高中數(shù)學 2-1-1合情推理規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修1-2

第2章推理與證明2．1合情推理與演繹推理2．1.1合情推理雙基達標限時15分鐘1．經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b成立的條件不等式________________________________________________________________________．答案若a＋b＝20，則eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)(其中a，b為正實數(shù))2．觀察下列等式：Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝23－2Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(9,9)＝27＋23Ceq\o\al(1,13)＋Ceq\o\al(5,13)＋Ceq\o\al(9,13)＋Ceq\o\al(13,13)＝211－25Ceq\o\al(1,17)＋Ceq\o\al(5,17)＋Ceq\o\al(9,17)＋Ceq\o\al(13,17)＋Ceq\o\al(17,17)＝215＋27由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝________________.解析由類比推理，每一個等式的結(jié)論由兩項組成，第一項2的指數(shù)為(4n＋1)－2＝4n－1，第二項前有(－1)n，指數(shù)為2n－1，即有24n－1＋(－1)n·22n－1.答案24n－1＋(－1)n·22n－13．若三角形的內(nèi)切圓半徑為r，三邊的長分別為a，b，c，則三角形的面積S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)，根據(jù)類比思想，若四面體的內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則此四面體的體積V＝__________.解析運用分割法思想，設(shè)四面體S-ABC的內(nèi)切球的球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將四面體分成四個三棱維，則VS-ABC＝VO-SAC＋VO-SAB＋VO-SBC＋VO-ABC＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R.答案eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R4．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案1∶85．觀察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為__________________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4(n∈N*)6．若數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(1,n＋12)，記f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值．解f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(3,4)·eq\f(8,9)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(2,3)·eq\f(15,16)＝eq\f(5,8).由此猜想，f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋1).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910……按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為__________．解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋3＋…＋(n－1)個，即有eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).答案eq\f(n2－n＋6,2)8．對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at－(t－1)as＝0”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個正確命題是：“___________________”．答案若{bn}是等比數(shù)列，b1＝1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有eq\f(b\o\al(s－1,t),b\o\al(t－1,s))＝19．由圖(1)有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則由圖(2)有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝____________.解析由三棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh及相似比可知：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)10．五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②若報出的是3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次，當?shù)?0個數(shù)被報出時，五位同學拍手的總次數(shù)為________．解析這個數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個數(shù)開始遞增，且是前兩項之和，即有1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，…將該數(shù)列的每一項除以3得余數(shù)分別為：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…由此可見余數(shù)的變化規(guī)律是按1,1,2,0,2,2,1,0循環(huán)，周期是8，且一個周期中第四個數(shù)與第八個數(shù)都是3的倍數(shù)，即在三個周期中有6個報出的數(shù)是3的倍數(shù)，后面6個數(shù)中除以3的余數(shù)為1,1,2,0,2,2，只有一個是3的倍數(shù)，故共有7個是3的倍數(shù)，共拍手7次．答案711．從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上，觀察如右圖所示的幾何圖形，試歸納可得出什么結(jié)論？解從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上，容易發(fā)現(xiàn)1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.觀察上述算式的結(jié)構(gòu)特征，我們可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.12．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有怎樣的等式成立？解由此，猜測本題的答案為b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．事實上，對于等差數(shù)列{an}，如果ak＝0，則an＋1＋a2k－1－n＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n<2k－1，n∈N＋)從而對等比數(shù)列{bn}，如果bk＝1，則有等式b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n<2k－1，n∈N＋)成立．∵b9＝1，∴b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)成立．13．(創(chuàng)新拓展)我們已經(jīng)學過了等差數(shù)列，你是否想過有沒有等和數(shù)列呢？①類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；②探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項各有什么特點，并加以說明；③在等和數(shù)列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n項的和Sn.解①如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列．②由①知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，∴等和數(shù)列的奇數(shù)項相等，偶數(shù)項也相等．③當n為奇數(shù)時，令n＝2k－1，k∈N＋，則Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝eq\f(2k－2