新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單+鞏固練習(xí)專題01 集合與常用邏輯用語(yǔ)（解析版）

專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1集合與元素1、集合元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性；2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號(hào)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0表示3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR知識(shí)點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言基本關(guān)系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（SKIPIF1<0則SKIPIF1<0）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于ASKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等集合A，B的元素完全相同SKIPIF1<0空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論（1）并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.（2）交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.（3）補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．知識(shí)點(diǎn)4充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件2、充要條件（1）充要條件的定義如果“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”和它的逆命題“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”均為真命題，即既有SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，就記作SKIPIF1<0。此時(shí)，SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的充分條件，也是SKIPIF1<0的必要條件，我們說(shuō)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。（2）充要條件的含義若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件，則SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說(shuō)法上還是不同的，因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同。（3）充要條件的等價(jià)說(shuō)法：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件又常說(shuō)成是SKIPIF1<0成立當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0成立，或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0等價(jià)。知識(shí)點(diǎn)5全稱量詞與存在量詞1、全稱量詞與全稱量詞命題（1）全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號(hào)“SKIPIF1<0”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無(wú)限的，由有題目而定；（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語(yǔ)是“都”（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．符號(hào)表示：通常，將含有變量SKIPIF1<0的語(yǔ)句用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…表示，變量SKIPIF1<0的取值范圍用SKIPIF1<0表示，那么，全稱量詞命題“對(duì)SKIPIF1<0中任意一個(gè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為SKIPIF1<0【注意】（1）從集合的觀點(diǎn)看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)出來(lái)。如：命題“平行四邊形對(duì)角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對(duì)角線都互相平行”。2、存在量詞與存在量詞命題（1）存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號(hào)“SKIPIF1<0”表示．【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某些”、“有的”等；（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。符號(hào)表示：存在量詞命題“存在SKIPIF1<0中的元素SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為SKIPIF1<0【注意】（1）從集合的觀點(diǎn)看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量；（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個(gè)”等特征都是存在量詞命題3、命題的否定：對(duì)命題p加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“SKIPIF1<0”，讀作“非p”或p的否定．（1）全稱量詞命題的否定：一般地，全稱量詞命題“SKIPIF1<0”的否定是存在量詞命題：SKIPIF1<0．（2）存在量詞命題的否定：一般地，存在量詞命題“SKIPIF1<0”的否定是全稱量詞命題：SKIPIF1<0．（3）命題與命題的否定的真假判斷：一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假．即：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然．（4）常見正面詞語(yǔ)的否定：正面詞語(yǔ)等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意所有至多有n個(gè)否定至少有兩個(gè)一個(gè)都沒有某個(gè)某些至少有n+1個(gè)一、子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題如果集合A中含有n個(gè)元素，則有（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．【典例1】（2023·重慶·校聯(lián)考三模）數(shù)集SKIPIF1<0的非空真子集個(gè)數(shù)為（）A．32B．31C．30D．29【答案】C【解析】因?yàn)榧蟂KIPIF1<0中含有SKIPIF1<0個(gè)元素，所以集合SKIPIF1<0的非空真子集個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）若集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的子集個(gè)數(shù)為（）A．5B．6C．16D．32【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的子集個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C二、已知一個(gè)元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)．【典例1】（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則a等于（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不合題意，故舍去.當(dāng)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(舍去)或SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，滿足.故選：D【典例2】（2022秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0．【答案】2【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，不符合條件；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，符合條件；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，無(wú)實(shí)根，不符合條件．所以SKIPIF1<0．故答案為：2.三、利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍第一步：弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．（3,4）C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知可得，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（注意端點(diǎn)值是否能取到），解得SKIPIF1<0，故選：B．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知集合A＝SKIPIF1<0，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值可能為（）A．－3B．－2C．0D．3【答案】BCD【解析】由題知B?A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝SKIPIF1<0.所以B＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)B＝SKIPIF1<0時(shí)，此種情況不可能，所以舍去；當(dāng)B＝SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得a＝3；當(dāng)B＝SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得a＝－2；當(dāng)B＝SKIPIF1<0時(shí)，a＝0.綜上可得實(shí)數(shù)a的可能取值為3，0，－2.故選：BCD.四、根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.法二：（1）化簡(jiǎn)所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；（3）根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗(yàn).【注意】（1）確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　?”；（2）千萬(wàn)不要忘記考慮空集?！镜淅?】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解不等式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B.五、利用充分必要條件求參數(shù)的策略1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；2、端點(diǎn)取值需謹(jǐn)慎：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的真子集，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：A易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法的理解存在偏差點(diǎn)撥：對(duì)集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對(duì)本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元素類型（點(diǎn)集或者數(shù)集）及代表元素的含義。【典例1】（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┘蟂KIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，全集SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】對(duì)于集合A，由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解方程組SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.易錯(cuò)點(diǎn)2忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤點(diǎn)撥：空集不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問(wèn)題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解。【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0或1B．0或1C．1D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由集合SKIPIF1<0，對(duì)于方程SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解，可得集合SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)集合SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】若N為空集，即SKIPIF1<0，若N不為空集，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0.易錯(cuò)點(diǎn)3忽視集合元素的互異性點(diǎn)撥：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0所組成的集合，最多可含有（）個(gè)元素A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)所含元素最多，此時(shí)SKIPIF1<0分別可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0所組成的集合，最多可含有3個(gè)元素．故選：B【典例2】（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．1D．2【答案】A【解析】由題意SKIPIF1<0可知，兩集合元素全部相等，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又根據(jù)集合互異性，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A易錯(cuò)點(diǎn)4判斷充分性必要性位置顛倒點(diǎn)撥：需要多注意倒裝句的標(biāo)志，解題時(shí)先翻譯成正常的結(jié)構(gòu)再判斷計(jì)算?！镜淅?】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）使SKIPIF1<0成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．x<2D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SK