重慶市江津中學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)等七校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月聯(lián)考三診試題理含解析

PAGE23-重慶市江津中學(xué)、試驗(yàn)中學(xué)等七校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月聯(lián)考（三診）試題理（含解析）試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卷規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必需運(yùn)用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.答非選擇題時(shí)，必需運(yùn)用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上.4.考試結(jié)束后，將答題卷交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出集合和，再求并集即可.【詳解】解不等式得，即；由得，即；所以故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集運(yùn)算，熟記概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.2.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出的坐標(biāo)得答案．【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3.命題“對(duì)隨意的，”的否定是A.不存在， B.存在，C.存在， D.對(duì)隨意的，【答案】C【解析】【詳解】留意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．“對(duì)隨意的，”的否定是:存在，選C.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.18 B.24 C.48 D.36【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知直線l和兩個(gè)不同的平面，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間中的平行垂直關(guān)系，結(jié)合相應(yīng)的判定和性質(zhì)定理，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，選出正確結(jié)果.【詳解】對(duì)于A中，過(guò)做一平面，且，，則，又由，所以，由面面垂直的判定定理，即可證得；對(duì)于B中，若，，則或，所以不正確；對(duì)于C中，若，則平面與平面可能是相交的，所以不正確；對(duì)于D中，若，，則與可能是平行的，所以不正確.故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有面面垂直、線面垂直和面面平行的判定，屬于簡(jiǎn)潔題目.6.如圖，給出的是的值的一個(gè)程序框圖，推斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意得，執(zhí)行上式的循環(huán)結(jié)構(gòu)，第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；，第次循環(huán)：，此時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果，所以推斷框中，添加，故選B．考點(diǎn)：程序框圖．7.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年頭出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式.它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為,依據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求得,再代入體積公式得,再比照求解即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為,則,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐底面周長(zhǎng)與體積等的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)在上的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定函數(shù)奇偶性，舍去B，再取特別值舍去AC，即得結(jié)果.【詳解】所以在上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，舍去B;舍去A;所以舍去C，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象識(shí)別、函數(shù)奇偶性應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.9.已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)雙曲線和圓的對(duì)稱性，將的面積轉(zhuǎn)化為的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積公式可以建立與的關(guān)系，從而推導(dǎo)出離心率.【詳解】由題意可得圖像如下圖所示：為雙曲線的左焦點(diǎn)為圓的直徑依據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形為矩形又，可得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問(wèn)題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，從而配湊出離心率的形式.10.受新冠肺炎疫情影響，某學(xué)校按上級(jí)文件指示，要求錯(cuò)峰放學(xué)，錯(cuò)峰有序吃飯.高三年級(jí)一層樓六個(gè)班排隊(duì)，甲班必需排在前三位，且丙班、丁班必需排在一起，則這六個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同支配方案共有（）A.240種 B.120種 C.188種 D.156種【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，按甲班位置分3種狀況探討，求出每種狀況下的支配方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算即可.【詳解】解：依據(jù)題意，按甲班位置分3種狀況探討：（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的狀況有種，將剩余的三個(gè)班全排列，支配到剩下的3個(gè)位置，有種狀況，此時(shí)有種支配方案；（2）甲班排在其次位，丙班和丁班在一起的狀況有種，將剩下的三個(gè)班全排列，支配到剩下的三個(gè)位置，有種狀況，此時(shí)有種支配方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的狀況有種，將剩下的三個(gè)班全排列，支配到剩下的三個(gè)位置，有種狀況，此時(shí)有種支配方案；由加法計(jì)數(shù)原理可知共有種方案，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，分、兩類探討，可求得；當(dāng)時(shí)，，分、兩類探討，可求得；取其公共部分即可得到答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上．當(dāng)時(shí)，在遞減，遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，有最小值，即（1），明顯成立，此時(shí)．綜上得，；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，（1），，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在遞減，遞增，，，此時(shí)．綜上：，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，著重考查分類探討思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力和推理實(shí)力，屬于難題．12.函數(shù)，若最大值為，最小值為，則（）A.，使 B.，使C.，使 D.，使【答案】D【解析】【分析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可以得到與的解析式，依次解除掉選項(xiàng)，可得結(jié)果.【詳解】，選項(xiàng)：，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)：設(shè)可知：，所以正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換以及與三角函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題，關(guān)鍵在于通過(guò)整理能夠得到與有關(guān)的函數(shù)解析式，從而利用的范圍，求解函數(shù)的值域.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量（1，1），，且∥，則的值等于__________.【答案】-2【解析】【分析】計(jì)算，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可者．【詳解】由題意，因?yàn)椤?，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．14.綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________．【答案】-8【解析】【分析】本題首先可以找出的通項(xiàng)，然后依據(jù)中的每一項(xiàng)的的系數(shù)并將中的每一項(xiàng)與相乘即可找出綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】因?yàn)榈耐?xiàng)為，所以綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理的相關(guān)性質(zhì)，主要考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)，考查對(duì)二項(xiàng)式的通項(xiàng)的敏捷運(yùn)用，考查計(jì)算實(shí)力與推理實(shí)力，是簡(jiǎn)潔題．15.已知圓C的方程為，過(guò)直線l：（）上隨意一點(diǎn)作圓C的切線，若切線長(zhǎng)的最小值為，則直線l的斜率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切線長(zhǎng)最小時(shí)直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算的值并構(gòu)建關(guān)于的方程，解方程后可得的值，從而得到所求的斜率.【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)最小時(shí)直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則又，因?yàn)榍芯€長(zhǎng)的最小值為故，解得，故直線的斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為圓心到幾何對(duì)象的距離問(wèn)題，屬于中檔題.16.已知數(shù)列中，，，設(shè)，若對(duì)隨意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】∵，（，），當(dāng)時(shí)，，，…，，并項(xiàng)相加，得：，

