集合與常用邏輯用語達標訓練4

課時達標第3講[解密考綱]本考點考查命題及其相互關系，全稱命題和特稱命題的互化，尤其是后者，頻繁出現(xiàn)在高考題中，常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)．一、選擇題1．已知命題p：對任意x>0，總有ex≥1，則?p為(B)A．存在x0≤0，使得ex0<1 B．存在x0>0，使得ex0<1C．對任意x>0，總有ex<1 D．對任意x≤0，總有ex<1解析：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題p：對任意x>0，總有ex≥1的否定?p為：存在x0>0，使得ex0<1.故選B．2．已知命題p：?x0∈R，tanx0＝1；命題q：?x∈R，x2＞0.下面結論正確的是(D)A．命題“p∧q”是真命題B．命題“p∧?q”是假命題C．命題“(?p)∨q”是真命題D．命題“(?p)∧(?q)”是假命題解析：取x0＝eq\f(π,4)，有taneq\f(π,4)＝1，故命題p是真命題；當x＝0時，x2＝0，故命題q是假命題．再根據(jù)復合命題的真值表，知選項D是正確的．3．(2017·河南模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－eq\f(1,ex)，則下列命題為真命題的是(B)A．?x∈R，都有f(x)＜g(x)B．?x∈R，都有f(x)＞g(x)C．?x0∈R，使得f(x0)＜g(x0)D．?x0∈R，使得f(x0)＝g(x0)解析：函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－eq\f(1,ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2，顯然?x∈R，都有f(x)>g(x)，故選B．4．命題“存在x∈R，使x2＋ax－4a＜0為假命題”是命題“－16≤a≤0”A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：依題意，知x2＋ax－4a≥0恒成立，則Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤5．(2016·山東棗莊模擬)命題p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若?p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A．(0,4] B．[0,4]C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：命題p的否定是?p：?x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即ax2＋ax＋1<0成立是真命題．當a＝0時，1<0，不等式不成立；當a>0時，要使不等式成立，須a2－4a>0，解得a>4或a<0，即a>4；當a<0時，不等式一定成立，即a<0.綜上，a的取值范圍是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故選6．(2016·河南開封一模)已知命題p1：?x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：?θ∈R，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,2)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(?p1)∨p2和q4：p1∧(?p2)中，真命題是(C)A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4解析：因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x在R上是增函數(shù)，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命題；sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，所以命題p2是假命題，?p2是真命題，所以命題q1：p1∨p2，q4：p1∧(?p2)是真命題，故選C．二、填空題7．(2017·四川模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命題，則f(a＋b)＝0解析：若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命題，則“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命題，即f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則a＋b＝0，即f(a＋b)8．命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]．解析：由題可知“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題，所以可得Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).9．給出下列命題：①函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))是偶函數(shù)；②函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,8)；③對于任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時，f′(x)＞g′(x)；④若?x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則4是該函數(shù)的一個周期；其中真命題為①③④.(寫出所有真命題的序號)解析：對于①，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))＝－cosx是偶函數(shù)，正確；對于②，把x＝eq\f(π,8)代入2x＋eq\f(π,4)，有2×eq\f(π,8)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，而coseq\f(π,2)＝0，故x＝eq\f(π,8)不是函數(shù)圖象的一條對稱軸方程，錯誤；對于③，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，可以得出，當x<0時，有f′(x)>0，而g′(x)<0，故x<0時，f′(x)>g′(x)，正確；對于④，令x＝x＋2，可以得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，根據(jù)周期的定義，可知4是該函數(shù)的一個周期，正確．三、解答題10．設命題p：函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定義域為R；命題q：任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥eq\r(m2＋8)恒成立；如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：命題p：f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定義域為R?Δ＝16－4a2<0?a>2或a＜－2.命題q：∵m∈[－1,1]，∴eq\r(m2＋8)∈[2eq\r(2),3]．∵對任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥eq\r(m2＋8)恒成立，∴只須滿足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.∵命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則p與q一真一假．①若p真q假，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2或a＜－2，,－1＜a＜6))?2＜a＜6；②若p假q真，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a≤2，,a≤－1或a≥6))?－2≤a≤－1，綜上，a的取值范圍為[－2，－1]∪(2,6)．11．(2017·湖北孝感調(diào)研)命題p：在f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]時的最大值不超過2，命題q：正數(shù)x，y滿足x＋2y＝8，且a≤eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)恒成立，若p∨(?q)為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：當a≤0時，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，解得－1≤a≤0；當0<a<1時，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1≤2，解得0<a<1；當a≥1時，f(x)max＝f(1)＝a≤2，解得1≤a≤2.所以使命題p為真的a的取值范圍是a∈[－1,2]．由x＋2y＝8，得eq\f(x,8)＋eq\f(y,4)＝1，又x，y都是正數(shù)，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8)＋\f(y,4)))＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8y)＋\f(y,2x)))≥eq\f(1,2)＋2eq\r(\f(x,8y)·\f(y,2x))＝1，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,8y)＝\f(y,2x)，,x＋2y＝8))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))時等號成立，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))min＝1.因為a≤eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)恒成立，所以a≤1，所以使命題q為真的a的取值范圍是a∈(－∞，1]．因為p∨(?q)為假命題，所以p假q真，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>2，,a≤1，))則a<－1，故a的取值范圍是(－∞，－1)．12．(2017·河北衡水調(diào)研)已知a∈R，命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0(1)若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因為命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，令f(x)＝x2－a，根據(jù)題意，只要x∈[1,2]時，f(x)min≥0即可，也就是1－a≥0?a≤1，即a的取值范圍是(－∞，1](2)由(1)可知，命題p為真時，a≤1，命題q為真時，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1因為命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，所以命題p與命題q一真一假，當命題p為真，命題q為假時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－2＜a＜1))?－2＜a＜1，當命題p為假，命題q為真時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a≤－2或a≥1))?a＞1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－2,1)∪(1，＋∞)．沁園春·雪<毛澤東>北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城