8.6.2直線與平面垂直-高一數(shù)學下學期課件檢測卷(人教A版2019必修第二冊)

8.6.2直線與平面垂直

在日常生活中，我們對直線與平面有很多感性認識。比如，旗桿與地面的位置關系，大橋的橋柱與水面的位置關系，相鄰墻面交線與地面的位置關系等，都給我們以直線與平面垂直的形象。接下來我們就以這些日常經驗為基礎展開“直線與平面垂直”的研究

問題1

類比直線、平面平行的研究，對于直線與平面垂直，你認為要研究哪些內容？按怎樣的線索展開研究？研究方法是什么？

研究內容：直線與平面垂直的定義、判定、性質等.

研究線索：先給出定義，再利用定義、基本事實，借助實物、模型等進行直觀，歸納、猜想判定定理、性質定理，再用適當?shù)姆椒ㄟM行證明.

研究方法：“空間問題平面化”是基本的研究方法。這里是將直線與平面的垂直關系轉化為直線與平面內的直線的垂直關系進行研究.

追問

回顧直線與直線垂直的定義，我們發(fā)現(xiàn)，它是在定義兩條直線所成角的基礎上，把所成角為90

度時的兩條直線稱為垂直。如果按照這個思路，我們要先定義直線與平面所成的角，你認為該如何定義？

分析：（如圖）轉換為直線與平面內的直線所成的角，可以發(fā)現(xiàn)用直線與直線在平面內的正投影所成的角最合理（具有唯一性和存在性，且是直線與平面內所有直線所成的角中最小的）。

要得到平面的斜線在平面內的正投影，需要先定義直線與平面垂直

問題2在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC．隨著時間的變化,影子BC的位置不斷地變化，旗桿所在直線與其影子所在直線是否保持垂直？BAC直線AB與平面α內過B的所有直線垂直.對于平面內不經過點B的直線呢?AB⊥B′C′.∴AB與平面α內的所有直線垂直.直線與平面垂直的定義是什么?

問題3

旗桿與旗桿在地面上的影子之間的關系給我們定義直線與平面垂直以啟發(fā)，閱讀《必修二》第149頁的相關內容，并回答下列問題：（1）直線與平面垂直的定義是什么？（2）如何用符號表示直線與平面垂直？（3）如何畫圖表示直線與平面垂直？

如果直線l

與平面a

內的任意一條直線都垂直,我們就說直線l

與平面a

互相垂直,記作l⊥a,直線l

叫做平面a

的垂線,平面

a

叫做直線l

的垂面.

線面垂直是線面相交的一種特殊情況,線面垂直,有且只有一個公共點,即交點,這個交點叫做線面垂直的垂足.

（1）（2）直線與平面垂直的定義:

（3）畫直線和水平平面垂直,

要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.

畫直線和豎直平面垂直,

要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的豎直邊垂直.all⊥abmm⊥b追問2：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？追問1：依據定義，當直線l與平面a互相垂直時，若直線c

a,那么直線l與c有怎樣的位置關系？l⊥ac

a?l⊥c

條件:

P是空間任意一點,

直線a過點P，

且a

垂直于a結論:a是唯一存在的

結論:

過空間任意一點,有且只有一條直線和已知平面垂直.假設過點

P有兩條直線a、

b,且a⊥a,b⊥a,設直線a、

b確定的平面b，且a

∩b=c,所以c

a由線面垂直的定義

a⊥c,b⊥c則在平面b內過一點有兩條直線和已知直線垂直,根據平面幾何知識,這顯然不對.

追問3：在平面幾何中，得出了平面內過一點有且只有一條直線于與已知直線垂直后，我們定義了點到直線的距離。類似的，有了過一點有且只有一條直線與已知平面垂直后，我們可以定義什么？點到平面距離的定義：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離。問題4如圖，準備一塊三角形的紙片，做一個試驗：

過△

AB

C

的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC于桌面接觸）．

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕

AD與桌面所在平面a

垂直．

當且僅當折痕

AD是

BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面a

垂直．追問1:圖中平面a

內與折痕AD垂直，你能給出解釋嗎？追問2:你能得到一個直線與平面垂直的判定方法嗎？聯(lián)系關于確定一個平面的條件，你能給自己得出的判定方法一個合理的解釋嗎？過點D的直線與不過點D的直線都與AD垂直.兩條相交直線確定一個平面，與兩條相交直線垂直，就與這個平面內的所有直線垂直.

