專(zhuān)題知識(shí)清單拋物線的常用二級(jí)結(jié)論-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

專(zhuān)題拋物線的常用二級(jí)結(jié)論拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.（其中p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離）一、拋物線焦點(diǎn)弦的常用二級(jí)結(jié)論：1、設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，且α為AB的傾斜角。若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)；y1·y2＝－p2；(隨焦點(diǎn)動(dòng)而變).(2)焦半徑：①坐標(biāo)式：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變)；②傾斜角式：(3)焦點(diǎn)弦：①坐標(biāo)式：|AB|＝x1＋x2＋p；②傾斜角式：|AB|＝eq\f(2p,sin2α)；③通經(jīng)為|AB|min＝2p(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn)).(5)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積2、已知AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，且α為AB的傾斜角，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C、D，設(shè)CD的中點(diǎn)為N，AB的中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，則(6)分別以AF、BF為直徑的圓均與y軸相切.(7)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于N，且MN的中點(diǎn)在拋物線上；(8)以A1B1為直徑的圓與AB相切于F，即NFAF且AN、BN分別平分.(9)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直相交且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，即AN、BN分別于拋物線相切于A、B點(diǎn)且AFBF。(10)A、O、D三點(diǎn)共線；B、O、C三點(diǎn)共線；軸平分；(11)；二、拋物線中的阿基米德三角形的常用二級(jí)結(jié)論：ABP1、阿基米德三角形定義：圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的ABP2、阿基米德三角形主要性質(zhì)：性質(zhì)1：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。性質(zhì)2：若為拋物線上兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作拋物線的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)性質(zhì)3：若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線且其方程為。性質(zhì)4：拋物線以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于點(diǎn)的軌跡。性質(zhì)5：若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)。性質(zhì)6：(1)若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線；反之，若阿基米德三角形的頂點(diǎn)Q在準(zhǔn)線上，則底邊過(guò)焦點(diǎn)．(2)若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則阿基米德三角形的底邊所對(duì)的角為直角，且阿基米德三角形面積的最小值為．性質(zhì)7：底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為。性質(zhì)8：在阿基米德三角形中，。特別地，若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)F，則.性質(zhì)9：若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)F，則性質(zhì)10：的中點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)處的切線與平行且。性質(zhì)11：弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的性質(zhì)12：如圖，連接，則的面積是面積的2倍．三、其他結(jié)論過(guò)拋物線的頂點(diǎn)O作兩條直線分別交拋物線于AB兩點(diǎn)，若，則直線AB過(guò)定點(diǎn)四、拋物線中阿基米德三角形的性質(zhì)及其證明：性質(zhì)1：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。證明：設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，為弦中點(diǎn)，則過(guò)的切線方程為，過(guò)的切線方程為：，聯(lián)立方程組得：解得兩切線交點(diǎn)(，)，進(jìn)而可知軸.性質(zhì)2：若為拋物線上兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作拋物線的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)證明：略，證明見(jiàn)性質(zhì)1的推導(dǎo)過(guò)程性質(zhì)3：若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線且其方程為。證明：設(shè)，由性質(zhì)1，，所以有。由三點(diǎn)共線知即將代入得即為點(diǎn)的軌跡方程。性質(zhì)4：拋物線以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于點(diǎn)的軌跡。【提示】利用兩式相減法易求得以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的斜率為，因此該弦與Q點(diǎn)的軌跡即直線平行性質(zhì)5：若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)。證明：設(shè)方程為，且，弦過(guò)點(diǎn)，由性質(zhì)3可知點(diǎn)的軌跡方程為，該方程與表示同一條直線，對(duì)照可得，即弦過(guò)定點(diǎn)。性質(zhì)6：(1)若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線；反之，若阿基米德三角形的頂點(diǎn)Q在準(zhǔn)線上，則底邊過(guò)焦點(diǎn)．(2)若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則阿基米德三角形的底邊所對(duì)的角為直角，且阿基米德三角形面積的最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過(guò)焦點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡方程是，即為準(zhǔn)線；易驗(yàn)證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)。所以，而性質(zhì)7：底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為。證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知設(shè)直線的方程為，則，所以。.性質(zhì)8：在阿基米德三角形中，。證明：如圖，作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，所以，又因?yàn)?，由三角形全等可得，所以同理可得所以特別地，若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)F，則.性質(zhì)9：若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)F，則證明：而性質(zhì)10：的中點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)處的切線與平行且。證明：由性質(zhì)1知，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)顯然在拋物線上；過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，結(jié)論得證。性質(zhì)11：弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的證明：略（拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了，利用微積分思想證明即可）性質(zhì)12：如圖，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖，這里出現(xiàn)了三個(gè)阿基米德三角形，即；應(yīng)用