2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019試題7

第7章7.4三角函數(shù)的應(yīng)用（練習(xí)）

考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分

班級(jí)姓名：

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則（）

A.該質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)周期為0.7s

B.該質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)振幅為5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)頻率為1.25Hz

D.該質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)周期為0.8s

【答案】BCD

【解析】由題圖可知，運(yùn)動(dòng)周期為7=2x（0.7-0.3）=0.8（s）,故A錯(cuò)，D正確；

該簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為5cm,故B正確；

該簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率/=1=工=1.25（Hz）,故C正確；

T0.8\'

故選：BCD.

2.如圖所示，矗立于倫敦泰晤士河畔的倫敦眼是世界上首座、也曾經(jīng)是世界最大的觀景摩天輪.已知其旋轉(zhuǎn)

半徑為60m,最高點(diǎn)距地面135m,運(yùn)行一周大約30m某游客在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第lOm/n

時(shí)他距地面大約為（）

A.95mB.100mC.105mD.110n?

【答案】C

【解析】

設(shè)人在摩天輪上離地面高度（米）與時(shí)間，（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為

f（/）=Asin（69/+B（A>0,G>0,0w[0,2萬））,

由題意可知4=60,5=135-60=75,T--=30,所以勿=三,

co15

即/（/）=60sin^r+^+75.

又因?yàn)?0）=135-120=15,

37r

解得sine=-l,故。=彳，

所以/?）=60sin（自+/）+75=-60cos]f+75,

J^y>/（10）=-60xcosy^+75=105.

故選：C

3.智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生

成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線、=力35（。工+夕）（其中/>0,

。>0,04。<2兀）的振幅為1,周期為2兀，初相位為5，則通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式

為（）

噪聲聲波

用來降噪的聲波兩者疊加后

A.y=s\nxB.y=cosxc.y=-sinxD.y=~cosx

【答案】A

【解析】解：因?yàn)樵胍舻穆暡ㄇ€、=力35（。方+夕）（其中4>0,。>0,049<2兀）的振幅為1,則4=1,

周期為2兀，則。=§="=1,初相位為二，。=三，

T2兀22

所以噪聲的聲波曲線的解析式為二cos（x+升-sinx,

所以通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為卜=5皿》.故選：A.

4.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船

在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位:

m）記錄表

時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00

水深值5.07.05.03.05.07.05.03.05.0

已知港口的水的深度隨時(shí)間變化符合函數(shù)/（x）=Zsin?x+9）+8,現(xiàn)有一條貨船的吃水深度（船底與水面

的距離）為4m,安全條例規(guī)定至少要有2m的安全間隙（船底與海底的距離），該船計(jì)劃在中午12點(diǎn)之后按

規(guī)定駛?cè)敫劭?，并開始卸貨，卸貨時(shí)，其吃水深度以每小時(shí)0.25m的速度減小，4小時(shí)卸完，則其在港口最

多能停放（）

A.4小時(shí)B.5小時(shí)C.6小時(shí)D.7小時(shí)

【答案】B

【解析】

由表格中的數(shù)據(jù)可知，/（x）M=7,/（x）mM=3,則

二小心-3)*7-3-gjaLx+fUL7+3

2222

,.24?故〃x)=2sin[m+eJ+5,

|l]T=12,??co=—=

T6

當(dāng)x=3時(shí)，/(x)=7,則2sin(3+e)+5=7I.2cose=2,即cos0=l得0=0.

jr

/./(x)=2sin—x+5.

6

由/(x)=2sin4-5=6,得sin?x=；

urt7V7T_..__p.7V54、，.

即一x=-+2k小左￡Z或一x=——+2左肛keZ

6666

/.x=12Z+1,左￡Z或1=12k+5,kGZ.