如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面.符號表示:labal⊥a,l⊥b,a

a,b

a,a∩b,?l⊥a.直線與平面垂直的判定定理:由線線垂直得線面垂直.關鍵：線不在多，相交則行.追問3:兩條相交直線可以確定一個平面，兩條平行線也可以確定一個平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數(shù)條直線”呢？

不可以改為“兩條平行直線”，也不可以改為無數(shù)條直線.

從向量的角度看，兩條平行直線的方向向量平行，因為兩條直線互相垂直本質上是兩個方向互相垂直，所以在垂直關系上，兩條平行線垂直于一條直線等價于一條直線垂直于另一條直線.另外，由平面向量基本定理，兩個不共線的向量可以表示這兩個向量所在平面上的任意一個向量，所以一條直線的方向向量與這兩個向量互相垂直時，就與這個面內的任意一個向量都垂直。a例1.如圖,已知a∥b,

a⊥a.

求證:

b⊥a.am證明:在

a

內任作兩相交直線

m、n,∵a⊥a,m

a,?a⊥m,a⊥n,∵b∥a,?

b⊥m,b⊥n,又

m

與

n相交,?

b⊥a.

結論:

兩平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.bnn

a,直線和平面所成角1)斜線:

2)斜足:

3)斜線在平面內的射影:和平面相交，但不垂直的直線叫做平面的斜線斜線和平面相交的交點過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內的射影.☆平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，

叫做直線和平面所成的角.規(guī)定:①若直線垂直平面，則直線和平面所成的角為90°☆直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]②若直線與平面平行或在平面內，則直線和平面所成的角為0°laAl1PO

問題6.

已知直線l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判斷l(xiāng)1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

與平面a

所成的角是否相等?如圖,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO

與CO

不平行.aABCDO1O2如圖,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,則AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,則在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.結論:

和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定平行.兩條平行線和同一個平面所成的角一定相等.

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直線A1B的射影.即需找過A1B上的點垂直平面A1B1CD的直線.O而BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出對角線BC1有可能.因為BC1⊥B1C,還容易看出BC1⊥A1B1,于是可連結BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.∠BA1O就是所要求的線面角,則可在Rt△BA1O中求.

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D解:連結BC1,交B1C于O,則在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O則BC1⊥平面A1B1CD,O為垂足.得A1O為A1B在平面A1B1C1D上的射影.∠BA1O就是直線A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△BA1O中,A1B=BC1=2BO,得∠BA1O=30.∴直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角是30.ABCA1B1C1D1D求線面角的要點:(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構造含線面角的三角形,O通常構造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.

例3.

一旗桿高8m,在它的頂端系兩條長10m的繩子,拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(與旗桿腳不在同一直線上).如果這兩點與旗桿腳相距6m,那么旗桿就與地面垂直,為什么?ABCD如圖,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三邊滿足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面內,C、B、D不在同一直線上,即BC,BD相交,由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面.

練習(補充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQA證明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.

練習(補充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQA證明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.

練習(補充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQAQ

為垂線段PQ

的垂足.A

為斜線段PA

的斜足.QA

為斜線PA

在平面a

上的射影.有三條線:①平面的斜線,②斜線在平面上的射影,③平面內的一條直線l.結論:如果l⊥斜線,則l⊥射影;如果l⊥射影,則l⊥斜線.(三垂線定理)問題7.

長方體的側棱是否都與底面垂直?這些側棱是怎樣的位置關系?請同時豎兩支垂直于桌面的鉛筆,這兩支鉛筆又有怎樣的位置關系?a如圖,l1⊥a，l2⊥a，垂足分別為A、B.如果l1?

l2,過A與l2可以確定一平面，在該面內過A可另作一直線m∥l2,于是m⊥a.過l1與m

作平面b∩a=c,則l1⊥c,m⊥c.那么在平面b

內過一點A就有兩直線與c

垂直,顯然不可能,即l1?

l2不能成立,只有l(wèi)1//l2.bl1l2ABmc垂直于同一個平面的兩條直線平行.由線面垂直得線線平行.線面垂直的性質定理:al1l2AB符號表示:l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.

例4.已知一條直線l和一個平面a

平行,求證:直線l上各點到平面a

的距離(到a

的垂線段長)相等.alA

B

b證明:過l上任意兩點A、B作AA

⊥a,BB⊥a,垂足為A

、B

,則AA

∥BB

,由AA

、BB

確定平面,設為b,得b∩a=A

B

,∵l∥a,l

b,?l∥A

B

,∴AA

=BB

(兩平行線間的平行線段相等),即l

上任意兩點到平面a

的距離相等.AB一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。由例題可得，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離。例5.推導棱臺的體積公式其中分別是棱臺的上、下底面面積，是高。解：如圖，延長棱臺各側棱交于點P，得到截得棱臺的棱錐。過點P作棱臺的下底面的垂線，分別與棱臺的上、下交于點，則PO垂直于棱臺的上底面。從而。設截得棱臺的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為，高為，則所以棱臺的體積由棱臺的上下底面平行，可以證明棱臺的上、下底面相似，并且所以代入①，得

①

問題8.

