2016-2017學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)綜合測(cè)試題13

第一章綜合測(cè)試(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150190()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]由冪函數(shù)的圖象知，x>0時(shí)，圖象在第一象限，不在第四象限，故原命題正確，其逆否命題也正確；逆命題：“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”是假命題，例如：函數(shù)y＝x＋1的圖象不過第四象限，但它不是冪函數(shù)，故其逆命題是假命題，從而其否命題也是假命題．2．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150191()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1[答案]A[解析]函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(m,2)，于是－eq\f(m,2)＝1?m＝－2.3．下列說法錯(cuò)誤的是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150192()A．命題“若x2－4x＋3＝0，則x＝3”的逆否命題是“若x≠3，則x2－4x＋3≠B．“x＝3”是“|x|>0”C．若“p且q”為假命題，則p，q均為假命題D．命題p：?x∈R，使x2＋x＋1<0，則?p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0[答案]C[解析]根據(jù)逆否命題的定義知選項(xiàng)A正確；x＝3?|x|>0，但|x|>0eq\o(?,/)x＝3，知選項(xiàng)B正確；“p且q”為假命題，則至少有一個(gè)為假命題，知選項(xiàng)C不正確；由命題p的否定知選項(xiàng)D正確．4．(2016·北京理，4)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)64150193)()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]D[解析]取a＝－b≠0，則|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|(zhì)a－b|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件．故選D.5．命題p：若a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．下列說法中正確的是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150194()A．“p或q”是真命題 B．“p或q”是假命題C．?p為假命題 D．?q為假命題[答案]B[解析]當(dāng)a·b>0時(shí)，a與b的夾角為銳角或零度角，∴命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命題，選B.6．(2015·重慶理，4)“x>1”是“eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)<0”的導(dǎo)學(xué)號(hào)64150195()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]由eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)＜0”的充分不必要條件，故選B.7．已知命題p：?x0∈R,2x0＝1，則?p是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150196()A．?x0∈R,2x0≠1 B．?x0?R,2x0≠1C．?x0∈R,2x0≠1 D．?x0?R,2x0≠1[答案]A[解析]重在考查特稱命題與全稱命題的轉(zhuǎn)化關(guān)系．關(guān)鍵是?與?的轉(zhuǎn)化．特稱命題p：?x0∈R,2x0＝1的否定形式即為全稱命題?p：?x0∈R,2x0≠1，故選A.8．下列命題中，真命題是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150197()A．存在x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)B．任意x∈(0，π)，sinx>cosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2≥x－eq\f(1,4)D．?x0∈[0，eq\f(π,2)]使得sinx0>x0[答案]C[解析]本題主要考查全稱命題與特稱命題真假的判斷．對(duì)于A選項(xiàng)：?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，故A為假命題；對(duì)于B選項(xiàng)：存在x＝eq\f(π,6)，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故B為假命題；C項(xiàng)，x2－x＋eq\f(1,4)＝(x－eq\f(1,2))2，對(duì)，x∈(0，＋∞)(x－eq\f(1,2))2≥0恒成立，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：在單位圓中，可知對(duì)任意x∈[0，eq\f(π,2)]都有sinx<x.故D為假命題．綜上可知，C為真命題．9．(2016·天津理，5)設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)64150198)()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]由題意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因?yàn)?＋q的符號(hào)不確定，所以無法判斷a2n－1＋a2n的符號(hào)；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<010．