數(shù)列求和說課稿

PAGEPAGE10課題數(shù)列的求和說課稿制作人：袁紅單位：沂水四中一、考綱分析1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法；

3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.二、考情分析五年考情：在近5年山東高考理科卷中，數(shù)列在試卷中的位置：14年，T19（12分）；13年，T20（12分）；12年，T20（12分）；11年，T20（12分）；10年，T9（5分），T18（12分）從近5年的考情看，數(shù)列是必考的一個(gè)解答題：1.數(shù)列求和主要考查:(1)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和.(2)使用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法的求和.(3)根據(jù)周期性、奇偶數(shù)項(xiàng)的不同的分組求和.

2.數(shù)列求和問題一般以數(shù)列的基本問題為先導(dǎo),在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和.3.以解答題為主,難度中等或稍難.三、學(xué)生感悟1.（2014新課標(biāo)全國(guó)卷）等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.eq\f(n（n＋1）,2)D.eq\f(n（n－1）,2)【解析】由題意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比數(shù)列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n(n＋1)．【答案】A通過此題，引出基礎(chǔ)知識(shí)1.數(shù)列求和的基本方法—公式法.2.（2012大綱全國(guó)高考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）（A）（B）（C）（D）【解析】設(shè)的公差為d,則有解得，則，，設(shè)數(shù)列的前100項(xiàng)和為T100，.【答案】A通過此題，引出基礎(chǔ)知識(shí)2.數(shù)列的求和方法--裂項(xiàng)法.3.（2011安徽高考）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則…()（A）15(B)12C）12(D)15【解析】觀察數(shù)列的性質(zhì)，得到故【答案】A通過此題，引出基礎(chǔ)知識(shí)3.數(shù)列的求和方法—并項(xiàng)法.4.（2012山東高考改編）已知等差數(shù)列中，，對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，則數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】由題意知，即，所以，，于是，即.【答案】通過此題，引出基礎(chǔ)知識(shí)4.數(shù)列的求和方法—分組求和..5.（2014四川高考改編）已知等差數(shù)列{an}的公差為1，首項(xiàng)a1＝1，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖像上(n∈N*)．則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n項(xiàng)和Tn等于.【解析】由題意有an＝n，,所以數(shù)列{eq\f(an,bn)}的通項(xiàng)公式為eq\f(an,bn)＝eq\f(n,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)＋eq\f(n,2n)，2Tn＝eq\f(1,1)＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…+＋eq\f(n,2n－1)，因此，2Tn－Tn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).所以，Tn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).【答案】Tn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).通過此題，引出基礎(chǔ)知識(shí)5.數(shù)列的求和方法—錯(cuò)位相減法.這5個(gè)高考題，學(xué)生課前完成，根據(jù)學(xué)生做題情況，制定如下教學(xué)目標(biāo)和要求.四、教學(xué)目標(biāo)和要求根據(jù)上述教材分析和考情分析，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）掌握數(shù)列求和的幾種常用方法；（2）靈活運(yùn)用數(shù)列求和的幾種常用方法.2、過程與方法目標(biāo)：（1）提前讓學(xué)生做這份學(xué)案，以學(xué)定教，體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)；（2）在學(xué)生自主學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)問題，找出錯(cuò)誤，師生共同尋找解決問題的突破口；（3）通過分析高考題目，了解數(shù)列在高考中的地位及高考動(dòng)向.3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握數(shù)列求和的幾種常用方法難點(diǎn)：靈活運(yùn)用數(shù)列求和的幾種常用方法處理數(shù)列求和問題教學(xué)方法分析、點(diǎn)撥、歸納教具準(zhǔn)備學(xué)案紙及多媒體教學(xué)設(shè)備四、教學(xué)過程（一）基礎(chǔ)知識(shí)數(shù)列求和的基本方法：1.公式法：適合求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.（１）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：S＝（２）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，S＝，當(dāng)時(shí)，S＝.2.裂項(xiàng)法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，這一求和方法稱為裂項(xiàng)法.適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和.其中為等差數(shù)列，則.3.并項(xiàng)法對(duì)通項(xiàng)公式中含有的一類數(shù)列，常用并項(xiàng)法求和.4.分組求和法此方法適應(yīng)于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列（或者兩個(gè)公比不同的等比數(shù)列）的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加、減構(gòu)成的新數(shù)列，或者數(shù)列的通項(xiàng)公式是分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)討論的數(shù)列等.5.錯(cuò)位相減法此方法適應(yīng)于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列．（二）高考題精析例1.[2013山東高考（理）]設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn，且Tn+=（為常數(shù)），令cn=b2n，（n∈）.求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Rn.