∴，又∵當(dāng)時(shí)，也滿意上式，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴

，令（），則，∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上是增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)隨意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則須使，即對(duì)恒成立，即的最小值，可得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，涉及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解實(shí)力，留意解題方法的積累，屬于難題通過(guò)并項(xiàng)相加可知當(dāng)時(shí)，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知，通過(guò)求導(dǎo)可知是增函數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結(jié)論.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿意．(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)本題首先可以通過(guò)正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和將轉(zhuǎn)化為，即可得出角的值；(2)首先可通過(guò)余弦定理求出的值，再通過(guò)解三角形面積公式即可求出的值，最終求出周長(zhǎng)．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即由，得，得，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，所以，，所以周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了三角恒等變換以及解三角形的相關(guān)公式，解三角形相關(guān)公式有：，，，考查計(jì)算實(shí)力，考查化歸思想，是中檔題．18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，即可證明平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接、.∵是的中點(diǎn)，∴，，又，，所以，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線，由題意知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，可得，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則由，即，令，則，，∴為平面的一個(gè)法向量.∵底面，∴可取平面的一個(gè)法向量為，∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理，重點(diǎn)考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.19.某市主動(dòng)實(shí)行國(guó)務(wù)院《“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案》，空氣質(zhì)量明顯改善.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計(jì)了某月（30天）空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級(jí)與空氣質(zhì)量指數(shù)比照如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)300以上空氣質(zhì)量等級(jí)一級(jí)（優(yōu)）二級(jí)（良）三級(jí)（輕度污染）四級(jí)（中度污染）五級(jí)（重度污染）六級(jí)（嚴(yán)峻污染）（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)，在這30天中，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2）依據(jù)體質(zhì)檢查狀況，醫(yī)生建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于90時(shí)，市民甲不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)；當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于70時(shí)，市民乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)（兩人是否進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)互不影響）.①?gòu)倪@30天中隨機(jī)選取2天，記乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)，且甲相宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②以該月空氣質(zhì)量指數(shù)分布的頻率作為以后每天空氣質(zhì)量指數(shù)分布的概率（假定每天空氣質(zhì)量指數(shù)互不影響），甲、乙兩人后面分別隨機(jī)選擇3天和2天進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的概率.【答案】（1）28天；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出輕度污染的天數(shù)，然后說(shuō)明空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)或良的天數(shù)；（2）①在這30天中，乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)，且甲相宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的天數(shù)共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不相宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的概率為，乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的概率為，然后求解概率即可.【詳解】解:（1）由頻率分布直方圖可得，空氣質(zhì)量指數(shù)在的天數(shù)為2天，所以估計(jì)空氣質(zhì)量指數(shù)在的天數(shù)為1天，故在這30天中空氣質(zhì)量等級(jí)屬于優(yōu)或良的天數(shù)為28天.（2）①在這30天中，乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)，且甲相宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的天數(shù)共6天，∴，，，∴X的分布列為X012P∴.②甲不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的概率為，乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(dòng)的概率為，∴.【點(diǎn)睛】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求法，頻率分布表的應(yīng)用，屬于中檔題.20.已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為，與軸正半軸交點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明：當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）在中，計(jì)算出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，依據(jù)已知條件得出，利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿意的關(guān)系式，代入直線的方程，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）中，，，，，，，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)得，且，，，，，∴代入，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，，，，直線，因此，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知函數(shù)，，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)隨意，隨意，不等式恒成立時(shí)最大的記為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后分與兩種狀況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)參變分別與可得,再令,求導(dǎo)得,再分析的單調(diào)性,分,與三種狀況求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得的解析式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與范圍即可.【詳解】解：（1）∵∴,∵,∴①當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,沒(méi)有增區(qū)間②當(dāng)時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為（2）原不等式.∵,,∴,令,令在上遞增；①當(dāng)時(shí),即,∵,所以時(shí),,∴在上遞增；∴.②當(dāng),即時(shí),,∴在上遞減；∴③當(dāng)時(shí),又在上遞增；存在唯一實(shí)數(shù),使得,即，則當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí).∴.∴.令在上遞增,,∴.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及分狀況探討導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)以及參數(shù)范圍的問(wèn)題,須要依據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù)進(jìn)行原函數(shù)單調(diào)性以及最值的分析等.屬于難題.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.選修4-4：坐標(biāo)