（高二數(shù)學(xué)高分突破）第8章概率章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）第8章概率章末題型歸納總結(jié)（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）第8章概率章末題型歸納總結(jié)（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）第8章概率章末題型歸納總結(jié)（原卷版）第8章概率章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：條件概率經(jīng)典題型二：全概率公式與貝葉斯公式經(jīng)典題型三：隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的分布列經(jīng)典題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布經(jīng)典題型六：正態(tài)分布經(jīng)典題型七：隨機(jī)變量的數(shù)字特征經(jīng)典題型八：概率的綜合應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：條件概率例1．(2024·高二·湖南邵陽(yáng)·期中)一玩具制造廠的某一配件由A,B,C三家配件制造廠提供,根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A,B,C的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供配件的份額分別為,,,設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉(cāng)庫(kù)均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記,從中隨機(jī)抽取一件配件,若抽到的是次品,則該次品來(lái)自制造廠C概率為(

)A． B． C． D．例2．(2024·黑龍江齊齊哈爾·一模)某飲料廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的飲料,已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為,且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為,若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶,則選到非碳酸飲料的概率約為(

)A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32例3．(2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè))已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率,則(

)A． B．C． D．例4．(2024·高二·江西·階段練習(xí))先后兩次拋一枚質(zhì)地均勻的骰子,記事件"第一次拋出的點(diǎn)數(shù)小于3”,事件"兩次點(diǎn)數(shù)之和大于3”,則(

)A． B． C． D．例5．(2024·高二·遼寧·階段練習(xí))某市為迎接即將到來(lái)的省辯論大賽,準(zhǔn)備在全市高中生范圍內(nèi)選擇成員,經(jīng)過(guò)第一輪比賽,9人脫穎而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有一名參加過(guò)去年的比賽．現(xiàn)從這9人中選2名男生與2名女生參賽,若至少有1名參加過(guò)去年比賽的被選中條件下,兩名去年參賽的都被選中的概率是(

)A． B． C． D．例6．(2024·高三·上海浦東新·階段練習(xí))全概率公式在敏感性問(wèn)題調(diào)查中有著重要應(yīng)用．例如某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對(duì)食堂滿意度的真實(shí)情況,為防止學(xué)生有所顧忌而不如實(shí)作答,可以設(shè)計(jì)如下調(diào)查流程：每位學(xué)生先從一個(gè)裝有3個(gè)紅球,6個(gè)白球的盒子中任取3個(gè)球,取到至少一個(gè)紅球的學(xué)生回答問(wèn)題一"你出生的月份是否為3的倍數(shù)?”,未取到任何紅球的學(xué)生回答問(wèn)題二"你對(duì)食堂是否滿意?”．由于兩個(gè)問(wèn)題的答案均只有"是”和"否”,而且回答的是哪個(gè)問(wèn)題他人并不知道(取球結(jié)果不被看到即可),因此理想情況下學(xué)生應(yīng)當(dāng)能給出符合實(shí)際情況的答案．已知某學(xué)校800名學(xué)生參加了該調(diào)查,且有250人回答的結(jié)果為"是”,由此估計(jì)學(xué)生對(duì)食堂的實(shí)際滿意度大約為(