【思路分析】（Ⅰ）先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后根據(jù)可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先根據(jù)前n

項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，由cn=b2n求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求出Rn.【設(shè)計(jì)意圖】（1）讓學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式；（2）理解由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的解法及錯(cuò)位相減法求和.本題由學(xué)生板演，主要展示錯(cuò)位相減法的具體解題步驟.解:（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由得解得，因此.（Ⅱ）由題意知，所以時(shí)，=,故所以，則，兩式相減得,整理得，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式：【2013山東高考（文）】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，及由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的解法和錯(cuò)位相減法求和.本題放在自習(xí)課上，限時(shí)15分鐘完成.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由得解得，因此（Ⅱ）由已知,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，由（Ⅰ）知，所以，又，，兩式相減得=.所以.例2.[2014山東高考（理）]已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【思路分析】（1）根據(jù)條件建立首項(xiàng)的方程求解.（2）分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，應(yīng)用裂項(xiàng)法求和.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)強(qiáng)化裂項(xiàng)法求和方法，掌握用裂項(xiàng)法求和的表達(dá)形式，本題由師生共同分析，第一問由學(xué)生回答，第二問教師板演n為偶數(shù)時(shí)的情況，n為奇數(shù)時(shí)由學(xué)生板演.解：(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋eq\f(2×1,2)×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)×2＝4a1＋12，由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2(2)由題意可知，bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)＝(－1)n－1eq\f(4n,（2n－1）（2n＋1）)＝(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1))).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n,2n＋1).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1＋eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n＋2,2n＋1).所以Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋2,2n＋1)，n為奇數(shù)，,\f(2n,2n＋1)，n為偶數(shù).))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或Tn＝\f(2n＋1＋（－1）n－1,2n＋1)))變式：【2013新課標(biāo)全國(guó)高考（文）】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固裂項(xiàng)法求和，本題較簡(jiǎn)單，由學(xué)生自己板演.解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，則.由已知可得解得故的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而數(shù)列的前項(xiàng)和為（備用例題）[2014山東高考（文）]在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.【思路分析】（1）根據(jù)條件建立首項(xiàng)的方程求解；（2）分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，利用并項(xiàng)法求和.【設(shè)計(jì)意圖】通過此題讓學(xué)生理解并項(xiàng)法求和的條件，及出現(xiàn)時(shí)，要對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)討論.本題由教師點(diǎn)撥、提示，學(xué)生板演.解：(1)由題意知，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)由題意知，，所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．因?yàn)閎n＋1－bn＝2(n＋1)，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝eq\f(\f(n,2)（4＋2n）,2)＝eq\f(n（n＋2）,2)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝eq\f(（n－1）（n＋1）,2)－n(n＋1)＝－eq\f(（n＋1）2,2).所以Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(（n＋1）2,2)，n為奇數(shù)，,\f(n（n＋2）,2)，n為偶數(shù).))（三）課堂小結(jié)（1）由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)及重點(diǎn)、難點(diǎn)問題；（2）總結(jié)在做題中遇到的困難，出現(xiàn)的錯(cuò)誤；（3）困難和錯(cuò)誤是怎樣解決的.（四）真題演練1.（2014全國(guó)大綱）(5分)設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若,則（）A.31B.32C.63D.64答案：C2.（2013全國(guó)大綱）（5分）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于(）A.B.C.D.答案：C3.（2012福建）（5分）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前n項(xiàng)和為，則等于（）A.1006B.2012C.503D.0答案：A4.（2014江西）（12分）已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以eq\f(an＋1,bn＋1)－eq\f(an,bn)＝2，即cn＋1－cn＝2，所以數(shù)列{cn}是以c1＝1為首項(xiàng)，d＝2為公差的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，將兩式相減得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.5.（2011山東）（13分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第