高考數學解題技巧 教師版

更多逆襲資料，關注公眾號：高中領域目錄第一講函數相關技巧一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1分式函數求值域技巧2口算奇偶性求參數技巧3形如f(x)=奇函數+常數第二講平面向量一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1奔馳定理技巧2三角形的四心技巧3極化恒等式解三角形一、技巧知識點二、技巧訓練技巧一三角形的射影定理技巧2三角形的中線定理技巧3角平分線的定理數列一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1等比數列前n項和規(guī)律技巧2單一條件口算結果技巧3公式法口算通項技巧4錯位相減法口算結果技巧5斐波那數列第五講焦點三角形一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1焦點三角形的周長技巧2焦點三角形的面積技巧3焦點三角形的離心率第六講離心率一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1焦點三角形中的離心率技巧2點差法中的離心率技巧3漸近線與離心率技巧4焦點弦與離心率第七講點差法一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1點差法在橢圓在的應用技巧2點差法在雙曲線在的應用技巧3點差法在拋物線在的應用更多逆襲資料，關注公眾號：高中領域外接球與內切球一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1外接球之墻角模型技巧2外接球之漢堡模型技巧3外接球之斗笠模型技巧4外接球之折疊模型技巧5外接球之切瓜模型技巧6外接球之麻花模型技巧7外接球之矩形模型技巧8內切球半徑第九講法向量秒求一、技巧知識點二、技巧訓練第十講導數一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1常見的函數構造技巧2秒殺解導函數不等式第十講不等式一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1配湊法技巧2分類常數法技巧3對勾函數第十一講小專題技巧大集合一、技巧知識點二、技巧訓練技巧1集合點元素技巧2特征與全稱量詞技巧3穿根引線解不等式技巧4復數的幾何意義幾何化函數相關技巧一、技巧知識點分式函數求值域分子分母為同類型函數（一）注意事項求值域前先求定義域，如果給出區(qū)間則不用求定義域幾個極限值（二）模式二.奇偶性常見函數的奇偶性（前提定義域關于原點對稱）

有對稱軸函數解不等式或比較大小比較的是兩個自變量與對稱軸距離的遠近當函數的對稱軸為x=a，則f(x1)>f(x2)當函數的先增后減時，當函數的先減后增時，奇偶性的運算同性相加減的同性，異性相加減為非奇非偶同性乘除為偶函數，異性乘除為奇函數函數模型為f(x)=g(x)+k，其中g(x)為奇函數，所給區(qū)間要關于原點對稱f(x)+f(-x)=2k推導：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推導:f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函數的最大值與最小值成相反數）如何找kf(0)=k推導:f(0)=g(0)+k=k二、技巧訓練技巧1分式函數求值域【例1】（1）（2020山西省太原市實驗中學）已知函數的取值范圍（2）（2020湖南省長沙市第一中學）函數的值域為。【解析】，則其值域【，】（2）【常規(guī)法】分離常數由已知:,.【技巧法】t=x2,t≥0，則函數y=f(x)=t?1t+1,f(0)=-1,f(∞)=1(取不到，開區(qū)間），

變式1．（2019上海市普陀區(qū)曹楊第二中學函數），的值域是______【技巧法】f(0)=32,f(2)=74【常規(guī)法】,因為,故，故變式2．（2020廣東省東莞市北師大東莞石竹附屬學校）函數的值域是【技巧法】t=x2,t≥0，則y=f(x)=?t+2t+2,f(0)=1,f(∞)=-1(取不到，開區(qū)間），即∈，【常規(guī)法】，，則，，即函數的值域是，變式3.（2020陜西省西安市高新一中）函數的值域為_____【技巧法】的定義域為，則y≠f(?1)=4【常規(guī)法】由題.因為的值域為,故的值域為,故的值域為，技巧2口算奇偶性求參數【例2】（1）若函數是偶函數，則實數（）A． B．0 C．1 D．（2）已知是奇函數，且實數滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】（1）【技巧法】因為函數為偶函數，正弦為奇函數，所以對數為奇函數，根據常見函數可知【常規(guī)法】因為是偶函數，是奇函數，所以是奇函數，所以，所以，所以，所以，所以，選C.（2）因為是定義域為的奇函數，所以，可得，此時，易知在上為減函數.又因為，所以，所以.選D.變式1．（2020·沙坪壩·重慶南開中學高三月考（理））已知函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【技巧法】根據常見奇偶性函數可知f(x)為偶函數，根據對勾函數已知二次函數可知x>0函數為單調遞增，則x<0函數為單調遞減，，即，解得，選D.【常規(guī)法】設，由，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，由二次函數的性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以為偶函數.由可知，，即，解得，選D.

變式2．（2020·河北桃城·衡水中學高三其他（文））若函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【技巧法】根據常見函數可知f(x)為奇函數求為單調遞增則可化為所以原不等式等價于不等式.①當時，可化為，所以；②當時，可化為，所以.綜上，原不等式的解集為.【常規(guī)法】因為函數的定義域為，且滿足，所以為上的奇函數，則可化為，因為恒成立，所以為上的增函數.所以原不等式等價于不等式.①當時，可化為，所以；②當時，可化為，所以.綜上，原不等式的解集為.選A.變式3．（2020·河南羅山·高三月考（理））已知函數f(x)的圖象關于y軸對稱，且f(x)在(－∞，0]上單調遞減，則滿足的實數x的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】由題意是偶函數，且在上單調遞增，∴不等式可變?yōu)椋啵獾茫xB．技巧3形如f(x)=奇函數+常數【例3】（1）（2020·河南平頂山·高三月考（文））已知函數，若，則（） B． C．1 D．2（2）（2019秋?市中區(qū)校級月考）已知，，，若的最大值為，的最小值為，則等于A．0 B．2 C． D．（3）（2020·五華·云南師大附中高三月考（文））已知函數，則（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】（1）因為是奇函數，∴.選C（2）函數為奇函數，，即，即．選（3）所以.選C變式1．（2019秋?椒江區(qū)校級期中）已知函數的最大值為，最小值為，則的值等于A．2 B．4 C． D．【解析】設，則是奇函數的最大值和最小值互為相反數，且的最大值為，最小值為，選