)A． B． C． D．經(jīng)典題型二：全概率公式與貝葉斯公式例7．(2024·高二·云南紅河·階段練習(xí))某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3：3：4,三個(gè)年級(jí)的學(xué)生都報(bào)名參加公益志愿活動(dòng),經(jīng)過(guò)選拔,高一年級(jí)有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者,高二、高三年級(jí)各有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者．(1)設(shè)事件"在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生是志愿者”;事件"在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,該生來(lái)自高年級(jí)”()．請(qǐng)完成下表中不同事件的概率并寫(xiě)出演算步驟：事件概率概率值(2)若在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是志愿者,根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù),求該學(xué)生來(lái)自于高一年級(jí)的概率．例8．(2024·高二·福建南平·階段練習(xí))某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用,對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置,統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽,其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所示．比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場(chǎng)率0.30.20.20.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí),求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率．(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí),在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下,求甲跑第一棒的概率．例9．(2024·高二·廣東廣州·期末)現(xiàn)有10個(gè)球,其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn),3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn),2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是,,．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球,設(shè)事件為"取得的球是合格品”,事件分別表示"取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．(1)求;(2)求．例10．(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用,對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置,統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽,其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所示．比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場(chǎng)率0.30.20.20.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí),求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率．(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí),在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下,求甲跑第一棒的概率．(3)如果某場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝,求在該場(chǎng)比賽中甲最可能是第幾棒．例11．(2024·高三·福建泉州·期末)一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球,其中紅球7個(gè),黑球3個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到紅球的概率;(2)設(shè)第次都摸到紅球的概率為;第1次摸到紅球的概率為;在第1次摸到紅球的條件下,第2次摸到紅球的概率為;在第1,2次都摸到紅球的條件下,第3次摸到紅球的概率為.求;(3)對(duì)于事件,當(dāng)時(shí),寫(xiě)出的等量關(guān)系式,并加以證明.經(jīng)典題型三：隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系例12．(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),則表示.例13．(2024·高二·江蘇·課時(shí)練習(xí))下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是,是連續(xù)型隨機(jī)變量的是(填序號(hào))．①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X;②某水文站觀察到一天中江水的水位X;③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X;④某大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X.例14．(2024·高二·新疆巴音郭楞·期末)袋中有大小相同的5個(gè)球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼,現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球,設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X,則X的可能取值是．(用集合表示)例15．(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取2件,其中次品數(shù)ξ的所有可能取值是．例16．(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))已知下列四個(gè)變量：①某高鐵候車室中一天的旅客數(shù)量;②某次學(xué)術(shù)講座中學(xué)員向主講教授提問(wèn)的次數(shù);③某一天中長(zhǎng)江的水位;④某次大型車展中銷售汽車的數(shù)量．其中,所有離散型隨機(jī)變量的序號(hào)為．例17．(2024·高二·全國(guó)·競(jìng)賽)從由正數(shù)組成的集合A中隨機(jī)地選出一個(gè)數(shù)的概率為,則在下面給出的四個(gè)集合中：①;②;③;④．能當(dāng)成集合A的為(填上符合要求的所有序號(hào))．經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的分布列例18．(2024·高二·廣東廣州·期末)隨機(jī)變量有3個(gè)不同的取值,且其分布列如下：01則的值為．例19．(2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí))設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為：X024P則．