高中數(shù)學(xué) 模塊檢測(cè) 北師大版選修2-3

模塊檢測(cè)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．一臺(tái)X型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)需要工人照看的概率為0.8000，有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則一小時(shí)內(nèi)至多有2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是 ()．A．0.1536 B．0.1808C．0.5632 D．0.9728解析設(shè)四臺(tái)機(jī)床中需照看的臺(tái)數(shù)為X，則X～B(4,0.8)，故P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)·0.8k·0.24－k(k＝0,1,2,3,4)故所求概率為P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,4)×0.24＋Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23＋Ceq\o\al(2,4)×0.82×0.22＝0.0016＋0.0256＋0.1536＝0.1808.答案B2．設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(3,x)))n的展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為a，所有的二項(xiàng)式系數(shù)的和為b，若a＋2b＝80，則n的值為 ()．A．8 B．4C．3 D．2解析由題意得，a＝4n，b＝2n，又a＋2b＝80，所以4n＋2×2n－80＝0，即(2n)2＋2×2n－80＝0，(2n＋10)(2n－8)＝0，所以2n－8＝0或2n＋10＝0(不合題意，舍去)，所以，n＝3，選C.答案C3．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a，b的值分別為 ()．A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.答案C4．如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 ()．A．180種 B．120種C．96種 D．60種解析按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步由于D區(qū)域可以重復(fù)使用區(qū)域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180種涂色方法．答案A5．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝ ()．A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故選C.答案C6．某中學(xué)在高二開設(shè)了數(shù)學(xué)史等4門不同的選修課，每個(gè)學(xué)生必須選修，且只能從中選一門．該校高二的3名學(xué)生甲、乙、丙對(duì)這4門不同的選修課的興趣相同．設(shè)X為甲、乙、丙這3個(gè)學(xué)生中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，則EX等于 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D．2解析由題意知，X的所有取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).∴X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴EX＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).答案C7．在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮這一事件E＝ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C，且A，B，C相互獨(dú)立，ABC，ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C互斥，所以P(E)＝P(ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C)＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案B8．在1,2,3,4的排列a1，a2，a3，a4中，滿足a2>a3的排列種數(shù)為 )．A．10 B．12C．24 D．26解析分3類完成：第1類，a2＝2，此時(shí)a3只有一種選擇(a3＝1)，其余2個(gè)數(shù)(3,4)在a1，a4兩個(gè)位置全排列，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)種排列方法；第2類，a2＝3，此時(shí)a3有Aeq\o\al(1,2)種選擇(a3＝1或a3＝2)，其余兩個(gè)位置(a1，a4)無約束條件，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種排列方法．第3類，a2＝4，此時(shí)a1，a3，a4三個(gè)位置無約束條件，共有Aeq\o\al(3,3)種排列方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12種排列方法．答案B9．一離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：X0123P0.1ab0.1且EX＝1.5，則a－b等于 ()．A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0解析a＋b＝0.8,0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，∴a＋2b＝1.2.解之得a＝b＝0.4，∴a－b＝0.答案D10．假設(shè)有兩個(gè)變量X與Y的2×2列聯(lián)表如下表YXy1y2x1abx2cd對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為 ()．A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)，分別計(jì)算χ2的值，χ2的值越大，說明X與Y有關(guān)系的可能性越大．因?yàn)镈項(xiàng)的χ2值最大，故選D.答案D二、填空題(每小題5分，共25分)11．若血色素化驗(yàn)的準(zhǔn)確率是p，則在10次化驗(yàn)中，最多一次不準(zhǔn)的概率是________．解析由題意知，血色素化驗(yàn)的準(zhǔn)確率為p，則不準(zhǔn)確的概率為1－p，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生的概率知，最多一次不準(zhǔn)確包括一次不準(zhǔn)確和全部準(zhǔn)確，所以所求概率為Ceq\o\al(10,10)·p10＋Ceq\o\al(1,10)·(1－p)·p9.答案10p9－9p1012．已知兩個(gè)變量x和y之間線性相關(guān)，5次試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：x100120140160180y4554627592那么變量y關(guān)于x的回歸直線方程是______________________________．解析由公式可求出b＝0.575，a＝－14.9，所以回歸直線方程為y＝0.575x－14.9.答案y＝0.575x－14.913．設(shè)X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P＝________.解析∵X～B(2，p)，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.∴P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)P0(1－p)2＝1－(1－p)2.∴1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，結(jié)合0≤p≤1，解之得p＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)14．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,12×a＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＝－\f(1,6),a＋c＝\f(2,3)，))，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).答案eq\f(5,12)eq\f(1,14)15．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k(k＝1,2，…，n)，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析依題意，P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)a，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2a…，P(ξ＝n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))na，由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋…＋P(ξ＝n)＝1，知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋…＋\f(1,3n)))＝1，a·eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝1，∴a＝eq\f(2×3n,3n－1).答案eq\f(2×3n,3n－1)三、解答題(本題共6小題，共75分)16．(12分)設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S，(1)設(shè)“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}，由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝9)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列為ξ0149Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)所以，Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(19,6).17．(12分)已知：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比(a＋b)2n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和小120.求第一個(gè)展開式的第三項(xiàng)．解(a＋b)2n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22n－1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n－1，依題意，有2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，解得2n＝16或2n＝－15(舍去)，∴n＝4，于是，第一個(gè)展開式中第三項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).18．(12分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270附：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．解(1)調(diào)查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為eq\f(70,500)＝14%.(2)k＝eq\f(500×40×270－30×1602,70×430×200×300)≈9.967，由于9.967>6.635，因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)中能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法更好．19．(12分)經(jīng)有關(guān)部門調(diào)查，得到部門國家13歲學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試平均分?jǐn)?shù)y(分)與授課天數(shù)x(天)的數(shù)據(jù)如下：中國韓國瑞士俄羅斯法國以色列加拿大英國美國約旦授課天數(shù)251222207210174215188192180191平均分?jǐn)?shù)80737170646362615546試作出該數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖來判斷兩者是否線性相關(guān)，若線性相關(guān)，則求出回歸直線方程．解畫出散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖可得，授課天數(shù)x與平均分?jǐn)?shù)y線性相關(guān)．由題表中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝203，eq\x\to(y)＝64.5，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝416824，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝132418.所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10x]y],eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)－10eq\x\to(x)2)＝eq\f(132418－10×203×64.5,416824－10×2032)≈0.3133，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈64.5－0.3133×203＝0.9001.所以所求的回歸直線方程是y＝0.3133x＋0.9001.20．(13分)一個(gè)袋中裝有大小相同的球，其中紅球5個(gè)，黑球3個(gè)．現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)球．(1)求至少摸到一個(gè)紅球的概率；(2)求摸到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列、均值和方差.解(1)至少摸到1個(gè)紅球的概率為1－eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝1－eq\f(1,56)＝eq\f(55,56).(2)由題意知，X服從參數(shù)N＝8，M＝3，n＝3的超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,8))(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).∴X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)∴EX＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(9,8)))2×eq\f(5,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,8)))2×eq\f(15,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(9,8)))2×eq\f(15,56)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(9,8)))2×eq\f(1,56)≈0.502.21．(14分)在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；(3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大?。?1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A，在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.25，P(eq\x\to(A))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\x\to(B))