變式2．（2021·寧夏銀川二十四中高三月考）若，且，則（）A． B． C． D．【解析】設，則，所以，則，所以.選B.變式3．已知函數f（x）=In（x+）+1，若實數a滿足f（-a）=2，則f（a）等于（）A．1 B．0 C． D．【解析】∵函數f（x）=In（x+）+1，實數a滿足f（-a）=2，∴，∴，∴=-1+1=0．選B．變式4．已知函數，則（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】，令，則，所以為奇函數，所以關于坐標原點對稱，則關于成中心對稱，則，，選C變式5．已知函數，則（）A．2 B．0 C． D．【解析】設則所以，即為奇函數，所以所以．選D鞏固1．（2019江蘇省鹽城市）函數的值域為______．【技巧法】t=x2,t≥0則f(t)=3t+2018t+1,f(0)=2018,f(∞鞏固2．函數的值域是______．【技巧法】【常規(guī)法】由題知因為,所以，所以,則，因此鞏固3．（2020黑龍江省哈爾濱師范大學附中）函數的值域為________.【技巧法】令，則故【常規(guī)法】令，則，故由于，∴，∴，即函數的值域為鞏固4．（2020·江西省信豐中學高三月考（文））已知函數，且，則函數的值是A． B． C． D．【技巧法】，令，得，解得，【常規(guī)法】，令，其中，所以函數為奇函數，即，可得，令，得，解得鞏固5．（2020·山西大同·高三月考（文））設函數的最大值為5，則的最小值為【技巧法】f(x)max+f(X)min=6,則f(x)的最小值為1【常規(guī)法】由題可知，，設，其定義域為，又，即，由于，即，所以是奇函數，而，由題可知，函數的最大值為5，則函數的最大值為：5-3=2，由于是奇函數，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1..鞏固6（2020·廣東霞山·湛江二十一中高三月考）已知函數的最大值為M，最小值為m，則【技巧法】f(x)max+f(X)min=4【常規(guī)法】設，因為，所以為奇函數，則的最大值為，最小值為，由奇函數對稱性知，兩者相加為0，即，∴.鞏固7．（2019·杏花嶺·山西實驗中學高三月考）已知函數，其中為函數的導數，則【解析】令，則有因為的定義域是R，所以是奇函數，所以是偶函數所以，所以選A鞏固8．（2019·山東任城·濟寧一中高三月考）設函數，若，.【解析】因為，所以因此函數為奇函數，又，所以鞏固9．（2019·湖南婁底·高三期末（文））已知函數，其導函數為，則的值為.【解析】函數，，，.鞏固10．（2019秋?渝中區(qū)校級月考）已知，則在區(qū)間，上的最大值最小值之和為.【技巧法】f(0)=1,則最大值和最小值的和為2【常規(guī)法】由令，可得是奇函數，可得區(qū)間，上的最大值最小值之和為0．那么在區(qū)間，上的最大值為，最小值為；在區(qū)間，上的最大值最小值之和為2．．鞏固11（2020秋?廣東月考）已知函數在，上的最大值為，最小值為，則）【技巧法】所給區(qū)間不管原點對稱需要換元，令t=x-1,則t∈f(t)=(t2-1)sint+t+1t,f(0)=1,則f(x)的最大和最小值為2k【常規(guī)法】由令，，上，可得，；那么轉化為由于是奇函數可得，，的最大值與最小值之和為0，那么的最大值與最小值之和為2．．鞏固12．（2019秋?寧波期中）已知函數的最大值為，最小值為，則【解析】，令，則，即為奇函數，圖象關于原點對稱，，，，且，，則．鞏固13．（2020·陜西西安·高三月考（理））已知：，：函數為奇函數，則是成立的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【技巧法】根據常見函數可知【常規(guī)法】當時，，即有，故有即為奇函數：當為奇函數時，有，即，有：∴綜上，知：，選C

鞏固14．設函數，則使得成立的的取值范圍是【解析】，所以，為上的偶函數又，當時，，故在上為增函數因，由得到故，或鞏固15．已知函數是奇函數，則的值等于【技巧法】可知當時，函數的解析式為：，當時，函數的解析式為：，綜上可得：的值等于或3【常規(guī)法】函數為奇函數，則：，即：恒成立整理可得：，即恒成立，當時，函數的解析式為：，當時，函數的解析式為：，綜上可得：的值等于或3

鞏固16．若函數為奇函數,則=【解析】由函數f（x）為奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=鞏固17.若函數是奇函數，則【解析】技巧法:由常見函數可知a=0【常規(guī)法】由得，∴，∴鞏固18.已知函數為偶函數，則【技巧法】由常見函數可知所以【常規(guī)法】由題意，函數為偶函數，又由函數為奇函數所以函數為奇函數，則，得所以，得，所以

第二講平面向量一、技巧知識點一：奔馳定理1：奔馳定理內容三角形的面積比等于其所對應的系數比已知是內的一點，的面積分別為，，，求證：2.推導過程證明方法一：如圖延長與邊相交于點則推論是內的一點，且，則二.極化恒等式2.推導過程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點，①是的重心②中線長度分成2：1③=內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等是的內心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．二、技巧訓練技巧1奔馳定理【例1】是內一點，滿足，則（）A． B． C． D．【技巧法】公共點P，三角形ABC，則【常規(guī)法】是內一點，且滿足，延長到，使得，延長到，使得連結、、，則是的重心，設，則，，．選技巧法注意事項技巧法注意事項條件一般是3個同起點的向量相加減且等于零向量，若系數有正有負則公共點在三角形外，系數都為正則公共點在三角形內三角形所對應的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點法：公共點即起點，剩余3點構成三角形的三個頂點，對應的向量兩個點其中一個點為公共點，另外一點則是三角形的頂點。變式1.已知所在平面內一點，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．【技巧法】,所以,即公共點為P，三角形ABC，則所對應的向量，其系數為2，為整個三角形，其所對應的系數為三個向量的系數,6，所以面積比為【常規(guī)法】如圖所示,,所以,即,所以,設和的中點分別為,則由可得,即,即點是的中位線上靠近點的三等分點,所以,選:C變式2.（廣東省深圳外國語學校2020）點是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．【技巧法】公共點為A，三角形為PCB，則與對應的向量為，則與的面積之比為【常規(guī)法】點是所在平面上一點，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，選D．變式3.已知點O是內一點，滿足，，則實數m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【技巧法】，【常規(guī)法】由得：設，則，三點共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項：

技巧2三角形的四心【例1】點O是△ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的__________心．【解析】，即同理可得：，點為的垂心本題正確結果：垂【例2】在中，設，則動點M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心【解析】設為中點，則，為的垂直平分線軌跡必過的外心本題正確選項：變式1.（河北省保定市）過內一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心【解析】本題采用特殊位置法較為簡單.因為過內一點任作一條直線，可將此直線特殊為過點A，則，有.如圖：則有直線AM經過BC的中點，同理可得直線BM經過AC的中點，直線CM經過AB的中點，所以點是的重心，選B.變式2．（遼寧朝陽柳城高中）設點P是△ABC所在平面內一點，，則點P是△ABCA．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】由于點P是△ABC所在平面內一點，同理可知,則說明點P是三角形ACB的垂心，選D.變式3．設點O是三角形ABC所在平面上一點，若，則點O是三角形ABC的______心．【解析】由可得點到三角形各頂點的距離相等，所以點是三角形的外心故答案為外心.變式4．設是平面內一定點，為平面內一動點，若，則為的（）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】若可得，即為即有，則，故O為的外心，選B.

技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點高中聯盟領軍）在中，，點在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【解析】（1）在中，設的中點為，則.由題意知：.則選A.（2）如圖，設的中點為.因為.因為，所以.又因為，所以，，所以.選A.

變式1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點為邊上的動點，則的最小值為A． B． C． D．3【解析】如圖所示，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點做軸，過點做軸，，，，，，，，，，，，，，，設，，，，，，當時，取得最小值為，選．變式2.已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是【解析】則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]所以當x=0，y=時，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6變式3．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是【解析】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則當，即時等號成立

鞏固1．（2020上海市控江中學）點在△內部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________【技巧法】由奔馳定理可得【常規(guī)法】作，則，以為鄰邊作平行四邊形，連接，交于，如圖所示：，根據與相似得：，，，，的面積與、面積之和的比為鞏固2．已知點P在△ABC所在的平面內，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴鞏固3．（2020屆山西省太原市第五中學校）設點在的外部，且，則?！炯记煞ā坑斜捡Y定理可得3:1【常規(guī)法】連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，如圖所示.所以可得，，.因為，所以，即為的重心，所以可得，因為，所以而所以，同理，，所以，所以.鞏固4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內一點，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為?！窘馕觥吭OAC、BC邊的中點為E、F，則由，得∴點O在中位線EF上，∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點O為EF上靠近E的三等分點，∴λ＝鞏固5．設點是的重心，且滿足，則【解析】因為點是的重心，所以,因為,由正弦定理可得,所以,即,故,則,則由余弦定理可得.

鞏固6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.【解析】由，得為△的重心，又為外接圓圓心，所以可得△為等邊三角形，故.鞏固7．已知是銳角的外心，．若，則實數______．【解析】設外接圓的半徑為，∵，∴∵，，∴即，即故，故，故鞏固8．（2020湖北省重點高中聯考協作）已知是平面上一定點，滿足，，，則的軌跡一定通過的（外心 、垂心、重心、內心）【技巧法】由四心可知為垂心【常規(guī)法】，，即，，，，∴與垂直，即，點P在BC的高線上，即P的軌跡過的垂心.選B鞏固9．已知O，N，P在所在平面內，且，，且，則點O，N，P依次是的（填三角形的四心）【解析】由題：，所以O是外接圓的圓心，取中點，，，即所在直線經過中點，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.鞏固10．（2020河南省八市重點高中聯盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點是圓上一動點，則的最大值等于?！窘馕觥?，當為圓直徑時取等號，鞏固11．（2020屆江蘇省無錫市）正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.【解析】由題可得：，

鞏固12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長為4，是的中點，動點在正方形的內部或其邊界移動，并且滿足，則的最小值是______．【解析】如圖所示，由，則動點在以為直徑的半圓上，取的中點所以又動點在以為直徑的半圓上，設圓心為，半徑為1.所以的最小值為，所以．鞏固13．如圖所示，在中，，則的最小值是__________【解析】.設,易得，故,因為,.故當且僅當反向時取得最小值,為

鞏固14．（2020屆浙江省湖州市）正方形的邊長為2，，分別為，的中點，點是以為圓心，為半徑的圓上的動點，點在正方形的邊上運動，則PM?PN的最小值是______.【解析】易得,,當且僅當同向時取等號.即考慮的最小值即可.當與重合時,.當與不重合時，設夾角為,由圖易得當在上時取最小值為,當在時,取最大值為,故,利用向量模長不等式有,且兩次“”不能同時取“=”.故此時.綜上所述,的最小值是

解三角形一、技巧知識點射影內容中線定理1.中線定理推導由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB?AC=|AB|22.三角形面積由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB?AC=|AB|2≥2bc+2bccosA=2bc（1+cosAbc≤2|AD|2S?ABCmax=12bcsin3.三角形的周長角平分線定理角平分線上的點到兩邊的距離相等三角形一個角的角平分線,這個角平分線其對邊所成兩條線段與這個角兩鄰邊成比例即二、技巧訓練技巧一三角形的射影定理【例1】（2017?新課標Ⅱ）的內角，，的對邊分別為，，，若，則．【技巧法】由射影定理可得，，，故答案為：【常規(guī)法】，由正弦定理可得，，，，，變式1.（2020?青島模擬）在中，內角，，所對的邊分別是，，，若，且，則B=【技巧法】由射影定理可得，因為，則．【常規(guī)法】因為，由正弦定理可得，，因為，所以，所以，因為，則．變式2（2020?安徽模擬）在中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為?！炯记煞ā坑缮溆岸ɡ砜傻?，，得．，解得．則的面積．【常規(guī)法】，，，即，，解得，，解得．，解得，則的面積．變式3（2020?南充模擬）的內角，，的對邊分別為，，，若，則內角C=?！炯记煞ā坑缮溆岸ɡ砜傻霉?，又，所以．【常規(guī)法】由正弦定理得：，即，即，由于，故，又，所以技巧2三角形的中線定理【例2】（2020·梅河口市第五中學高三（理））在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．【技巧法】【常規(guī)法】在△ABC中，，BC邊上的中線AD=3，，設AB＝c，AC＝b平方可得9＝化簡可得，，∴bc≤36，當且僅當時成立故△ABC的面積S＝變式1．（2020·廣東高三月考（理））在中，，已知BC邊上的中線，則面積的最大值為______【技巧法】【常規(guī)法】中，，邊上的中線長為3，設，平方可得：化簡可得，可得：，故的面積