例20．(2024·高三·天津河?xùn)|·階段練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：X1234Pmn已知,則.例21．(2024·高二·吉林·期末)隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.例22．(2024·高二·遼寧大連·階段練習(xí))設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下：則.經(jīng)典題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布例23．(2024·高二·遼寧·階段練習(xí))某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克),質(zhì)量的分組區(qū)間為,,…,．由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖)．(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取3件,設(shè)為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列;(3)從該流水線上任取5件產(chǎn)品,設(shè)為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量,求的數(shù)學(xué)期望和方差．例24．(2024·高二·上?！るA段練習(xí))為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神,推動(dòng)全市黨員干部群眾用好"學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái),激發(fā)干事創(chuàng)業(yè)熱情．某單位組織"學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽共有道題目,隨機(jī)抽取道讓參賽者回答．已知小明只能答對(duì)其中的道,試求：(1)抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列;(2)求的期望和方差例25．(2024·高三·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試)"英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年,由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施,到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生,為選拔培養(yǎng)對(duì)象,某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng).(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來(lái)自中學(xué),從這7名學(xué)員中選取3人,表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上,物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng),規(guī)則如下：兩人一組,每一輪競(jìng)答中,每人分別答兩題,若小組答對(duì)題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組,甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為,.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立,且互不影響.當(dāng)時(shí),求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.例26．(2024·四川·模擬預(yù)測(cè))在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲(chóng)害調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲(chóng)害的果苗,并測(cè)量其高度(單位：,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該苗圃受到這種病蟲(chóng)害的果苗的平均高度(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的概率;(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率為,果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗,求該棵果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率(以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于該區(qū)間的概率).例27．(2024·高三·上海黃浦·階段練習(xí))某學(xué)校共有1200人,其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)比為,為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),堅(jiān)持五育并舉,全面推進(jìn)素質(zhì)教育,擬舉行乒乓球比賽,從三個(gè)年級(jí)中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊(duì)員．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式,每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制,最后根據(jù)積分選出最后的冠軍,亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽5局中以或獲勝的隊(duì)員積3分,落敗的隊(duì)員積0分;而每場(chǎng)比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分,落敗的隊(duì)員積1分．已知最后一場(chǎng)比賽兩位選手是甲和乙,如果甲每局比賽的獲勝概率為(1)三個(gè)年級(jí)參賽人數(shù)各為多少?(2)在最后一場(chǎng)比賽甲獲勝的條件下,求其前2局獲勝的概率(3)記最后一場(chǎng)比賽中甲所得積分為X,求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望經(jīng)典題型六：正態(tài)分布例28．(2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí))為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會(huì),某冰上項(xiàng)目組織計(jì)劃招收一批9~14歲的青少年參加集訓(xùn),以選拔運(yùn)動(dòng)員,共有10000名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加測(cè)試,其測(cè)試成績(jī)(滿分100分)服從正態(tài)分布,成績(jī)?yōu)?0分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì),已知80分及以上的人數(shù)為228人,請(qǐng)你通過(guò)以上信息,推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的人數(shù)為．附：,,．例29．(2024·高三·上海浦東新·階段練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則實(shí)數(shù)．