計算方法實驗

計算方法實驗.PAGEPAGE28計算方法實驗指導要求必須完成其中三個（如果全部完成更好）。實驗題目1拉格朗日(Lagrange)插值方法概要：給定平面上個不同的數據點，，，；則滿足條件，的次拉格朗日插值多項式是存在唯一的。若，且函數充分光滑，則當時，有誤差估計式，拉格朗日插值算法實驗實驗目的：利用拉格朗日插值多項式求的近似值輸入：個數據點，；插值點輸出：在插值點的近似值程序流程：1置；2當時，做2.1—2.42.1置；2.2對，置2.3置2.4置3輸出4停機問題1拉格朗日插值多項式的次數越大越好嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：（1）設，，考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，即將區(qū)間進行等分，記，，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，，處的函數值。（2）設，，考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，即將區(qū)間進行等分，記，，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，處的函數值。問題2插值區(qū)間越小越好嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：（1）設，，考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，即將區(qū)間進行等分，記，，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，處的函數值。（2）設，，考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，即將區(qū)間進行等分，記，，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，處的函數值。問題3在區(qū)間考慮拉格朗日插值問題，為了使得插值誤差較小，應如何選取插值節(jié)點？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：（1）設，，考慮非等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，記，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，處的函數值。（2）設，，考慮非等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式，記，，構造，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。分別取，，，同時計算在，，，處的函數值。問題4考慮拉格朗日插值問題，內插比外推更可靠嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：（1）設，關于以，，為節(jié)點的拉格朗日插值多項式，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。同時計算在，，，處的函數值。（2）設，關于以，，為節(jié)點的拉格朗日插值多項式，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。同時計算在，，，處的函數值。（3）設，關于以，，為節(jié)點的拉格朗日插值多項式，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。同時計算在，，，處的函數值。（4）設，關于以，，為節(jié)點的拉格朗日插值多項式，利用拉格朗日插值多項式作為的近似值。同時計算在，，，處的函數值。思考題：1.對實驗1存在的問題，應如何解決？2.對實驗2存在的問題的回答，試加以說明3.對實驗3存在的問題的回答，試加以說明4.如何理解插值問題中的內插和外推？寫出實驗報告實驗題目2龍貝格(Romberg)積分法方法概要：利用復化梯形求積公式、復化辛普生求積公式、復化柯特斯求積公式的誤差估計式計算積分。記，，，其計算公式：一般地，利用龍貝格算法計算積分，要輸出所謂的數表龍貝格(Romberg)積分法實驗實驗目的：利用龍貝格(Romberg)積分法計算積分輸入：輸出：龍貝格數表程序流程：1置，2輸出3對，做3.1—3,53.1置置輸出3.2置輸出3.3對，置輸出，轉3.63.4對，置輸出，轉3.63.5對，置如果，則停機，否則轉3.63.6置，，，，，4停機問題1：利用龍貝格(Romberg)積分法計算積分（1），（2），（3），（4），問題2：被積函數無界，如何處理？（1），提示：（2），提示：引進變換（3），提示：利用等式，第一個積分值等于2，第二個積分，利用；也可以考慮利用分部積分（4），提示：利用第一類Gauss-Chebyshev求積公式問題3：積分區(qū)間無限，如何處理？（1），提示：利用作近似（2），提示：利用變換（3），提示：Gauss-Hermite求積公式（4），提示：Gauss-Lagurre求積公式思考題：1.輸入的參數有什么意義？2.在實驗1中二分次數和精度的關系如何？3.在實驗2中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明。4.在實驗3中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明。寫出實驗報告實驗題目3四階龍格—庫塔(Runge—Kutta)方法方法概要：給定常微分方程初值問題記，，利用四階龍格—庫塔方法可逐次求出微分方程初值問題的數值解，。四階龍格—庫塔(Runge—Kutta)方法實驗實驗目的：利用四階龍格—庫塔(Runge—Kutta)方法求解微分方程初值問題輸入：輸出：初值問題的數值解，。程序流程：1置2對，做2.1—2.42.1置2.2置2.3輸出2.4置3停機問題1（1）準確解（2）準確解問題2（1）準確解（2）準確解問題3（1）準確解（2）準確解（3）準確解思考題：1.對實驗1，數值解和解析解相同嗎？為什么？試加以說明。2.對實驗2，越大越精確嗎？試加以說明。3.對實驗3，較小會出現什么現象？