變式2．（2020·全國）在銳角三角形中，角、、的對邊分別為、、，向量，，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.【解析】（1）因為，，，所以，由正弦定理得.因為，所以，所以，因為，所以；（2）因為的面積為，所以，因為，，所以.在中，為的中點，，由余弦定理得.所以.技巧3角平分線的定理【例3】（2020·梅河口市第五中學）已知中，．是的角平分線，交于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的長．【解析】（Ⅰ）在中，，在中，因為是的角平分線，所以（Ⅱ）法一：由題知，所以，所以法二：所以變式1．（2019·江蘇）在中，，，角A的角平分線，則______.【解析】由題意，，，角的角平分線，在中，由正弦定理：，可得，則，所以，那么，則，所以．在中，由正弦定理：，所以.可得

變式2．（2020·梅河口市第五中學高一期末（文））已知中，是的角平分線，交于.（1）求的值；（2）若，求.【解析】（1）在中，在中，，因為是的角平分線，所以（2）設，則，所以，所以，所以變式3．在中，，，為的內角平分線，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因為（Ⅱ）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得，又鞏固1.（2020春?上饒月考）在中，角，，的對邊分別是，，，且面積為，若，，則角等于【技巧法】由射影定理可得所以，故，，，，故，則角．【常規(guī)法】因為，由正弦定理可得，，即，因為，所以，故，，，，故，則角．鞏固2.（2020春?路南區(qū)校級月考）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且．若，的面積為，則b+c=【技巧法】由射影定理可得所以即，所以，，所以，因為，由余弦定理可得，，故．【常規(guī)法】因為．由正弦定理可得，．因為，所以即，所以，，所以，因為，由余弦定理可得，，故．鞏固3．（2019·福建高三（理））已知為等腰三角形，，邊上的中線的長為7，則的面積為__________．【分析】先設等腰三角形的腰長為，進而可得底邊的長，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結果.【解析】設等腰三角形的腰長為，因為，所以，由余弦定理可得：，，因為與互補，所以，即，解得，所以，所以鞏固4．已知三角形兩邊長分別為和，第三邊上的中線長為，則三角形的外接圓半徑為________.【分析】設AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點，BC=2x，則BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通過cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，則A=90°，外接圓的直徑2R=BC，從而可求結果．【解析】設AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點，BC=2x，則BD=DC=x△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=因為cos∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°∴外接圓的直徑2R=BC=2，從而可得R=1

鞏固5．（2020·浙江省杭州第二中學高三）中，，，，則邊上的中線長_______.【解析】設，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.故答案為：.鞏固6．在中，，．邊上的中線，則_____．【技巧法】【常規(guī)法】設，中，，中，，,，解得：，，中，,，鞏固7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC邊上的中線，則________．【解析】如圖所示，由中線長定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯立成方程組，解得：，故由，可得．鞏固8．（2019·浙江）若銳角的面積為，則邊上的中線為_________．【技巧法】銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．根據中線定理可得

【常規(guī)法】銳角的面積為，，，則，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：鞏固9．（2019·遼寧高三（理））已知△，，，是邊上的中線，且，則的長為__________．【解析】取AB中點E，因為D為BC中點，所以,由余弦定理得，即鞏固10．在中，角的平分線長，角，，則__________．【解析】設角B的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，鞏固11．中，，，的角平分線，則________.【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因為，所以．所以所以＝，所以鞏固12．（2020·全國）在中，，的角平分線交于點，若，，則______.【解析】在△ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在△ABD中，由正弦定理得.故答案為：.鞏固13．（2020·安徽高三月考（理））在中，已知，，，角的平分線交邊于，則______.【解析】作出圖形，如下圖，分別過點和點作的垂線，垂足為，因為為角的平分線，，所以，則，，則，又，所以，即

數列一、技巧知識點等比數列前n項和規(guī)律二．單一條件口算結果實質考查等比或等差中項1.無論是等差還是等比數列，如果只知道一個條件是取法確定具體的數列，那么可以處理為非0的常數數列，因為非0的常數數列即是等差也是等比數列。（常數數列：每一項都是相同的）三．公式法口算通項an=Sn-Sn-1(n≥2)四．口算錯位相減法的結果五．斐波那數列黃金分割數列數列特點：0112358132134...三個數據為一組，第一數據為偶數，第二、三個數據為奇數二、技巧訓練技巧1等比數列前n項和規(guī)律【例1】（2020·福建省廈門第六中學）已知等比數列的前項和（為常數），則（）A． B． C．1 D．2【技巧法】【常規(guī)法】∵等比數列的前項和（為常數），∴，，成等比數列，∴，解得或∵時，是常數，不成立，故舍去.選C變式1．（2020·安徽含山（理））已知等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+2+3t，則t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【技巧法】Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3【常規(guī)法】因為等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，則有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，選C.變式2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比數列的前項和為，則的值為()A． B． C． D．【技巧法】【常規(guī)法】，，，選C.技巧2單一條件口算結果【例1】（1）（2020·寧夏高三其他（文））為等差數列的前項和，若，則（）.A．-1 B．0 C．1 D．2（2）（2020·山西省長治市第二中學校高三月考（理））已知各項為正數的等比數列滿足﹐則的值為（）A． B． C． D．【解析】（1）技巧法：【常規(guī)法】因為，所以，選B.技巧法：由等比中項的性質可得，【常規(guī)法】已知各項為正數的等比數列滿足，由等比中項的性質可得，，由對數的運算性質可得，選D.【例2】（2020·河南）已知等差數列，的前項和分別為和，且，則（）A． B． C． D．【技巧法】【常規(guī)法】因為等差數列，的前項和分別為和，且，所以可設，，所以，，所以選A變式1．設是等差數列的前項和,若,則A． B． C． D．【解析】，，選A.變式2．（2020·廣東云浮·）在正項等比數列中，若，則（）．A．5 B．6 C．10 D．11【技巧法】【常規(guī)法】因為，且為等比數列，所以，所以.選D.變式3．（2020·浙江寧波）已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，，則的值是（）A． B． C． D．【解析】由等差中項的性質可得，，由等比中項性質得，，.選C.變式4．已知數列，為等差數列，其前項和分別為，，，則（）A． B． C． D．2【技巧法】【常規(guī)法】根據等差數列的性質可得，設，，則，，所以，選D.技巧3公式法口算通項【例3】（2020·南京市秦淮中學高三其他）已知數列的前項和，則數列的通項公式為______．【技巧法】【常規(guī)法】當時，，當時，，又適合上式，所以變式1．（2020·湖南湘潭·高考模擬（文））已知數列的前項和公式為，則數列的通項公式為___．【技巧法】【常規(guī)法】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.變式2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知為數列的前項和，若，則數列的通項公式為___________.【解析】【常規(guī)法】為數列的前項和，①時，②①②，得：，數列的通項公式為.