例30．(2024·高二·江西·期末)已知隨機(jī)變量,若,則.例31．(2024·安徽安慶·二模)樹(shù)人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開(kāi)展天宮模擬飛行器體驗(yàn)活動(dòng),該項(xiàng)活動(dòng)對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識(shí)素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動(dòng),遴選活動(dòng)分以下兩個(gè)環(huán)節(jié),當(dāng)兩個(gè)環(huán)節(jié)均測(cè)試合格可以參加體驗(yàn)活動(dòng)．第一環(huán)節(jié)：對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試,當(dāng)測(cè)試值時(shí)體能指標(biāo)合格;第二環(huán)節(jié)：對(duì)身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試,測(cè)試方案為對(duì)A,B兩類試題依次作答,均測(cè)試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫(kù)中隨機(jī)產(chǎn)生,有兩次測(cè)試機(jī)會(huì),在任一類試題測(cè)試中,若第一次測(cè)試合格,不再進(jìn)行第二次測(cè)試．若第一次測(cè)試不合格,則進(jìn)行第二次測(cè)試,若第二次測(cè)試合格,則該類試題測(cè)試合格,若第二次測(cè)試不合格,則該類試題測(cè)試不合格,測(cè)試結(jié)束．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．參考數(shù)值：,,．(1)請(qǐng)估計(jì)樹(shù)人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù));(2)學(xué)生小華通過(guò)身體體能指標(biāo)遴選,進(jìn)入航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試,作答A類試題,每次測(cè)試合格的概率為,作答B(yǎng)類試題,每次測(cè)試合格的概率為,且每次測(cè)試相互獨(dú)立．①在解答A類試題第一次測(cè)試合格的條件下,求測(cè)試共進(jìn)行3次的概率．②若解答A、B兩類試題測(cè)試合格的類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．例32．(2024·高三·江西·開(kāi)學(xué)考試)已知某客運(yùn)輪渡最大載客質(zhì)量為,且乘客的體重(單位：)服從正態(tài)分布．(1)記為任意兩名乘客中體重超過(guò)的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望(所有結(jié)果均精確到0.001);(2)設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且服從正態(tài)分布,記,則當(dāng)時(shí),可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．若保證該輪渡不超載的概率不低于,求最多可運(yùn)載多少名乘客．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則;若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則;,,．例33．(2024·四川成都·二模)某省舉辦了一次高三年級(jí)化學(xué)模擬考試,其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),該省及各市本次模擬考試成績(jī)(滿分100分)都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)?5分,87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績(jī)?yōu)?6分,試估計(jì)學(xué)生在甲市的大致名次;(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人,記表示在本次考試中化學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù),求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若,有,例34．(2024·高三·安徽·階段練習(xí))某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對(duì)值不超過(guò)4即視為合格品,否則視為不合格品.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.用樣本估計(jì)總體.(1)試估計(jì)100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)(精確到1);(2)在(1)的條件下,現(xiàn)出售隨機(jī)包裝的100箱該產(chǎn)品,每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對(duì)每箱產(chǎn)品均采取不放回地隨機(jī)抽取方式進(jìn)行檢驗(yàn),箱與箱之間的檢驗(yàn)相互獨(dú)立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受該箱產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格,則拒絕該箱產(chǎn)品;如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格,則再抽1件,如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格,則接受該箱產(chǎn)品,否則拒絕該箱產(chǎn)品.若該箱產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)后生產(chǎn)方獲利1000元;該箱產(chǎn)品被拒絕,則虧損89元.求100箱該產(chǎn)品利潤(rùn)的期望值.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,例35．(2024·高三·山東·開(kāi)學(xué)考試)某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會(huì),現(xiàn)場(chǎng)來(lái)了1000位居民．聯(lián)歡會(huì)臨近結(jié)束時(shí),物業(yè)公司從現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié),這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示,且．(1)請(qǐng)你估計(jì)現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)(四舍五入取整數(shù));(2)獎(jiǎng)品分為一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),已知每個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為40%,摸到二等獎(jiǎng)的概率為60%,每個(gè)人摸獎(jiǎng)相互獨(dú)立,設(shè)恰好有個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為,求當(dāng)取得最大值時(shí)的值．附：若,則．經(jīng)典題型七：隨機(jī)變量的數(shù)字特征例36．(2024·高二·上?！るA段練習(xí))下列命題正確的是(

