOTE,當x-QUOTE∈QUOTE,即x∈QUOTE時,y=sinQUOTE單調(diào)遞增,則f(x)=-QUOTEsinQUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減,所以x∈QUOTE是f(x)在原點旁邊的單調(diào)遞減區(qū)間,結(jié)合條件得QUOTE?QUOTE,所以0<a≤QUOTEπ,即a的最大值為QUOTEπ.3.已知角α的始邊與x軸非負半軸重合,終邊過點P(-3,4),則sinα+cosα=()A.1 B.-1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題得sinα=QUOTE=QUOTE,cosα=-QUOTE=-QUOTE,所以sinα+cosα=QUOTE.【補償訓(xùn)練】將y=sin2x的圖象怎樣變換得到函數(shù)y=cosQUOTE的圖象?【解析】y=sin2x=cosQUOTE=cosQUOTE.在y=cosQUOTE中以x-a代x,有y=cosQUOTE=cosQUOTE.依據(jù)題意,有2x-2a-QUOTE=2x-QUOTE,得a=-QUOTE.所以將y=sin2x的圖象向左平移QUOTE個單位長度可得到函數(shù)y=cosQUOTE的圖象.4.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示,則()A.ω=1,φ=QUOTE B.ω=1,φ=-QUOTEC.ω=2,φ=QUOTE D.ω=2,φ=-QUOTE【解析】選D.T=π,所以ω=2,由五點作圖法知2×QUOTE+φ=QUOTE,φ=-QUOTE.5.已知關(guān)于x的方程x2-xcosAcosB+2sin2QUOTE=0的兩根之和等于兩根之積的一半,則△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選B.設(shè)已知方程的兩根分別為x1,x2,依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=cosAcosB,x1x2=2sin2QUOTE=1-cosC,因為x1+x2=QUOTEx1x2,所以2cosAcosB=1-cosC,因為A+B+C=π,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB,所以cosAcosB+sinAsinB=1,即cos(A-B)=1,所以A-B=0,即A=B,所以△ABC為等腰三角形.6.(2024·天津高一檢測)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數(shù),將y=f(x)的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2π,且gQUOTE=QUOTE,則fQUOTE=()A.-2 B.-QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選C.因為f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=Asinφ=0,φ=kπ(k∈Z),因為|φ|<π,所以k=0,φ=0;又g(x)=AsinQUOTEωx,所以T=QUOTE=2π,所以ω=2,又gQUOTE=QUOTE,所以A=2,所以f(x)=2sin2x,fQUOTE=QUOTE.7.若將函數(shù)y=tanQUOTE(ω>0)的圖象向右平移QUOTE個單位長度后,與函數(shù)y=tanQUOTE的圖象重合,則ω的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.y=tanQUOTEy=tanQUOTE=tanQUOTE所以QUOTE-QUOTEω+kπ=QUOTE所以ω=6k+QUOTE(k∈Z),又因為ω>0,所以ωmin=QUOTE.8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,則f(x)的最小正周期 ()A.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān)C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān)【解析】選B.f(x)=sin2x+bsinx+c=-QUOTE+bsinx+c+QUOTE,其中當b=0時,f(x)=-QUOTE+c+QUOTE,f(x)的最小正周期為π;當b≠0時,f(x)的最小正周期為2π.c對f(x)的最小正周期無影響,所以f(x)的周期與b有關(guān)但與c無關(guān).