下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有導(dǎo)學(xué)號(hào)64150199()①若x＝1，則x－1＝0；②“若ab＝0，則b＝0”的逆否命題③“等邊三角形的三邊相等”的逆命題；④“全等三角形的面積相等”的逆否命題．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]C[解析]①是真命題；②逆否命題為“若b≠0，則ab≠0”，是假命題；③逆命題為“若一個(gè)三角形的三邊相等，則這個(gè)三角形為等邊三角形”，是真命題；④逆否命題為“若兩個(gè)三角形的面積不相等，則這兩個(gè)三角形不是全等三角形”，是真命題11．已知命題p：“對(duì)?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命題?p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150200(A．－2≤m≤2 B．m≥2C．m≤－2 D．m≤－2或m≥2[答案]C[解析]由題意可知命題p為真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－eq\f(4x＋1,2x)＝－(2x＋eq\f(1,2x))≤－2.12．下列說法不正確的是導(dǎo)學(xué)號(hào)64150201()A．“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1<0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≥0”B．命題“若x>0且y>0，則x＋y>0”C．“?a∈R，使方程2x2＋x＋a＝0的兩根x1，x2滿足x1<1<x2”和“函數(shù)f(x)＝log2(ax－1)在[1,2]上單調(diào)遞增”D．△ABC中，A是最大角，則sin2B＋sin2C<sin2A是△[答案]C[解析]因?yàn)?x2＋x＋a＝0的兩根x1，x2滿足x1<1<x2的充要條件是2＋1＋a<0，∴a<－3，當(dāng)a<－3時(shí)，函數(shù)f(x)＝log2(ax－1)在[1,2]上無意義．故選C.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13．寫出命題“若方程ax2－bx＋c＝0的兩根均大于0，則ac>0”的一個(gè)等價(jià)命題是____________________________________． 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150[答案]若ac≤0，則方程ax2－bx＋c＝0的兩根不全大于0.14．已知p：關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x－3|<m有解，q：f(x)＝(7－3m)x為減函數(shù)，則p成立是q成立的________條件． 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150[答案]必要不充分[解析]∵|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2，∴m>2，即p：m>2，q：2<m<eq\f(7,3).peq\o(?,/)q，但q?p.∴p成立是q成立的必要不充分條件．15．設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實(shí)根，則使p∨q為真，p∧q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．導(dǎo)學(xué)號(hào)64150[答案](－∞，－2]∪[－1,3)[解析]對(duì)于方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不等正根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m2－4>0，,－2m>0.))∴m<－1，方程x2＋2(m－2)x－3mΔ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)∴－2<m<3，若p真q假，則m≤－2；若p假q真，則－1≤m<3.16．下列命題正確的序號(hào)為________． 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150205①函數(shù)y＝ln(3－x)的定義域?yàn)?－∞，3]；②定義在[a，b]上的偶函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值為5；③若命題p：對(duì)?x∈R，都有x2－x＋2≥0，則命題?p：?x∈R，有x2－x＋2<0；④若a>0，b>0，a＋b＝4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為1.[答案]②③④[解析]命題①中，函數(shù)的定義域是(－∞，3)，故命題①不正確；命題②中，若已知函數(shù)是偶函數(shù)，則必有a＝－5，b＝5，即函數(shù)f(x)＝x2＋5，x∈[－5,5]，其最小值為5，命題②正確；全稱命題的否定是特稱命題，命題③正確；命題④中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)(a＋b)·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立)，命題④正確．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)判斷下列命題的真假：導(dǎo)學(xué)號(hào)64150206(1)“若自然數(shù)a能被6整除，則a能被2整除”的逆命題；(2)“若0<x<5，則|x－2|<3”的否命題及逆否命題(3)命題“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)·x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a∈(－2,2)”及其逆命題．[解析](1)逆命題：若自然數(shù)a能被2整除，則a能被6整除．逆命題為假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．(2)否命題：若x≤0或x≥5，則|x－2|≥3.否命題為假．反例：x＝－eq\f(1,2)≤0，但|－eq\f(1,2)－2|＝eq\f(5,2)<3.逆否命題：若|x－2|≥3，則x≤0或x≥5.