二輪復(fù)習(xí)5：瓜豆原理1

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher第第頁(yè)釋疑拓展：瓜豆原理中考題獨(dú)家方法鋪墊：一、我們先來(lái)解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．只要滿足：則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。1、兩“動(dòng)”，一“定”2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值【例題1】三種處理策略如圖，D、E是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC上的中點(diǎn)，P為中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，把線段PC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到P’，EP’的最小值【分析】結(jié)合這個(gè)例題我們?cè)賮?lái)熟悉一下瓜豆模型第一層：點(diǎn)P’運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線嗎？答：是直線，可以通過P在A，D時(shí)，即始末位置時(shí)P’對(duì)應(yīng)的位置得到直線軌跡，對(duì)于選填題，可找出從動(dòng)點(diǎn)的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理則需要構(gòu)造手拉手證明.第二層：點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度相同嗎？ 答：因?yàn)辄c(diǎn)P’與點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離相等，則有運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度相等，若要說理則同樣需要構(gòu)造手拉手結(jié)構(gòu)，通過全等證明.第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，其實(shí)只要再找一組對(duì)應(yīng)的主從點(diǎn)即可，簡(jiǎn)單來(lái)說就是從P點(diǎn)的軌跡即線段AD中再找一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行與P點(diǎn)類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段AD中的點(diǎn)A繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即為點(diǎn)B，連接BP’即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點(diǎn)，但一般來(lái)說我們選擇一個(gè)特殊位置的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位置也是比較容易確定的，比如說點(diǎn)D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較方便． 第四層：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因?yàn)锽為定點(diǎn)，所以得到P’軌跡為直線BP’第五層：點(diǎn)P和點(diǎn)P’軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系答：不難得出本題主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍角，那么主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補(bǔ)角，這個(gè)在后面的例題中會(huì)出現(xiàn).第六層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動(dòng)點(diǎn)的始末位置快速定位軌跡線段，或者通過構(gòu)造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動(dòng)點(diǎn)P’的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長(zhǎng)得到最小值，那么還有其他方法嗎？答：還可以對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下．將點(diǎn)EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造手拉手模型(SAS全等型)，從而得到P’E＝PG，最小值即為點(diǎn)G到AD的距離． 要注意的是因?yàn)橐鷵QP’E，所以E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P’P，所以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求軌跡時(shí)的旋轉(zhuǎn)方式則是PP’，注意區(qū)分.本號(hào)資料全部來(lái)#源于微信#公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感解析策略一：找從動(dòng)點(diǎn)軌跡連接BP’，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCP’，∴△ACP≌△BCP’(SAS)，∴∠CBP’＝∠CAP，∵邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，P是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴∠CAP＝30°，BD＝2，∴∠CBP’＝30°，即點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BP’，∴當(dāng)DP’⊥BP’時(shí)，EP’最短，此時(shí)，EP’＝EQ\F(1,2)BD+ED＝+2＝3∴EP’的最小值是3策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)造手拉手代換所求線段將點(diǎn)E繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)G，連接PG，CG，EP’由旋轉(zhuǎn)可得EC＝CG，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，∴△ECG是等邊三角形，EG＝2∵∠PCP’＝∠ECG∴∠PCG＝∠ECP’∴△GCP≌△ECP’(SAS)，∴EP’＝GP，過點(diǎn)G作AD的垂線GH垂足為H，GH即為所求．∵∠GEC＝∠ACD∴HE∥DC∵∠GHD＝∠ADC∴HG∥DC故G，E，H三點(diǎn)共線，則有HE∥DC又E是AC中點(diǎn)，分線段成比例可知H是AD中點(diǎn)∴HE＝∴EP’的最小值是3總共提到了3種處理方式：1.找始末，定軌跡2.在軌跡上找一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)軌跡.3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構(gòu)造.【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問題已知點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y＝－2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC.角度1：反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手（不用求從動(dòng)點(diǎn)軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短）（1）求OC的最小值【簡(jiǎn)析】如圖，構(gòu)造等腰直角△AOE，由旋轉(zhuǎn)相似可知角度2：構(gòu)造手拉手求從動(dòng)點(diǎn)軌跡（2）求的最小值【簡(jiǎn)析】，求出C點(diǎn)軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點(diǎn)軌跡上取一點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知，可知C點(diǎn)軌跡為，作，，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)三邊之比角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)線段和（3）記，①求的最小值；②求的最小值【簡(jiǎn)析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知，則②，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)相似比題型一軌跡為直線型·構(gòu)造中位線求2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模如圖所示，，，以為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使，則長(zhǎng)的取值范圍為________．題型二軌跡為直線型·構(gòu)造手拉手經(jīng)典例題·宿遷中考如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，求的最小值．

【思路點(diǎn)撥】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，作等邊，根據(jù)手拉手模型可知，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，利用勾股定理求解即可求解．（2023·洛陽(yáng)·二模）如圖，在中，，，對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則長(zhǎng)的最小值為．

（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，P是的高上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是．2023·黑龍江綏化·中考真題如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是．

2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．

如圖，在中，，，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最小值是．

2023·西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．

如圖，矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)是；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是．如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),連接DP,將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使∠1=∠2,且過點(diǎn)D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式訓(xùn)練】雙動(dòng)點(diǎn)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則AG的最小值為．題型三軌跡為直線型·將軍飲馬加權(quán)線段和問題如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則的最小值是．如圖，已知∠CAB＝30°，AB＝2，點(diǎn)D在射線AC上，以BD為邊作正方形BDEF，連接AE、BE，則AE＋BE的最小值為___________．CCABDEF如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，P是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以MP為邊在MP右側(cè)作RtMPQ，且PM＝PQ，連結(jié)AM，AQ，則AMQ周長(zhǎng)的最小值為_______