設直線a,b

分別在正方體ABCD-A

B

C

D

中兩個不同的平面內,欲使a//b,a,b

應滿足什么條件?分別滿足下面的條件都可以:(1)a,b

同垂直于一個面.(2)a,b

同平行一條棱.(3)用一個平面截相對的兩個面所得的交線即為a,b.bbABCDA

C

D

B

aaba如圖,1.

若一直線與平面所成的角為則此直線與該平面內任一直線所成的角的取值范圍是

.aABCDP解:如圖,直線AB是直線PC在平面a內的射影,直線PC與平面a

內的直線所成的角中,∠PCA最小,直角最大.則PC與平面內任一直線所成的角的范圍是同步檢測2.

如圖,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,底面四邊形ABCD

滿足什么條件時,A

C⊥B

D

?ABCDA

B

C

D

分析:由題中定義知,側棱A

A⊥平面A

B

C

D

,從而A

A⊥B

D

.又要使A

C⊥B

D

,則需B

D

⊥平面A

AC.所以需在平面A

AC內另找一條直線容易考慮的是AC是否滿足?要使AC⊥B

D

,四邊形ABCD需滿足:BA=BC,且DA=DC.與B

D

垂直且與A

A相交.(改為如下的證明題,請同學們給出證明)

2.如圖,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,已知A

B

=B

C

,A

D

=D

C

,求證:B

D

⊥A

C.ABCDA

B

C

D

證明:連結A

C

,∵A

B

=B

C

,

B

D

⊥A

C

,AA

⊥平面A

B

C

D

AA

⊥B

D

,

B

D

⊥平面AA

C

C,

B

D

⊥A

C.(定義)(判定)(定義)A

D

=D

C

,AA

∩A

C

=A

,A

C

平面AA

C

C,

3.

如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求證:VB⊥AC.ABCV練習:(課本67頁)證明:·D取AC邊的中點D,連接VD,BD.∵VA=VC,

VD⊥AC,VB=BC,

BD⊥AC,

AC⊥平面VDB,而VB

平面VDB,∴AC⊥VB.4.

過△ABC所在平面a

外一點P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如圖,PO⊥a,則∠POA=∠POB=∠POC=90

,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三頂點的距離相等的點是斜邊的中點.中點

4.

過△ABC所在平面a

外一點P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中點到三角形三頂點的距離相等外ABCP的點是三角形的外心.4.

過△ABC所在平面a

外一點P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.Oa解:(3)中點外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,

PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O為△ABC的垂心.垂ABCP

5.如圖,正方形SG1G2G3中,E,F

分別是G1G2,G2G3

的中點,D

是EF的中點,現(xiàn)在沿SE,SF

及EF

把這個正方形折成一個四面體,使G1,G2,G3

三點重合,重合后的點記為G,則在四面體S-EFG

中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面

(B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面

(D)GD⊥△SEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA

6.

如圖,棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O

CD,VA=VB,AD=BD,你們能判定CD⊥AB以及AC=BC

嗎?VABCDO答:能判定.由VA=VB,AD=BD得,VD⊥AB.又由VO⊥平面ABC得,VO⊥AB.于是得AB⊥平面VOD,∵O

CD,

AB⊥OD.∴AB⊥CD,而

AD=BD,從而得AC=BC.

7.

如圖,AB

是⊙O的直徑,點C

是⊙O

上的動點,過動點C

的直線VC垂直于⊙O

所在平面,D,E

分別是VA,VC

的中點.試判斷直線DE

與平面VBC

的位置關系,并說明理由.·VABCDEO解:DE⊥平面VBC.由直徑所對的圓周角是直角得AC⊥BC.又由

VC垂直于⊙O

所在平面得AC⊥VC.而

D,E

分別是VA,VC

的中點得DE//AC,∴DE⊥平面VBC.∴AC⊥平面VBC.

7.

已知三棱錐的三條側棱長都等于2,底面是等邊三角形,側棱與底面所成的角為60o,求三棱錐的體積.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足為O,如圖,∴

O為底面正三角形的中心,則∠PAO=∠PBO=∠PCO=60o,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,