技巧4錯位相減法口算結果【例4】（2020·江西東湖·南昌二中高三其他（文））已知數列的前項和為，點，在函數的圖象上，數列滿足，（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【解析】（2）數列滿足，整理得，即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．【常規(guī)法】（1）數列的前項和為，點，在函數的圖象上，所以，①當時，，當時，，②，①②得（首項符合通項）．故．（2）數列滿足，整理得，即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．變式1．（2020·河南高三其他（文））已知數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）如果數列，求數列的前項和．【解析】（1）數列的前項和為，且①．所以：②②①得：．（用技巧法口算結果，減少計算量）（2）數列，所以，所以①，②①②得：，整理得：．（用技巧法口算結果，減少計算量）變式2．（2019·甘肅天水·高考模擬（文））在正項等比數列{}中，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若數列{}滿足，求數列{}的前項和．【解析】（1）設正項等比數列{an}的公比為(，∵∴，所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.（用技巧法口算結果，減少計算量）.技巧5斐波那數列【例5】（2020·吉林前郭爾羅斯縣第五中學）“斐波那契”數列是由十三世紀意大利數學家斐波那契發(fā)現的．數列中的一系列數字常被人們稱為神奇數．具體數列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從該數列的第三項開始，每個數字都等于前兩個相鄰數字之和．已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．【解析】【常規(guī)法】因為數列為“斐波那契”數列，所以，，所以，，，，，將以上2017個等式相加可得，，即，所以，所以所以.選C.變式1．（2020·河北高三月考）數列、、、、、、、、、稱為斐波那契數列，是意大利著名數學家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數列的特點是：從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和.在該數列的前項中，偶數的個數為（）A． B． C． D．【解析】由斐波那契數列的特點，可得此數列只有第項為偶數，由于，所以前項中偶數的個數為．選B.變式2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”.如圖，矩形是以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分.在矩形內任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【解析】由圖可知各正方形的邊長為：1，1，2，3，5，8，矩形的面積為：陰影部分面積為：所求概率為：，選B

鞏固1．（2020·湖北黃州·黃岡中學高三其他（理））已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A． B． C． D．【解析】由等差數列的性質可得，.選B.鞏固2．（2020·甘肅高三其他（文））已知等比數列的前項和為，則a=（）A．0 B． C． D．1【解析】因為，所以，，，，求得.選C．鞏固3．（2020·遼源市田家炳高級中學校高二期末（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據斐波那契數列1，1，2，3，5，畫出來的螺旋曲線.如圖，白色小圓內切于邊長為1的正方形，黑色曲線就是斐波那契螺旋線，它是依次在以1，2，3，5為邊長的正方形中畫一個圓心角為的扇形，將其圓弧連接起來得到的.若在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【解析】因為矩形的邊長為和5，故矩形面積；又陰影部分的面積為；故在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.選D.

鞏固4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契數列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數列，因為數學家列昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數列”，在數學上裴波那契數列被以下遞推方法定義：數列滿足：，，現從該數列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是（）A． B． C． D．【解析】裴波那契數列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，觀察發(fā)現前12項中，第4項，第8項，第12項都能被3整除.以此類推前40項中，第4項，第8項，第12項，第16項，第20項，第24項，第28項，第32項，第36項，第40項，共10項，能被3整除.所以能被3整除的概率為.選A鞏固5．（2020·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三（文））意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現象，那么兔子對數依次為：，，，，，，，，，，，……，這就是著名的斐波那契數列，它的遞推公式是，其中，.若從該數列的前項中隨機地抽取一個數，則這個數是偶數的概率為（）A． B． C． D．【解析】數列第1個，第2個為奇數，故第3個為偶數，第4個，第5個為奇數，第6個為偶數.根據規(guī)律：共有偶數個，故.選.鞏固6．（2020·江西高三（文））意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現象，那么兔子對數依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，這就是著名的斐波那契數列，它的遞推公式是，其中，.若從該數列的前120項中隨機地抽取一個數，則這個數是奇數的概率為（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，該數列依次每3項中，有2項是奇數，另外1項是偶數所以前120項中有80項是奇數所以這個數是奇數的概率為選B鞏固7．（2020·嘉祥縣第一中學高三其他）設數列，均為等差數列，它們的前項和分別為，，若，則（）A． B． C． D．【解析】數列，均為等差數列，它們的前項和分別為，，，選鞏固8．（2020·合肥一六八中學高三其他（理））已知數列為等差數列，且滿足，則數列的前11項和為（）A．40 B．45 C．50 D．55【解析】因為數列為等差數列，故等價于，故可得，又根據等差數列前項和性質.選D.鞏固9．兩等差數列，的前n項和分別為，，且，則A． B． C． D．2【解析】由等差數列的前項和，依題意有，所以，所以，選C.鞏固10．(多選）（2020·福建省永泰縣第一中學高三月考）斐波那契數列，又稱黃金分割數列、兔子數列，是數學家列昂多·斐波那契于1202年提出的數列.斐波那契數列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數列為，則的通項公式為（）A．B．且C．D．【解析】斐波那契數列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，令，則，所以，所以以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；即C滿足條件；選BC鞏固11．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差數列的前項和，且，則__________.【解析】因為，所以，解得鞏固12．（2020·陜西渭南·（理））已知數列{an}的前n項和Sn=n(n+1)+2,其中,則an=_____.【解析】當n=1時，S1=a1=4，當n≥2時，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以數列{an}的通項公式an=.鞏固13．（2020·湖北高三月考（理））設為數列的前項和，若，則____【解析】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.鞏固14．（2020·浙江高三其他）已知數列的前n項和，則____________；數列的通項公式為____________．【解析】由題意易得，當時，，而，所以鞏固15．（2020·浙江高三月考）十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現了“斐波那契數列”，斐波那契數列滿足以下關系：，，，記其前項和為，設(為常數)，則______；______.【解析】因為斐波那契數列滿足，，，∴；；；…；所以，因為．鞏固16．（2020·陜西西安中學）斐波那契數列(Fibonaccisequence)，又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.它是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，記其前n項和為Sn，設a2019=t(t為常數)，則________(用t表示)，________(用常數表示).【解析】斐波那契數列滿足：，，，設，則：根據可得，所以，所以鞏固17．（2020·全國高三其他（理））已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【解析】（1）當時，；當時，，不適合.綜上所述，；（2）由（1）可得.當時，；當時，，得，上式下式得，滿足，因此，.鞏固18．（2020·河南高二其他（文））設等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.【解析】（1）設等差數列的公差為，由，得，解得，因此（2）由題意知：，所以，則兩式相減得因此，

