二輪復(fù)習5：瓜豆原理1

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher第第頁釋疑拓展：瓜豆原理中考題獨家方法鋪墊：一、我們先來解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌跡相同．只要滿足：則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。1、兩“動”，一“定”2、兩動點與定點的連線夾角是定角3、兩動點到定點的距離比值是定值【例題1】三種處理策略如圖，D、E是邊長為4的等邊三角形ABC上的中點，P為中線AD上的動點，把線段PC繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到P’，EP’的最小值【分析】結(jié)合這個例題我們再來熟悉一下瓜豆模型第一層：點P’運動的軌跡是直線嗎？答：是直線，可以通過P在A，D時，即始末位置時P’對應(yīng)的位置得到直線軌跡，對于選填題，可找出從動點的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理則需要構(gòu)造手拉手證明.第二層：點P’的運動長度和點P的運動長度相同嗎？ 答：因為點P’與點P到定點C的距離相等，則有運動路徑長度相等，若要說理則同樣需要構(gòu)造手拉手結(jié)構(gòu)，通過全等證明.第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點進行構(gòu)造，其實只要再找一組對應(yīng)的主從點即可，簡單來說就是從P點的軌跡即線段AD中再找一個點進行與P點類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段AD中的點A繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，即為點B，連接BP’即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點，但一般來說我們選擇一個特殊位置的點進行旋轉(zhuǎn)后的點位置也是比較容易確定的，比如說點D進行旋轉(zhuǎn)也是比較方便． 第四層：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因為B為定點，所以得到P’軌跡為直線BP’第五層：點P和點P’軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系答：不難得出本題主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍角，那么主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補角，這個在后面的例題中會出現(xiàn).第六層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動點的始末位置快速定位軌跡線段，或者通過構(gòu)造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動點P’的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長得到最小值，那么還有其他方法嗎？答：還可以對關(guān)鍵點進行旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下．將點EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造手拉手模型(SAS全等型)，從而得到P’E＝PG，最小值即為點G到AD的距離． 要注意的是因為要代換P’E，所以E點的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P’P，所以是順時針旋轉(zhuǎn)，求軌跡時的旋轉(zhuǎn)方式則是PP’，注意區(qū)分.本號資料全部來#源于微信#公眾號：數(shù)學第六感解析策略一：找從動點軌跡連接BP’，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCP’，∴△ACP≌△BCP’(SAS)，∴∠CBP’＝∠CAP，∵邊長為4的等邊三角形ABC中，P是對稱軸AD上的一個動點，∴∠CAP＝30°，BD＝2，∴∠CBP’＝30°，即點P’的運動軌跡為直線BP’，∴當DP’⊥BP’時，EP’最短，此時，EP’＝EQ\F(1,2)BD+ED＝+2＝3∴EP’的最小值是3策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點構(gòu)造手拉手代換所求線段將點E繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點G，連接PG，CG，EP’由旋轉(zhuǎn)可得EC＝CG，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，∴△ECG是等邊三角形，EG＝2∵∠PCP’＝∠ECG∴∠PCG＝∠ECP’∴△GCP≌△ECP’(SAS)，∴EP’＝GP，過點G作AD的垂線GH垂足為H，GH即為所求．∵∠GEC＝∠ACD∴HE∥DC∵∠GHD＝∠ADC∴HG∥DC故G，E，H三點共線，則有HE∥DC又E是AC中點，分線段成比例可知H是AD中點∴HE＝∴EP’的最小值是3總共提到了3種處理方式：1.找始末，定軌跡2.在軌跡上找一點旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點軌跡.3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構(gòu)造.【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問題已知點，點B是直線y＝－2上一個動點，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC.角度1：反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手（不用求從動點軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短）（1）求OC的最小值【簡析】如圖，構(gòu)造等腰直角△AOE，由旋轉(zhuǎn)相似可知角度2：構(gòu)造手拉手求從動點軌跡（2）求的最小值【簡析】，求出C點軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點軌跡上取一點，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知，可知C點軌跡為，作，，補充：此時加權(quán)線段和對應(yīng)三邊之比角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)線段和（3）記，①求的最小值；②求的最小值【簡析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知，則②，補充：此時加權(quán)線段和對應(yīng)相似比題型一軌跡為直線型·構(gòu)造中位線求2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模如圖所示，，，以為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，連接并延長至點P，使，則長的取值范圍為________．題型二軌跡為直線型·構(gòu)造手拉手經(jīng)典例題·宿遷中考如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．如圖，在平行四邊形中，點E為射線上一動點，連接，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，求的最小值．

【思路點撥】將順時針旋轉(zhuǎn)60°，作等邊，根據(jù)手拉手模型可知，根據(jù)垂線段最短可知，當時，的值最小，利用勾股定理求解即可求解．（2023·洛陽·二模）如圖，在中，，，對稱軸交于點，點是直線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則長的最小值為．

（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，P是的高上一個動點，以B點為旋轉(zhuǎn)中心把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是．2023·黑龍江綏化·中考真題如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題如圖，已知點，點B在y軸正半軸上，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，若點C的坐標為，則．

如圖，在中，，，，點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最小值是．

2023·西安市交通大學附屬中學初三月考如圖，矩形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．

如圖，矩形中，，，點E，F(xiàn)分別為邊，上的動點，且，將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接（1）當點E為的中點時，線段的長是；（2）當點E在邊上運動時，線段的最小值是．如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點,連接DP,將直線DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn),使∠1=∠2,且過點D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式訓練】雙動點如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，F(xiàn)為AB邊上一點，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則AG的最小值為．題型三軌跡為直線型·將軍飲馬加權(quán)線段和問題如圖，在矩形中，，，是邊上一點，，是直線上一動點，將線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則的最小值是．如圖，已知∠CAB＝30°，AB＝2，點D在射線AC上，以BD為邊作正方形BDEF，連接AE、BE，則AE＋BE的最小值為___________．CCABDEF如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點M為邊BC的中點，P是直線AD上的一個動點，以MP為邊在MP右側(cè)作RtMPQ，且PM＝PQ，連結(jié)AM，AQ，則AMQ周長的最小值為_______