試加以說明寫出實驗報告實驗題目4牛頓(Newton)迭代法方法概要：求非線性方程的根，牛頓迭代法計算公式一般地，牛頓迭代法具有局部收斂性，為保證迭代收斂，要求，對充分小的，。如果，，，那么，對充分小的，當時，由牛頓迭代法計算出的收斂于，且收斂速度是2階的；如果，，，那么，對充分小的，當時，由牛頓迭代法計算出的收斂于，且收斂速度是1階的；牛頓(Newton)迭代法實驗實驗目的：利用牛頓迭代法求的根輸入：初值，精度，最大迭代次數輸出：方程根的近似值或計算失敗標志程序流程：1置2當時，做2.1—2.42.1置,如果，輸出；停機如果，輸出失敗標志；停機2.2置2.3置如果，輸出；停機2.4置，3輸出失敗標志4停機問題1：（1），，，，（2），，，，問題2：（1），，，，（2），，，，問題3：（1）由下面的遞推公式可以生成勒讓德（Legendre）多項式①試確定和②確定，求得所有零點，精度0.9324695142，0.6612093865，0.2386191861（2）由下面的遞推公式可以生成切比雪夫勒讓德（Chebyshev）多項式①試確定和②確定，求得所有零點，精度，（3）由下面的遞推公式可以生成拉蓋爾（Laguerre）多項式①試確定和②求得所有零點，精度0.2635603197，1.4134030591，3.5964257710，7.0858100059，12.6408008443（4）由下面的遞推公式可以生成埃爾米特（Hermite）多項式①試確定和②確定，求得所有零點，精度2.3506049737，1.3358490740，0.4360774119思考題：1.對實驗1確定初值的原則是什么？實際計算中應如何解決？2.對實驗2如何解釋在計算中出現的現象？試加以說明3.對實驗3存在的問題的回答，試加以說明寫出實驗報告實驗題目5相對高斯(Gauss)列主元消去法方法概要：高斯（Gauss）列主元消去法：對給定的階線性方程組，首先進行列主元消元過程，然后進行回代過程，最后得到解或確定該線性方程組是奇異的。如果系數矩陣的元素按絕對值在數量級方面相差很大，那么，在進行列主元消元過程前，先把系數矩陣的元素進行行平衡：系數矩陣的每行元素和相應的右端向量元素同除以該行元素絕對值最大的元素。這就是所謂的平衡技術。然后再進行列主元消元過程。如果真正進行運算去確定相對主元，則稱為顯式相對Gauss列主元消去法；如果不進行運算，也能確定相對主元，則稱為隱式相對Gauss列主元消去法。顯式相對Gauss列主元消去法：對給定的階線性方程組，首先進行列主元消元過程，在消元過程中利用顯式平衡技術，然后進行回代過程，最后得到解或確定該線性方程組是奇異的。隱式相對Gauss列主元消去法：對給定的階線性方程組，首先進行列主元消元過程，在消元過程中利用隱式平衡技術，然后進行回代過程，最后得到解或確定該線性方程組是奇異的。實驗目的：利用Gauss列主元消去法、顯式相對Gauss列主元消去法、隱式相對Gauss列主元消去法求解線性方程組。輸入：；，，輸出：線性方程組的近似解，程序流程：一、Gauss列主元消去法1對，做1.1—1.3，消元過程1.1尋找最小的正整數，和。如果，輸出奇異標志，停機；1.2如果，那么交換兩行；1.3對，記，計算2.如果輸出奇異標志，停機；3.置，回代過程4.對，置二、顯式相對Gauss列主元消去法1.對，做1.1—1.4，消元過程1.1對，計算，如果，輸出奇異標志，停機；計算，；1.2尋找最小的正整數，和，如果，輸出奇異標志，停機；1.3如果，那么交換兩行；1.4對，記，計算2.如果輸出奇異標志，停機；3.置，回代過程4.對，置三、隱式相對Gauss列主元消去法1.對，做1.1—1.3消元過程1.1對，計算，如果，輸出奇異標志，停機；尋找最小的正整數，和；1.2如果，那么交換兩行；1.3對，記，計算2.如果輸出奇異標志，停機；3.置，回代過程4.對，置問題1實驗題目：（1）（2）（3）（4）實驗題目的準確結果：（1）；（2）；（3）；（4）。問題2（1）（2）（3）（4）思考題：1.計算實驗1、實驗2的各個題目說明：對什么類型的線性方程組三種方法是一致的？2.用三種方法計算實驗1、實驗2的各個題目，哪種方法最好？試加以說明。3.綜合上述兩種結論，總結三種方法的關系，試加以說明。寫出實驗報告說明1本課程給出五類實驗題目，供學生選用，要求必須完成其中三個實驗。2實驗課的目的是為了讓學生深入理解和掌握“計算方法”課程的基本內容，同時有助于培養(yǎng)學生的上機調試程序進行數值計算的動手能力，進一步提高利用數值方法求解數學問題、分析計算結果、選擇算法的綜合能力。3為了順利完成實驗教學的規(guī)定內容，建議學生按下面方法準備實驗、進行實驗、寫出實驗報告：（1）應明確實驗的目的，清楚實驗的內容，包括算法和誤差分析；（2）寫出內容摘要，包括算法的理論基礎和對算法的初步認識；（3）上機前，編寫好計算程序；（4）上機調試程序要做到快速、準確；（5）記錄計算結果要做到真實、準確；（6）課后，認真寫好實驗報告，包括對算法的新認識和體會，要特別注意對計算結果的分析和討論，當然包括對計算結果的誤差分析。實驗報告一題目（摘要）Lagrange插值給定平面上個不同的數據點，，，；則滿足條件，的次拉格朗日插值多項式是存在唯一的。若，且函數充分光滑，則當時，有誤差估計式，前言：（目的和意義） 目的：利用拉格朗日插值多項式求的近似值意義：數學原理程序設計流程本實驗采用CodeBlocks的C文件編寫。Lagrange插值源程序：#include

<stdio.h>

#include

<conio.h>

#include

<alloc.h>

float

lagrange(float

*x,float

*y,float

xx,int

n)

{

int

i,j;

float

*a,yy=0.0;

a=(float

*)malloc(n*sizeof(float));

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

a[i]=y[i];

for(j=0;j<=n-1;j++)

if(j!=i)

a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);

yy+=a[i];

}

free(a);

return

yy;

}

main()

{

int

i,n;

float

x[20],y[20],xx,yy;

printf("Input

n:");

scanf("%d",&n);