焦點三角形一、技巧知識點一．技巧內容橢圓雙曲線圖形周長2a+2c22離心率二．技巧推導過程1.

2.橢圓中焦點三角形的面積公式橢圓中的離心率4.

5.雙曲線中焦點三角形的面積公式6.雙曲線中的離心率二、技巧訓練技巧1焦點三角形的周長【例1】（2020·黑龍江）已知點分別是橢圓的左、右焦點,點在此橢圓上,則的周長等于（）A．20 B．16 C．18 D．14【解析】根據橢圓方程可知，根據橢圓的定義可知，的周長為選C變式1．（2020·西藏南木林縣第一中學高三月考）若橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，兩焦點分別為F1，F2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【解析】橢圓（其中a＞b＞0）的兩焦點分別為F1，F2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：，選D

變式2．（2019·廣西南寧）定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是__________．【解析】設橢圓的半焦距為，由題意得，，所以，故橢圓的方程是技巧2焦點三角形的面積【例1】（2020·安徽省定遠中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，若的面積為9，則__________．【解析】（技巧法）（常規(guī)法）因為的面積為9，所以因為，所以即，【例2】（2020·山西大同）已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則的面積為【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則，所以，則，平方得，且，由余弦定理，即解得，則變式1．（2020·云南陸良）已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】（技巧法）（常規(guī)法）由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，選B變式2（2020·廣東汕頭）若橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點、的連線互相垂直，則的面積為()A．36 B．16 C．20 D．24【解析】（常規(guī)法）設則,即,又,選B變式3．（2020·上海普陀·高三三模）設為雙曲線（）的上一點，，（為左、右焦點），則的面積等于（）A． B． C． D．【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則不妨設是雙曲線的右支上一點，則由雙曲線的定義，得，則,所以所以，即所以，所以，選C技巧3焦點三角形的離心率【例1】設橢圓的左、右焦點分別為,是上的點,,,則的離心率為【解析】(技巧法），選D。（常規(guī)法）設，，則，即，，【例2】（2020·河北衡水中學）已知分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為【解析】（常規(guī)法））由橢圓上存在點，使可得以原點為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點，∴，∴，∴∴．由，∴，離心率的范圍為

變式1．（2020·沙坪壩·重慶一中高三月考（理））已知點P在以為左，右焦點的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【解析】變式2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））記，為橢圓的兩個焦點，若上存在點滿足，則實數取值范圍是()A． B．C． D．【解析】（常規(guī)法）當焦點在x軸上時，a2＝m，b2＝1，m＞1，由對稱性可知當M為上下頂點時，∠F1MF2最大，因為，∴∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；當焦點在y軸上時，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，當M為左右頂點時，∠F1MF2最大，因為，∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，選A．鞏固1．（2020·全國高三單元測試）已知F1，F2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A．6 B．5 C．4 D．3【技巧法】△AF1B的周長公式4a=16,第三邊等于16-10=6【常規(guī)法】因為根據已知條件可知，橢圓＋＝1中16>9,說明焦點在x軸上，同時a=4,b=3,而過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，則點A到F2，F1的距離和為2a=8,點B到F2，F1的距離和為2a=8，結合橢圓的定義可知△AF1B的周長為4a=16.在結合三角形的周長公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長度為16-10=6選A.鞏固2．（2020·廣西欽州一中）設橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】（技巧法）（常規(guī)法），，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，選C.鞏固3．（2020·河南高三其他（文））橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上的點滿足：，且，則（）A．1 B．C． D．2【解析】設，，則又（1），（2）（1）式平方減去（2）式得：，得：.選C.鞏固4．（2020·黑龍江綏化·高三其他（理））已知對任意正實數m，n，p，q，有如下結論成立：若，則有成立，現已知橢圓上存在一點P，，為其焦點，在中，，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】由題意得：，所以，所以，解得.選C鞏固5．（2020·山西臨汾）已知橢圓的左，右焦點分別為，若上的點到的距離為，則△的面積為（）A． B． C． D．【解析】依題意知，，，所以，因為，且，所以，在△中，，因為，所以，所以△的面積為.選C.

鞏固6．（2020·陸川中學）已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】（常規(guī)法）由題設可知點在以為直徑端點的圓上，由此可得該圓的半徑，即，也即，故應選答案A．鞏固7．（2020·全國高三一模（文））設橢圓的兩焦點為，，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．【解析】當是橢圓的上下頂點時，最大，∴，∴，∴，，，∴，則橢圓的離心率的最小值為，選C.

