高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座5解析幾何在高考中的常見題型與求解策略知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE專題講座五解析幾何在高考中的常見題型與求解策略1．(2016·長春質(zhì)量檢測)若F(c，0)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，過F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的面積為eq\f(12a2,7)，則該雙曲線的離心率e＝()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(8,5)解析：選C.設(shè)過第一、三象限的漸近線的傾斜角為θ，則tanθ＝eq\f(b,a)，tan2θ＝eq\f(2ab,a2－b2)，因此△OAB的面積可以表示為eq\f(1,2)·a·atan2θ＝eq\f(a3b,a2－b2)＝eq\f(12a2,7)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，則e＝eq\f(5,4).故選C.2．(2016·山西省考前質(zhì)量檢測)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)E在C的準(zhǔn)線上，且在x軸上方，線段EF的垂直平分線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，與C交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，2) B．(2，2eq\r(2))C．(3，2eq\r(3)) D．(4，4)解析：選D.由題意，得拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，F(xiàn)(1，0)．設(shè)E(－1，y)，因?yàn)镻Q為EF的垂直平分線，所以|EQ|＝|FQ|，即y－eq\f(3,2)＝eq\r(（－1－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))，解得y＝4，所以kEF＝eq\f(4－0,－1－1)＝－2，kPQ＝eq\f(1,2)，所以直線PQ的方程為y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋4＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，4)，故選D.3．已知F1、F2分別為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的中心O任作一直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2的面積最大時，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值為________．解析：易知當(dāng)P，Q分別是橢圓的短軸端點(diǎn)時，四邊形PF1QF2的面積最大．由于F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，不妨設(shè)P(0，1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－2.答案：－24．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為eq\f(2π,3)，離心率為e，則eq\f(a2＋e2,2b)的最小值為________．解析：由題意，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，所以c＝2a，e＝2，eq\f(a2＋e2,2b)＝eq\f(a2＋4,2\r(3)a)＝eq\f(a,2\r(3))＋eq\f(2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(3),3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時取等號)，則eq\f(a2＋e2,2b)的最小值為eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)5.(2016·山西省四校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋eq\r(2)＝0相切．A、B是橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時，求k的值．解：(1)由題意知：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以a2＝4b2.又圓x2＋y2＝b2與直線x－y＋eq\r(2)＝0相切，所以b＝1，所以a2＝4，故所求橢圓C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，將y＝kx代入橢圓的方程x2＋eq\f(y2,4)＝1整理得：(k2＋4)x2＝4，故x2＝－x1＝eq\f(2,\r(k2＋4))，①因?yàn)锳(1，0)，B(0，2)，故由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為：2x＋y－2＝0，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為h1，h2，則h1＝eq\f(|2x1＋kx1－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k＋\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，h2＝eq\f(|2x2＋kx2－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k－\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，|AB|＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，所以四邊形AEBF的面積為S＝eq\f(1,2)|AB|(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4（2＋k）,\r(5（k2＋4）))＝eq\f(2（2＋k）,\r(k2＋4))＝2eq\r(\f(4＋k2＋4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4,k＋\f(4,k)))≤2eq\r(2)，當(dāng)k2＝4(k>0)，即k＝2時，上式取等號．所以當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時，k＝2.6.(2016·河南省八校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(2，3)，Q(2，－3)在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)．(1)若直線AB的斜率為eq\f(1,2)，求四邊形APBQ的面積的最大值；(2)當(dāng)A、B運(yùn)動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝eq\f(1,2)x＋t，把其代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＝t2－4(t2－12)>0，解得－4<t<4，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12.四邊形APBQ的面積S＝eq\f(1,2)×6×|x1－x2|＝3eq\r(48－3t2)，所以當(dāng)t＝0時，Smax＝12eq\r(3).(2)當(dāng)∠APQ＝∠BPQ，則直線PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，直線PA的方程為y－3＝k(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3＝k（x－2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，則x1＋2＝eq\f(8（2k－3）k,3＋4k2)，同理直線PB的方程為y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝eq\f(－8k（－2k－3）,3＋4k2)＝eq\f(8k（2k＋3）,3＋4k2)，所以x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2)，kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k（x1－2）＋3＋k（x2－2）－3,x1－x2)＝eq\f(k（x1＋x2）－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，所以直線AB的斜率為定值eq\f(1,2).1．(2016·洛陽統(tǒng)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)，判斷△AOB的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．解：(1)由題意得c＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，從而b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.因?yàn)閤1＋x2＝－eq\f(8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2).由kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(3,4)得y1y2＝－eq\f(3,4)x1x2，即eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2)＝－eq\f(3,4)·eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，化簡得2m2－4k2＝3，滿足由弦長公式得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(48（4k2－m2＋3）,（3＋4k2）2))＝eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2)).又點(diǎn)O到直線l：y＝kx＋m的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·d·|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2))·eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×2m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×（3＋4k2）,3＋4k2))＝eq\r(3).故△AOB的面積為定值eq\r(3).2．(2016·太原模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)F1、F2，其離心率e＝eq\f(1,2)，點(diǎn)P為橢圓上的一個動點(diǎn)，△PF1F2面積的最大值為4eq\r(3).(1)求橢圓的方程；(2)若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|的取值范圍．解：(1)由題意得，當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的上、下頂點(diǎn)時，△PF1F2面積取最大值此時S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4eq\r(3)，因?yàn)閑＝eq\f(1,2)，所以b＝2eq\r(3)，a＝4，所以橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)得橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，則F1的坐標(biāo)為(－2，0)，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以AC⊥BD，①當(dāng)直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時，易得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝6＋8＝14，②當(dāng)直線AC的斜率k存在且k≠0時，則其方程為y＝k(x＋2)，設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－16k2,3＋4k2),x1x2＝\f(16k2－48,3＋4k2)))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(24（k2＋1）,3＋4k2)，此時直線BD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x＋2)，同理，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,4k2＋3)＋eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(168（k2＋1）2,（3k2＋4）（4k2＋3）)，令t＝k2＋1(k≠0)，則t>1，所以|eq\o