2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第48講-排列與組合【課件】

第48講

排列與組合第十章

計(jì)數(shù)原理、概率及其分布1．一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是_____．激活思維【解析】9因?yàn)橐豁?xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，所以從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是5＋4＝9.2．從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_____．6【解析】因?yàn)閺腁村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，所以從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是3×2＝6.3．有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選3門成績(jī)．如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有______種不同的選法．12【解析】4．乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開(kāi)后共有______項(xiàng)．45【解析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開(kāi)后每一項(xiàng)均是從(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1項(xiàng)相乘得到，所以展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)為3×3×5＝45.5．學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序．除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，4個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，有_______種不同的排法．288【解析】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系聚焦知識(shí)

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可2．排列與組合的概念3．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)_______表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)_______表示．名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照______________排成一列組合作為一組一定的順序不同排列不同組合4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！學(xué)校舉行德育知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)晉級(jí)到了決賽環(huán)節(jié)，通過(guò)筆試決出了第1名到第5名．甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)他們說(shuō)：“決賽5人的成績(jī)各不相同，但你們倆的名次是相鄰的”，丙、丁兩名參賽者也去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你和丁都未拿到冠軍”，又對(duì)丁說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從以上回答分析，5人的名次排列不同的可能情況種數(shù)是

(

)A．14 B．16C．18 D．20兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用舉題說(shuō)法1【解析】由題意可知，冠軍不會(huì)是丙、丁，且丁不是第5名．【答案】B所以共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝8＋4＋2＋2＝16(種).變式有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為(

)A．120 B．60C．40 D．30B【解析】(1)某夜市的某排攤位上共有6個(gè)鋪位，現(xiàn)有4家小吃類店鋪，2家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個(gè)攤位規(guī)劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個(gè)數(shù)為

(

)捆綁法與插空法2D【解析】(2)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰，E不站兩端的不同站法的種數(shù)為

(

)A．48 B．96 C．144 D．288B2【解析】③將C，D，G，F(xiàn)，E排成一排，且C，D不相鄰，E不站兩端的排法有72－24＝48(種).綜上，滿足條件的排法共有2×48＝96(種).變式

(1)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的站法共有 (

)A．24種 B．48種C．72種 D．96種C【解析】變式

(2)在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有______個(gè)．36【解析】現(xiàn)有4名數(shù)學(xué)特長(zhǎng)生可從3位數(shù)學(xué)教授中任選一位作為導(dǎo)師，每位數(shù)學(xué)教授至多帶2名數(shù)學(xué)特長(zhǎng)生，則不同的培養(yǎng)方案有______種．分組分配法354【解析】變式信息技術(shù)輔助教學(xué)已經(jīng)成為教學(xué)的主流趨勢(shì)，為了了解學(xué)生利用學(xué)習(xí)機(jī)學(xué)習(xí)的情況，某研究機(jī)構(gòu)在購(gòu)物平臺(tái)上購(gòu)買了6種主流的學(xué)習(xí)機(jī)，并安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種學(xué)習(xí)機(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)(不重復(fù)統(tǒng)計(jì))，則不同的安排方法有_________種．1560【解析】由題意可知6種主流的學(xué)習(xí)機(jī)安排給4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，每人至少統(tǒng)計(jì)1種學(xué)習(xí)機(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)(不重復(fù)統(tǒng)計(jì))，則學(xué)習(xí)機(jī)的分配方法有3，1，1，1和2，2，1，1兩類情況．泉州洛陽(yáng)橋，原名萬(wàn)安橋，橋長(zhǎng)834米，寬7米，46個(gè)橋墩，47個(gè)橋孔，全都是由花崗巖筑成，素有“海內(nèi)第一橋”之譽(yù)，是古代著名跨海梁式石構(gòu)橋．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游縣人，北宋名臣，書法家、文學(xué)家、茶學(xué)家)與盧錫共同主持，歷經(jīng)七年建成，至今已有九百多年歷史．現(xiàn)有一場(chǎng)劃船比賽，選取相鄰的12個(gè)橋孔作為比賽道口，有4艘參賽船將從一字排開(kāi)的12個(gè)橋孔劃過(guò)，若為隔板法4安全起見(jiàn)相鄰兩艘船都必須至少留有1個(gè)空橋孔間隔劃過(guò)，12個(gè)橋孔頭尾兩側(cè)橋孔也不過(guò)船，所有的船都必須從不同的橋孔劃過(guò)，每個(gè)橋孔都只允許1艘船劃過(guò)，則4艘船通過(guò)橋孔的不同方法共有_______種．【解析】【答案】840隨堂練習(xí)1．把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有(