【拓展延長】三角函數(shù)的周期公式y(tǒng)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=Acos(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Asin(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Acos(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Asin(ωx+φ)+b|,A>0,ω>0,b≠0,T=QUOTEy=|Acos(ωx+φ)+b|,A>0,ω>0,b≠0,T=QUOTEy=Atan(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=Acot(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Atan(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Acot(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTE【補償訓(xùn)練】下列函數(shù)中,最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱的是 ()A.y=sinQUOTEB.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTED.y=sinQUOTE【解析】選D.y=sinQUOTE最小正周期為π,x=QUOTE時sinQUOTE=QUOTE≠±1;y=sinQUOTE最小正周期為π,但x=QUOTE時sinQUOTE=0≠±1;y=sinQUOTE最小正周期為π,但x=QUOTE時sinQUOTE=QUOTE≠±1;y=sinQUOTE最小正周期為π,x=QUOTE時sinQUOTE=1.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)9.若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,且fQUOTE>fQUOTE,則ω的可能值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選CD.因為函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,所以QUOTE≤QUOTE?ω≤QUOTE.由fQUOTE>fQUOTE,又QUOTE=QUOTE,得QUOTE>QUOTE,ω>QUOTE.所以QUOTE<ω≤QUOTE.10.下列關(guān)于函數(shù)y=2cos2QUOTE-1的敘述正確的是 ()A.最小正周期為π,奇函數(shù)B.最小正周期為π,偶函數(shù)C.最小值為-3,最大值為1D.最小值為-1,最大值為1【解析】選AD.因為y=2cos2QUOTE-1=cosQUOTE=sin2x為奇函數(shù),T=QUOTE=π,最小值為-1,最大值為1.11.(2024·海口高一檢測)設(shè)α,β是同一個鈍角三角形的兩個銳角(α≠β),下列四個不等式中正確的是 ()A.tanαtanβ<1B.sinα+sinβ<QUOTEC.cosα+cosβ>1D.QUOTEtan(α+β)<tanQUOTE【解析】選ABC.設(shè)0<α<β<QUOTE且α+β<QUOTE,所以0<β<QUOTE-α,所以0<tanβ<tanQUOTE=cotα,所以tanαtanβ<tanαcotα=1,A正確;sinβ<sinQUOTE=cosα,所以sinα+sinβ<sinα+cosα=QUOTEsinQUOTE,因為α+β<QUOTE且α<β,所以0<α<QUOTE,所以QUOTE<α+QUOTE<QUOTE,所以1<QUOTEsinQUOTE<QUOTE,所以sinα+sinβ<QUOTE,B正確;cosβ>cosQUOTE=sinα,所以cosα+cosβ>cosα+sinα=QUOTEsinQUOTE>1,C正確;QUOTEtan(α+β)=QUOTE,因為0<α+β<QUOTE,則0<QUOTE<QUOTE,所以0<tanQUOTE<1,所以0<tan2QUOTE<1,所以0<1-tan2QUOTE<1,所以QUOTE>1,所以QUOTE>tanQUOTE,即QUOTEtanQUOTE>tanQUOTE,D錯誤.12.關(guān)于函數(shù)f(x)=2cos2x-cosQUOTE-1的描述正確的是 ()A.其圖象可由y=QUOTEsin2x的圖象向左平移QUOTE個單位長度得到B.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增C.f(x)在QUOTE有2個零點D.f(x)在QUOTE上的最小值為-QUOTE【解析】選A、C、D.f(x)=2cos2x-cosQUOTE-1=cos2x+sin2x=QUOTEsinQUOTE,由y=QUOTEsin2x的圖象向左平移QUOTE個單位長度,得到y(tǒng)=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE,所以選項A正確;令2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,得其增區(qū)間為QUOTE,k∈Z,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,在QUOTE上單調(diào)遞減,所以選項B不正確;令f(x)=0,則2x+QUOTE=kπ,k∈Z,得:x=QUOTE-QUOTE,k∈Z,x∈[0,π],所以x取QUOTE,QUOTE,所以選項C正確;x∈QUOTE,2x+QUOTE∈QUOTE,sinQUOTE∈QUOTE,f(x)∈QUOTE,所以選項D正確.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若銳角α滿意tanQUOTE=3tanα+1,則tan2α的值為________.

