2023屆陜西省寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.2.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或3.已知等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的前10項(xiàng)和()A.100 B.210 C.380 D.4004.設(shè),則復(fù)數(shù)的模等于()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.6.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.58.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.9.過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.410.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.412.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14.在三棱錐P-ABC中,,,,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.15.已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________.16.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.(12分)為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng),并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績(jī),并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī),并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效,并說明理由.19.(12分)某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,實(shí)行“階梯式”電價(jià),將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過度的部分按元/度收費(fèi),超過度但不超過度的部分按元/度收費(fèi),超過度的部分按元/度收費(fèi).(I)求某戶居民用電費(fèi)用(單位:元)關(guān)于月用電量(單位:度)的函數(shù)解析式;(Ⅱ)為了了解居民的用電情況,通過抽樣,獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖,若這戶居民中,今年1月份用電費(fèi)用不超過元的占,求,的值;(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率,且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替,記為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù)(),是的導(dǎo)數(shù).(1)當(dāng)時(shí),令,為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn);(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.21.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長為y,求的最大值.22.(10分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大?。唬?)若,的面積為,求及的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵冢院捻?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,2、D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.3、B【解析】

設(shè)公差為,由已知可得,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式,即可求解.【詳解】設(shè)公差為,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.7、D【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí),即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點(diǎn)為,則直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關(guān)系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意取最值的條件.10、A【解析】

利用計(jì)算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計(jì)算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問題,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12、A【解析】

先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時(shí),,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.14、【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高,利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑.三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,,,的高,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,∴,內(nèi)切球表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題,考查學(xué)生空間想象能力,本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑,是一道中檔題.15、164【解析】

只需令x=0,易得a5,再由(x+1)3(x+2)2=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3,可得a4=+2+.【詳解】令x=0,得a5=(0+1)3(0+2)2=4,而(x+1)3(x+2)2=(x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1]=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3;則a4=+2+=5+8+3=16.故答案為:16,4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解,可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解,屬于中檔題.16、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)【解析】

(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)(2)解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.18、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績(jī)有16個(gè),求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學(xué)中,有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設(shè)從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人,至少有一人考核成績(jī)優(yōu)秀為事件,因?yàn)楸碇谐煽?jī)?cè)诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件,事件包含9個(gè)基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績(jī)有16個(gè),所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想,是一道常規(guī)題.19、(1);(2),;(3)見解析.【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式;(2)將代入(1)中函數(shù)解析式可得,即,根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關(guān)于的方程,即可得;(3)取每段中點(diǎn)值作為代表的用電量,分別算出對(duì)應(yīng)的費(fèi)用值,對(duì)應(yīng)得出每組電費(fèi)的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng)當(dāng)時(shí),;當(dāng)當(dāng)時(shí),,所以與之間的函數(shù)解析式為.(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),,則,結(jié)合頻率分布直方圖可知,∴,(3)由題意可知可取50,150,250,350,450,550,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,故的概率分布列為25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設(shè),,注意到在上單增,再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決;(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在恒成立,即在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】(1)

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