鞏固8．（2019·江西南昌十中））已知點F1，F2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點P為C1和C2的一個公共點，且，若，則e1的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為，不妨設P為第一象限的點，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，所以得，又因為，由余弦定理得，所以得所以得即，所以，因為，所以，，，所以，所以，所以，所以，選D

鞏固9．（2020·伊美區(qū)第二中學）設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A． B．C．24 D．48【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以，選C鞏固10．（2020·四川青羊·樹德中學高二月考（文））設、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線的離心率為，選B.鞏固11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知點是雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左?右焦點，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20【技巧法】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.【常規(guī)法】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.根據雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以，選B鞏固12．（2020·陜西省丹鳳中學高三一模（理））設，分別是雙曲線的左右焦點.若點在雙曲線上，且，則等于（）A． B． C． D．【解析】根據題意，分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，.選D

鞏固13．（2020·陜西高三其他（文））已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．因為，所以，，，所以，所以的取值范圍是.（常規(guī)法）設，，，則由余弦定理得.又，則，解得，所以.因為，所以，，，所以，所以的取值范圍是，選B

鞏固14．（2020·河北張家口·高三期末（理））已知雙曲線的焦點為，，點為雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】設，，，解得，，選D.鞏固15．（2020·全國高三一模（理））已知F1，F2是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為（）A． B．C． D．2【解析】由已知可得，選A.鞏固16．（2019·平羅中學高三二模（理））已知，是雙曲線E：的左、右焦點，點M在E上，與x軸垂直，，則雙曲線E的離心率為A． B． C．2 D．3（常規(guī)法））與x軸垂直，，設，則，由雙曲線的定義得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，則，則，選A．鞏固17．（2020·陜西西安·高三其他（理））已知橢圓的兩個焦點是、，點是橢圓上一點，且，則的面積是______.【解析】由橢圓的定義可知，，又，聯立兩式，可得又，所以，所以是以為直角邊的直角三角形，所以的面積為.鞏固18．（2020·全國高二課時練習）設是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小_____.【解析】橢圓，可得，設，，可得，化簡可得：，鞏固19．已知是橢圓的左，右焦點，點在上，且，則的面積為______．【解析】（常規(guī)法）由題意，設，，則，由余弦定理可得，，又，∴，∴的面積

離心率一、技巧知識點焦點三角形中的離心率1.橢圓（1）橢圓：設橢圓焦點三角形兩底角分別為、，則(正弦定理)。2.雙曲線：利用焦點三角形兩底角來表示:。

雙曲線的漸進線與離心率關系直線與雙曲線相交時，兩個交點的位置兩個交點在雙曲線的兩支：兩個交點在雙曲線的同一支:兩個交點在雙曲線的左支:兩個交點在雙曲線的右支:焦點弦與離心率關系，則有(為直線與焦點所在軸的夾角)。二、技巧訓練技巧1焦點三角形中的離心率【例1】(1)．已知，是雙曲線：的左、右焦點，點在上，與軸垂直，，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2 C． D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知橢圓：的左右焦點分別為，，若在橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．

【解析】（1）不妨設代入雙曲線方程得，.故答案選：C（2），（當且僅當時取等號），，由橢圓定義知：，又，，，，又，離心率的取值范圍為.選變式1．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知點P在以為左，右焦點的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【解析】中，所以，選B

變式2．（2020·全國高三專題練習）已知點是以、為焦點的橢圓上一點，若，，則橢圓的離心率（）A． B． C． D．【解析】點是以、為焦點的橢圓上一點，，，，又，得，由勾股定理可得，即，，該橢圓的離心率為，選A變式3．（2019·遼寧沈陽市·沈陽二中高三月考（理））橢圓的離心率為，、是橢圓的兩個焦點，是圓上一動點，則的最小值是（）A． B． C． D．0【解析】橢圓的離心率為，即.，故，當時等號成立.根據余弦定理：，選技巧2點差法中的離心率【例2】（1）（2020·四川外國語大學附屬外國語學校）過點作直線與橢圓相交于兩點，若是線段的中點，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省潛山第二中學）已知A，B是橢圓E：的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為A． B． C． D．【解析】（1）設，，由直線的斜率為可得，由線段的中點為可得，，由點在橢圓上可得，作差得，所以，即，所以，所以該橢圓的離心率，選B（2）由題意方程可知，，設,則,，整理得：，①又，得，即，②聯立①②，得，即，解得，選D變式1．已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點、，且弦中點坐標為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3【解析】設、，則，，所以，所以，又弦中點坐標為，所以，，又，所以，即，所以雙曲線的離心率，選B.變式2．（2020·全國高三專題）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）.A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴點在以為直徑的圓上，又點在橢圓內部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，選B變式3．若，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，當，且，則橢圓的離心率為【解析】依題意可知，，，，由橢圓定義可知技巧3漸近線與離心率【例3】已知圓的一條切線與雙曲線有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】由題意，圓心到直線的距離，解得，圓的一條切線與雙曲線有兩個交點，所以，所以，所以.選D.變式1．若雙曲線（，）與直線無公共點，則離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】若雙曲線與直線無公共點，等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是，選A．

變式2．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．【解析】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，選變式3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高三）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過原點作斜率為的直線交的右支于點，若，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【解析】題可知，，，，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.雙曲線的離心率為，選D技巧4焦點弦與離心率【例4】（2020·石嘴山市第三中學高三三模）已知橢圓的左右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，且，則橢圓的離心率=（）A． B． C． D．【解析】橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線為聯立直線與橢圓方程，消后，化簡可得因為直線交橢圓于A，B，設由韋達定理可得且，可得，代入韋達定理表達式可得，即，化簡可得，所以，選D變式1．（2020·河南省高三月考）傾斜角為的直線經過橢圓右焦點，與橢圓交于、兩點，且，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】設到右準線距離為，則，因為，則，所以到右準線距離為，從而傾斜角為，，選B.