【解析】由題意可知:QUOTE=3tanα+1,則tanα=QUOTE或tanα=0(舍去),則tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.已知函數(shù)f(x)=2sinQUOTE的部分圖象如圖所示,其中fQUOTE=1,QUOTE=QUOTE,則fQUOTE=________.

【解析】因為fQUOTE=2sinφ=1,φ∈QUOTE,所以φ=QUOTE.QUOTE=QUOTE=QUOTE,ω=QUOTE,所以函數(shù)f(x)=2sinQUOTE,所以fQUOTE=2sinQUOTE=-1.答案:-115.QUOTE=________.

【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.若QUOTE<x<QUOTE,則函數(shù)y=tan2x·tan3x的最大值為________.

【解析】令tanx=t,因為QUOTE<x<QUOTE所以t>1,所以y=tan2xtan3x=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=-8.答案:-8【補償訓(xùn)練】如圖,函數(shù)y=2sin3xQUOTE與函數(shù)y=2的圖象圍成一個封閉圖形,這個封閉圖形的面積是________.

【解析】函數(shù)y=2sin3xQUOTE圖象的對稱軸為直線x=QUOTE,由函數(shù)圖象的對稱性,利用面積“割補法”,得函數(shù)y=2sin3xQUOTE圖象與函數(shù)y=2的圖象圍成封閉圖形的面積是S=4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知0<α<QUOTE,sinα=QUOTE.(1)求tanα的值.(2)求cos2α+sinQUOTE的值.【解析】(1)因為0<α<QUOTE,sinα=QUOTE,得cosα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.(2)cos2α+sinQUOTE=1-2sin2α+cosα=1-QUOTE+QUOTE=QUOTE.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0).(1)當ω=1時,寫出由y=f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位長度后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式.(2)若y=f(x)圖象過點QUOTE,且在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,求ω的值.【解析】(1)由已知,所求函數(shù)解析式為f(x)=sinQUOTE.(2)由y=f(x)的圖象過QUOTE點,得sinQUOTEω=0,所以QUOTEω=kπ,k∈Z.即ω=QUOTEk,k∈Z.又ω>0,所以k∈N*.當k=1時,ω=QUOTE,f(x)=sinQUOTEx,其周期為QUOTE,此時f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增;當k≥2時,ω≥3,f(x)=sinωx的周期為QUOTE≤QUOTE<QUOTE,此時f(x)在QUOTE上不單調(diào)遞增.所以ω=QUOTE.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin4x-cos4x+2QUOTEsinxcosx+1,(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對稱中心.(2)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)增區(qū)間.【解題指南】(1)利用正余弦的二倍角公式和協(xié)助角公式將函數(shù)解析式進行化簡,然后利用正弦函數(shù)的周期公式和對稱中心公式可得答案;(2)先利用正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)f(x)在R上得單調(diào)增區(qū)間,再由x∈[0,π],對k取值,即可求得函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)增區(qū)間.【解析】(1)f(x)=sin4x-cos4x+2QUOTEsinxcosx+1=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+QUOTEsin2x+1=QUOTEsin2x-cos2x+1=2sinQUOTE+1.所以該函數(shù)的最小正周期T=QUOTE=π;令2x-QUOTE=kπ,則x=QUOTEπ+QUOTE,所以對稱中心為QUOTEk∈Z.(2)令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,則kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z.當k=0時,由QUOTE,解得0≤x≤QUOTE;當k=1時,由QUOTE,解得QUOTE≤x≤π.所以,函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)增區(qū)間是QUOTE,QUOTE.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)探討f(x)在QUOTE上的單調(diào)性.【解析】(1)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x=cosxsinx-QUOTE(1+cos2x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x-QUOTE=sinQUOTE-QUOTE,因此f(x)的最小正周期為π,最大值為QUOTE.(2)當x∈QUOTE時,0≤2x-QUOTE≤π,從而當0≤2x-QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤x≤QUOTE時,f(x)單調(diào)遞增,當QUOTE≤2x-QUOTE≤π,即QUOTE≤x≤QUOTE時,f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增;在QUOTE上單調(diào)遞減.21.(12分)已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cosx的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上全部點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移QUOTE個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程.(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β.①求實數(shù)m的取值范圍;②證明:cos(α-β)=QUOTE-1.【解析】方法一:(1)將g(x)=cosx的圖象上全部點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移QUOTE個單位長度后得到y(tǒng)=2cosQUOTE的圖象,故f(x)=2sinx.從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+QUOTE(k∈Z).(2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx=QUOTE=QUOTEsin(x+φ)QUOTE.依題意,sin(x+φ)=QUOTE在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β,當且僅當QUOTE<1,故m的取值范圍是(-QUOTE,QUOTE).②證明:因為α,β是方程QUOTEsin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解.所以sin(α+φ)=QUOTE,sin(β+φ)=QUOTE.當1≤m<QUOTE時,α+β=2QUOTE,即α-β=π-2(β+φ);當-QUOTE<m<1時,α+β=2QUOTE,即α-β=3π-2(β+φ).所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2QUOTE-1=