6.5三角計(jì)算的應(yīng)用（解析版）

6.5三角計(jì)算的應(yīng)用同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理化角為邊，即可得解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，則，即，所以的形狀一定是等腰三角形.故選：A.2．如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知,由余弦定理可得，故選：D3．某人在山外一點(diǎn)測得山頂?shù)难鼋菫?2°，沿水平面退后30米，又測得山頂?shù)难鼋菫?9°，則山高為（）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)A．180米 B．214米 C．242米 D．266米【答案】C【分析】利用正弦定理求得，進(jìn)而求得，也即是求得山高.【詳解】依題意，如圖所示，，則，在三角形中，，由正弦定理得，所以.在中，米.故選：C

4．在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為，且到A的距離為3，則B、C間的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求得正確答案.【詳解】依題意可知，由余弦定理得，所以.故選：D

5．如圖所示，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，可以知道，可以測得，角也可測得，、都是不易測量的數(shù)據(jù)，從而可得結(jié)論【詳解】根據(jù)實(shí)際情況、都是不易測量的數(shù)據(jù)，在中，，可以測得，角也可測得，利用余弦定理,可求解AB的長度.故選：C．6．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上【答案】D【分析】根據(jù)題意求出各角的度數(shù)，確定，故燈塔A在燈塔B的南偏西方向上.【詳解】由條件及題圖可知，為等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此燈塔A在燈塔B的南偏西方向上．故選：D．7．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足，則△ABC是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】令，再利用余弦定理得解.【詳解】解：由正弦定理可得，令，則為最長的邊，故角最大，由余弦定理可得，所以角為直角.故是直角三角形．故選：B．8．一艘船航行到點(diǎn)處時(shí)，測得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知的值，利用正弦定理即可求解.【詳解】解：由題意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)得.故選：A.9．在地面上點(diǎn)D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為（

）A．20m B．30mC．40m D．60m【答案】C【分析】直接求出，即可求出建筑物高度.【詳解】如圖，設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20m，BD＝40m，OD＝m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60m．∴AB＝OA－OB＝40m．故選：C．10．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西，塔頂仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)10米到D，測得塔頂A的仰角為，則塔高為（

）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米【答案】A【分析】設(shè)塔高為，分別求出和的長，在△中用余弦定理即可求解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示，設(shè)塔高為，在中，，則，在中，，則，在△中，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故選：.二、填空題11．在△ABC中，若，則△ABC一定是三角形.（請?zhí)顚戜J角，直角，或鈍角）【答案】直角【分析】利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)判斷形狀即可.【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，即△ABC一定是直角三角形.故答案為：直角12．某地一水塔地震時(shí)發(fā)生了嚴(yán)重沉陷（未傾斜），如圖，已知地震前，在距該水塔30米的A處測得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測得塔頂B的仰角為45°，則該水塔沉陷了米．【答案】【分析】構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】由題意構(gòu)造如圖所示的直角三角形，可知，即為所求，在中即得，在中即得，所以，故答案為：13．在地面上點(diǎn)D處，測量在某斜坡頂部的建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知斜坡高度為20m，則建筑物高度為m．【答案】【分析】在直角三角形中求出，在直角三角形中求出，利用可求出結(jié)果.【詳解】如圖所以：，，米，則，，有，所以米，所以建筑物高度為米.故答案為：.14．已知輪船和輪船同時(shí)離開島，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）.若船的航行速度為，后，船測得船位于船的北偏東的方向上，則此時(shí)，兩船相距.【答案】【分析】利用正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，，，由正弦定理，即，解得.故答案為：15．當(dāng)甲船位于處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船等待營救.甲船立即將消息告知在甲船南偏東，相距10海里處的乙船，乙船距離漁船海里.【答案】【分析】畫出示意圖，可以得出，再由余弦定理即可解得.【詳解】如圖所示易得，由余項(xiàng)定理得：，即.故答案為：.三、解答題16．A，B兩地之間隔著一個(gè)水塘（如圖），現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測得，，，求A，B兩地之間的距離（精確到1m，）．

【答案】168m【分析】利用余弦定理求兩地間距離即可.【詳解】由余弦定理，得，所以，即A，B兩地之間的距離約為168m．17．如圖，，兩點(diǎn)分別在河的兩側(cè)，為了測量，兩點(diǎn)之間的距離，在點(diǎn)的同側(cè)選取點(diǎn)，測得，，米，求，兩點(diǎn)之間的距離．【答案】米.【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函數(shù)的值即得．【詳解】根據(jù)已知條件：，，米，所以：，利用正弦定理：則，所以(米)．18．如圖，長為7m的梯子BC靠在斜壁上，梯腳C與壁基A相距1.5m，梯頂B在沿著壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角（精確到0.1°）.【答案】【分析】利用余弦定理求得，利用計(jì)算器求角.【詳解】,∴.19．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以10km/h的速度向正北方向行駛，另一艇以7km/h的速度向北偏東45°的方向行駛.問：經(jīng)過40min，兩艇相距多遠(yuǎn)（精確到0.01km）？【答案】km.【分析】分別計(jì)算出正北方向、北偏東45°的方向的游艇行駛的距離，再利用余弦定理求兩艇距離即可.【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖：40min后，正北方向的游艇行駛，北偏東45°的方向的游艇行駛，∴兩艇相距.∴km.能力進(jìn)階能力進(jìn)階20．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和BC且．如何鋸斷木條，才能使第三條邊AC最短？【答案】當(dāng)時(shí)，才能使第三條邊AC最短【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到取得最小值時(shí)的值，從而得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，由余弦定理得：，當(dāng)時(shí)，AC取得最小值為，即當(dāng)時(shí)，第三邊AC的長最短為.21．如圖，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的長；