)A．?dāng)?shù)據(jù),1,2,4,5,6,8,9的第25百分位數(shù)是1B．若隨機(jī)變量滿足,則C．已知隨機(jī)變量,若,則D．若隨機(jī)變量,,則例37．(2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè))在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為,且,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是(

)A． B．C． D．例38．(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))設(shè),隨機(jī)變量的分布列如下圖所示,則下列說(shuō)法正確的有(

)X012PA．恒為1 B．隨增大而增大C．恒為 D．最小值為0例39．(多選題)(2024·高二·江西·階段練習(xí))已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示,則(

)13A． B． C． D．例40．(多選題)(2024·高二·遼寧·開(kāi)學(xué)考試)隨機(jī)變量,且,隨機(jī)變量,若,則(

)A． B．C． D．例41．(多選題)(2024·云南·二模)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,每次取一個(gè)球,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為,則(

)A． B．C．的期望 D．的方差經(jīng)典題型八：概率的綜合應(yīng)用例42．(2024·遼寧·一模)近年來(lái),某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,大力推行全民健身運(yùn)動(dòng),向全校學(xué)生開(kāi)放了兩個(gè)健身中心,要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身,若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為,求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率;(2)該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉,且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè),其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心,則周日仍選擇健身中心的概率為;若周六選擇健身中心,則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率;(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果,并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生,則繼續(xù)抽取下一個(gè),直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止,但抽取的總次數(shù)不超過(guò).若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)3且,求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.例43．(2024·河南新鄉(xiāng)·二模)根據(jù)國(guó)家電影局統(tǒng)計(jì),2024年春節(jié)假期(2月10日至2月17日)全國(guó)電影票房為80.16億元,觀影人次為1.63億,相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長(zhǎng)了18.47%和26.36%,均創(chuàng)造了同檔期新的紀(jì)錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者,并統(tǒng)計(jì)了每名觀影者對(duì)當(dāng)日觀看的電影的滿意度評(píng)分(滿分100分),根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖(分組區(qū)間為,,,,,)．(1)求這100名觀影者滿意度評(píng)分不低于60分的人數(shù);(2)估計(jì)這100名觀影者滿意度評(píng)分的第40百分位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);(3)設(shè)這100名觀影者滿意度評(píng)分小于70分的頻率為,小于80分的頻率為,若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影,甲觀看,影片的概率分別為,,乙觀看,影片的概率分別為,,當(dāng)天甲、乙觀看哪部電影相互獨(dú)立,記甲、乙這兩名觀影者中當(dāng)天觀看影片的人數(shù)為,求的分布列及期望．例44．(2024·河南信陽(yáng)·一模)小甲參加商場(chǎng)舉行的玩游戲換代金券的活動(dòng)．若參與A游戲,則每次勝利可以獲得該商場(chǎng)150元的代金券;若參與B游戲,則每次勝利可以獲得該商場(chǎng)200元的代金券;若參與C游戲,則每次勝利可以獲得該商場(chǎng)300元的代金券．已知每參與一次游戲需要成本100元,且小甲每次游戲勝利與否相互獨(dú)立．(1)若小甲參加4次A游戲,每次獲勝的概率為,記其最終獲得450元代金券的概率為,求函數(shù)的極大值點(diǎn);(2)在(1)的條件下,記小甲參加A,B,C游戲獲勝的概率分別為,,．若小甲只玩一次游戲,試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,玩哪種游戲小甲獲利的期望最大．例45．(2024·福建漳州·一模)在數(shù)字通信中,信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列,發(fā)送每個(gè)信號(hào)數(shù)字之間相互獨(dú)立．由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．(1)記發(fā)送信號(hào)變量為,接收信號(hào)變量為,且滿足,,,求;(2)當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí),接收為0的概率為,定義隨機(jī)變量的"有效值”為(其中是的所有可能的取值,),發(fā)送信號(hào)"000”的接收信號(hào)為"”,記為,,三個(gè)數(shù)字之和,求的"有效值”．(,)例46．(2024·四川南充·二模)已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過(guò)全面檢測(cè)后,分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí),兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī),小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元;若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元;假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時(shí),將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測(cè)的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī),求芯片生產(chǎn)商的損失(單位：元)的分布列及期望;(2)設(shè)且,現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品,分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測(cè),Ⅰ級(jí)品直接應(yīng)用于A型手機(jī),Ⅱ級(jí)品直接應(yīng)用于B型手機(jī);方案二：重新檢測(cè)該芯片Ⅰ級(jí)品,Ⅱ級(jí)品的該項(xiàng)指標(biāo),并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào),會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用,但檢測(cè)費(fèi)用共需要130萬(wàn)元;請(qǐng)求出按方案一,芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值(單位：萬(wàn)元)的表達(dá)式,并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮,選擇合理的方案．其中"部分選對(duì)的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分;若正確答案有3個(gè)選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分,只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分．方案一：只選擇A選項(xiàng);方案二：選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng);方案三：選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例47．(2024·全國(guó)·高三專題練習(xí))甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行自由式輪滑速度障礙賽決賽,采取五場(chǎng)三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)比賽時(shí),該隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束),根據(jù)以往比賽成績(jī)可知,甲隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率為,比賽結(jié)果沒(méi)有平局,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則在甲隊(duì)獲勝的情況下,比賽共進(jìn)行了四場(chǎng)的概率為_(kāi)_____．例48．(2024·江西·高二校聯(lián)考期中)已知隨機(jī)事件,,若,,,則_________.例49．(2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末)高三某位同學(xué)準(zhǔn)備參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考．已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、,假定這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響,那么這位同學(xué)恰好得個(gè)的概率是_______．例50．(2024·全國(guó)·高二專題練習(xí))現(xiàn)有n(,)個(gè)相同的袋子,里面均裝有n個(gè)除顏色外其他無(wú)區(qū)別的小球,第k(,2,3,…,n)個(gè)袋中有k個(gè)紅球,個(gè)白球.現(xiàn)將這些袋子混合后,任選其中一個(gè)袋子,并且從中連續(xù)取出三個(gè)球(每個(gè)取后不放回),若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕适?則___________.②轉(zhuǎn)化與化歸思想例51．(2024·全國(guó)·高三專題練習(xí))奧運(yùn)吉祥物"雪容融”是根據(jù)中國(guó)傳統(tǒng)文化中燈籠的造型創(chuàng)作而成,現(xiàn)掛有如圖所示的兩串燈籠,每次隨機(jī)選取其中一串并摘下其最下方的一個(gè)燈籠,直至某一串燈籠被摘完為