變式2．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點，交另一條漸近線于點，且，則該雙曲線的離心率為【解析】（1）當時，設，則，設，由題意可知，，，，則，，，代入得，即，解得，則，（2）當時，設，，設，則，，由題意可知，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，選B.變式3．（2019·浙江高三其他模擬）已知過雙曲線的右焦點F，且與雙曲線的漸近線平行的直線l交雙曲線于點A，交雙曲線的另一條漸近線于點B（A，B在同一象限內），滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【解析】雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設在第一象限，直線的方程為，與聯立，得；直線與聯立，得．由，得，即，得，即，則，選B．鞏固1．已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，是弦的中點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】因為傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，所以直線的斜率，設，則①②由①②得則因為是弦的中點，因為直線的斜率為1即所以，則，選D鞏固2．設F是雙曲線的右焦點.過點F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因為雙曲線的兩條漸近線方程為，當過點F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時.直線l只與雙曲線右支有一個交點，數形結合可知，當漸近線的斜率滿足，即時，直線l與雙曲線左、右支均相交，所以，選C鞏固3．（2019·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分別是橢圓的左、右焦點，P是此橢圓上一點，若為直角三角形，則這樣的點P有（）.A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【解析】由題意，則，當為橢圓短軸頂點時，，，，即，短軸頂點有2個，過或作軸垂直與橢圓相交的點在4個，都是直角三角形，因此共有6個，選C鞏固4．（2020·廣東廣州市）已知,分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上存在點使為鈍角,則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解析】設橢圓的上頂點為，則∵橢圓上存在點，使為鈍角,故答案為A鞏固5．（2020·河北石家莊市）已知橢圓，點M,N為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點H，使,則離心率e的取值范圍為A．B．C．D．【解析】由題意設，則可得：，選A．鞏固6．（2020·全國高三專題練習）橢圓C：的左焦點為F，若F關于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為（）A．B．C． D．－1【解析】設F（－c,0）關于直線x＋y＝0的對稱點為A（m，n），則，解得m＝，n，代入橢圓方程可得化簡可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1，選D鞏固7．已知橢圓（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F2．P是橢圓上一點．PF1F2為以F2P為底邊的等腰三角形，當60°<PF1F2<120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．（） B．（） C．（） D．（0）【解析】由題意可得，即，所以，又，則，所以，則，即，選B鞏固8．（2020·廣東肇慶市）已知橢圓的左右頂點分別為，是橢圓上異于的一點，若直線的斜率與直線的斜率乘積，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】依題意可知.設，代入橢圓方程得.代入得，即，與對比后可得，所以橢圓離心率為.選D.鞏固9．（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，焦距為2c，直線與雙曲線的一個交點M滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【解析】由題意，直線過左焦點且傾斜角為60°，∴，，∴，即∴，∴，雙曲線定義有，∴離心率.鞏固10．（2020·全國）若、為橢圓：()長軸的兩個端點，垂直于軸的直線與橢圓交于點、，且，則橢圓的離心率為______【解析】設、，因為，，所以，所以，所以.鞏固11．（2020·全國高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過右焦點作傾斜角60°的直線交于，兩點（A在第一象限），則________.【解析】因為離心率為，所以,設直線的方程代入橢圓方程：，得又∵點在第一象限，故，所以鞏固12．（2020·全國高三專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為、，若在雙曲線的右支上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是____.【解析】由雙曲線的定義可得，又，則，，所以，.因此，雙曲線的離心率的取值范圍是.鞏固13．（2020·臺州市書生中學高三其他）已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的下頂點，直線交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為【解析】如圖，點在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，

鞏固14．（2020·開魯縣第一中學）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上一點，是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是【解析】由題意可得

PF2=F1F2=2c，再由橢圓的定義可得PF1=2a-PF2=2a-2c．設∠PF2F1=，則，△PF1F2中，由余弦定理可得

cos=由-1＜cosθ

可得3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得2ac＜a2，e=綜上鞏固15．（2020·四川省綿陽南山中學高三）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為【解析】設，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得，在中，有，整理得，

鞏固16．（2020·河北省高三）已知橢圓，，，過點的直線與橢圓交于，，過點的直線與橢圓交于，，且滿足，設和的中點分別為，，若四邊形為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為【解析】如圖，不妨設，兩條直線的斜率大于零時，連結，由題意知，解得，，或，（舍），，在中，因為，所以，故此時，．設，，則，兩式相減得，即，即，因此離心率，所以．

鞏固17．（2020·廣東省高三月考）已知是橢圓：的左焦點，經過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為【解析】設橢圓的右焦點，連接，，根據橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，∴橢圓的離心率，

點差法一、技巧知識點點差法適用范圍中點弦圓錐曲線有三點P、A、B且A、B關于原點對稱2.點差法在中點弦中推導過程3點差法在對稱中的推導過程4.點差法在圓錐曲線中的結論【小結】小題可以直接利用結論解題，解答題需要寫推導過程

二、技巧訓練技巧1點差法在橢圓在的應用【例1】（1）（2020·全國高三專題練習）直線與橢圓相交于兩點，若中點的橫坐標為，則=（）A． B． C． D．(2)2．（2020·高密市教育科學研究院高三其他模擬）已知橢圓的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為（1，-1），則G的方程為（）A． B． C． D．（3）．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模（文））已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，直線（為坐標原點）的斜率為，則（）A． B． C． D．（4）．（2020·全國高三專題練習）已知橢圓與直線交于A，B兩點，過原點與線段AB中點所在的直線的斜率為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】（1）設把代入得，，因為中點的橫坐標為，所以，解得.選:C（2）設，則，兩式相減并化簡得，即,由于且，由此可解得，故橢圓的方程為.選D.（3）設，，的中點，則，.因為，兩點在橢圓上，所以，.兩式相減得：，，，，即，解得.選B（4）設，，中點坐標，代入橢圓方程中，得到，，兩式子相減得到，，結合，，，且，代入上面式子得到，，選B.

變式1．（2020·廣東珠海市·高三一模）已知橢圓的右焦點為，離心率，過點的直線交橢圓于兩點，若中點為，則直線的斜率為（）A．2 B． C． D．【解析】由題得.設，由題得，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，選C變式2．（2020·安徽安慶市·高三其他模擬）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為（1，-1），則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【解析】設，，所以，相減得，∴，即，又∵，，所以，即，解得，又，∴．即橢圓的方程為.選A．變式3．（2020·全國高三專題練習）橢圓與直線交于兩點，過原點與線段中點的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．【解析】設，，由題知：，.設線段中點為，則.將代入得到.因為，故，選B變式4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知橢圓，作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，線段的中點為為坐標原點，若直線的斜率為，則（）A． B． C． D．【解析】設，則，，兩式相減，得，兩點直線的傾斜角為，，即，①直線的斜率為②由①②可得得．選B．變式5．（2020·湖南長沙市·瀏陽一中高三）已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交E于A、B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．【解析】令AB的中點為M，坐標為，則，因為A、B兩點是直線與橢圓的交點，且焦點在x軸，所以則，選B技巧2點差法在雙曲線在的應用【例2】（1）（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線E