逆否命題為真，|x－2|≥3?x≥5或x≤－1.(3)原命題為假．因?yàn)?a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，當(dāng)a＝2時(shí)，變?yōu)椋?<0，也滿足條件．逆命題：若a∈(－2，2)，則不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立．逆命題為真，因?yàn)楫?dāng)a∈(－2,2)時(shí)，Δ<0，且a－2<0.18．(本題滿分12分)已知a>0設(shè)命題p：函數(shù)y＝(eq\f(1,a))x為增函數(shù)．命題q：當(dāng)x∈[eq\f(1,2)，2]時(shí)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的范圍．導(dǎo)學(xué)號(hào)64150207[解析]當(dāng)y＝(eq\f(1,a))x為增函數(shù)，得0<a<1.當(dāng)x∈[eq\f(1,2)，2]時(shí)，因?yàn)閒(x)在[eq\f(1,2)，1]上為減函數(shù)，在[1,2]上為增函數(shù)．∴f(x)在x∈[eq\f(1,2)，2]上最小值為f(1)＝2.當(dāng)x∈[eq\f(1,2)，2]時(shí)，由函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立．得2>eq\f(1,a)解得a>eq\f(1,2).如果p真且q假，則0<a≤eq\f(1,2)；如果p假且q真，則a≥1.所以a的取值范圍為(0，eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)．19．(本小題滿分12分)已知命題p：關(guān)于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有兩個(gè)子集，命題q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150[解析]∵?p是?q的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件．對(duì)于命題p，依題意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20∴－2≤a≤10，令p：P＝{a|－2≤a≤10}，q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，由題意知PQ，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．20．用反證法證明：鈍角三角形最長(zhǎng)邊上的中線小于該邊長(zhǎng)的一半．導(dǎo)學(xué)號(hào)64150209[解析]依題意，寫出已知、求證，再用反證法，即否定結(jié)論，把假設(shè)和已知條件結(jié)合起來，推出矛盾．已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AD<eq\f(1,2)BC(如圖所示)．證明：假設(shè)AD≥eq\f(1,2)BC.(1)若AD＝eq\f(1,2)BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角為直角”知，∠A＝90°，與題設(shè)矛盾．所以AD≠eq\f(1,2)BC.(2)若AD>eq\f(1,2)BC，因?yàn)锽D＝DC＝eq\f(1,2)BC，所以在△ABD中，AD>BD，從而∠B>∠BAD；同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C>∠BAC，因?yàn)椤螧＋∠C＝180°－∠BAC，所以180°－∠BAC>∠BAC，則∠BAC<90°，與題設(shè)矛盾．由(1)，(2)知AD<eq\f(1,2)BC.21．(本小題滿分12分)設(shè)有兩個(gè)命題： 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150210(1)關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4>0對(duì)一切x∈R恒成立；(2)函數(shù)f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)若命題(1)、(2)中有且僅有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？[解析]記命題p：A＝{a|x2＋2ax＋4>0對(duì)一切x∈R恒成立}，命題q：B＝{a|f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)則A＝{a|－2<a<2}，B＝{a|a<eq\f(3,2)}，∵p與q中僅有一個(gè)為真命題，∴命題p真且命題q假或命題p假且命題q真，∴原題轉(zhuǎn)化為求(A∩?RB)∪(?RA∩B)，∵?RA＝{a|a≥2或a≤－2}，?RB＝{a|a≥eq\f(3,2)}，∴A∩?RB＝{a|eq\f(3,2)≤a<2}，?RA∩B＝{a|a≤－2}，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－2或eq\f(3,2)≤a<2}．22．(本小題滿分14分)已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax－bx2. 導(dǎo)學(xué)號(hào)64150211(1)當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1，證明a≤2eq\r(b)；(2)當(dāng)b>1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r(b).[證明](1)∵f(x)＝－b(x－eq\f(a,2b))2＋eq\f(a2,4b)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1，∴f(eq\f(a,2b))＝eq\f(a2,4b)≤1.又∵a>0，b>0，∴a2≤4b，即a≤2eq\r(b).(2)必要性：對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，即－1≤f(x)≤1，∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.∵