)A．4種 B．6種C．21種 D．35種B【解析】2．某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同的數(shù)字密碼有 (

)A．120種 B．240種C．360種 D．480種A【解析】3．甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A．30種 B．60種C．120種 D．240種C【解析】4．某市根據(jù)各學(xué)校工作實(shí)際，在4所學(xué)校設(shè)立兼職體育教練崗位．現(xiàn)聘請(qǐng)甲、乙等6名教練去這4所中學(xué)指導(dǎo)體育教學(xué)，要求每名教練只能去一所中學(xué)，每所中學(xué)至少有一名教練，則甲、乙分在同一所中學(xué)的不同的安排方法種數(shù)為

(

)A．96 B．120 C．144 D．240D【解析】5．現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有 (

)A．56種 B．64種C．72種 D．96種D【解析】配套精練A組夯基精練一、

單項(xiàng)選擇題1．將3張不同的冬奧會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，不同的分法種數(shù)為

(

)A．720 B．240C．120 D．60A【解析】可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有10×9×8＝720(種)不同的分法．2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，則甲不站在兩端，且丙和丁相鄰的不同的排列方式有(

)A．12種 B．24種C．36種 D．48種B【解析】3．某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將5名教師安排到3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有(

)A．300種 B．210種C．180種 D．150種D【解析】4．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有(

)A．20種 B．16種

C．12種 D．8種B【解析】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位．二、

多項(xiàng)選擇題5．小明、小華、小紅、小蘭四位同學(xué)分別到鎮(zhèn)江的南山、焦山、北固山參觀旅游，要求每位同學(xué)只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一位同學(xué)參觀，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A．若安排兩位同學(xué)去焦山，則有12種安排方法B．若安排小紅和小蘭去同一個(gè)地方參觀，則有6種安排方法C．若小華不去南山參觀，則有24種安排方法D．共有18種安排方法【解析】【答案】ABC6．現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的說(shuō)法正確的是

(

)A．將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有24種放法B．將4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種C．將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法共有144種D．將編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒(méi)有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種【解析】若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(種)放法，故A錯(cuò)誤；編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒(méi)有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同，若(2，1，4，3)代表編號(hào)為1，2，3，4的盒子放入的小球編號(hào)分別為2，1，4，3，所有符合要求的情況為(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9種放法，故D正確．【答案】BCD三、

填空題7．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有______種．(用數(shù)字作答)【解析】64綜上，不同的選課方案共有16＋24＋24＝64(種).8．“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》《尚書》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“五經(jīng)”知識(shí)講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩(shī)經(jīng)》《春秋》分開(kāi)排的情況有______種．72【解析】9．將8塊完全相同的巧克力分配給A，B，C，D四人，每人至少分到1塊且最多分到3塊，則不同的分配方案共有______種．(用數(shù)字作答)19【解析】將8塊完全相同的巧克力取4塊分給A，B，C，D四人，每人各1塊，有1種分法，再將剩余4塊分給4人，由于每人最多分到3塊，故有“0，1，1，2”或“0，0，2，2”或“1，1，1，1”三類分法.四、

解答題10．一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球．(1)從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？【解答】10．一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球．(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？【解答】11．用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別求滿足下列條