又該船計(jì)劃在中午12點(diǎn)之后按規(guī)定駛?cè)敫劭冢?/p>

.?，=1時(shí),x=13,即該船應(yīng)在13點(diǎn)入港并開始卸貨,

卸貨時(shí)，其吃水深度以每小時(shí)0.25m的速度減小，4小時(shí)卸完，卸完后的吃水深度為4-0.25x4=3,

所以該貨船需要的安全水深為3+2=5米，由〃x)=2sinfx+5=5,得singx=(),

66

TTTT

即一x=0+2%7,左eZ或一x=萬+2左肛左eZ

66

x=l2k,keZ或x=12A:+6,左eZ.

所以可以停留到18點(diǎn)，此時(shí)水深為5米，貨船需要離港，則其在港國最多能停放5小時(shí).

故選：B

5.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置。的距離s(cm)和時(shí)間/(s)的函數(shù)關(guān)系式為

A.27tsB.KsC.0.5sD.1s

【答案】D

【解析】本題已給出了單擺離開平衡位置。的距離s(cm)和時(shí)間f(s)的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回?cái)[一次

所需的時(shí)間即為此函數(shù)的一個(gè)周期.

,/。=2兀，：.T=—=\

CD

](x-6)

6.某市一年12個(gè)月的月平均氣溫歹與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)V=a+Acosx=l,2,3,…,12)

來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為28C，12月份的平均氣溫最低，為18C，則該市8月份的平

均氣溫為()

A.25.5℃B.225CC.205CD.13℃

【答案】A

【解析】

由題意可得：

/(6)=a+/(cos-(6-6),=28.,

八，[l6V'\。+力=28。=23

「1即」心解得：L「

-/、兀/、a—Z=18\A=J

/(12)=Q+4COS-(12-6)=18

rr

所以〃x)=23+5cos-(x-6),

_6_

元7T

所以該市8月份的平均氣溫為/⑻=23+5cos-(8-6)=23+5cos-=25.5℃,

_6J3

故選：A.

7.某藝術(shù)愛好者對(duì)《蒙娜麗莎》的同比例影像作品進(jìn)行了測(cè)繪.將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴

角A,C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=6.9cm,SC=7.1cm,/IC=12.6cm.

根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角位于（）

B.

【解析】

解：取4B=BC*7,設(shè)48c=2。

12.6

則si口子一叱停學(xué)

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為a

則a+20=7：

兀n

ae

彳'3

故選：B

8.如圖所示，扇形。。。的半徑為2,圓心角為?，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形/8C。是扇形的內(nèi)接矩形,

則SABCD的最大值是（）

A

04BP

A.偵B.26C.拒D.2

33

【答案】A

【解析】如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型,再根據(jù)建立的模型利用三角函數(shù)

的性質(zhì)求最值.

Q

0ABP

如圖，idZCOP=a9在&AOBC中,OB=2cosa,BC=2s\na,

在必△04。中，OA=^~DA=—BC=^^sina，

333

所以/3=O3-OZ=2cosa-^^sina,

3

設(shè)矩形48CQ的面枳為S,

2^/3

S=ABBC=(2cosa———sina)?2sina

=4sinacos”迪sin%=2sin2a區(qū)cos2a處

333

=迪疝3+馬-小

363

由0<a〈工，所以當(dāng)2a+f=W，即。=工時(shí)，S取最大值，為題一之G26

——...,

3626333

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）

9.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)

水輪上點(diǎn)尸從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)《）開始計(jì)時(shí)，則（）.

A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米

C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)尸在水面下方，距離水面2米

D.點(diǎn)P距離水面的高度〃（米）與，（秒）的函數(shù)解析式為〃=4cos（^f+g）+2

【答案】ABC

【解析】

設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度〃（米）和時(shí)間f（秒）的函數(shù)解析式為

71

%=4sin3+夕)+6/>0,①>0,網(wǎng)<2

4max=A+B=6A=4

h'.min=A—B=-28=2

解得《2兀兀

由題意得:r=—=60(0=——=—

0)T30

7/(0)=4sin(e0+°)+3=0n

(P=—

6

故〃=4sin9-斗2.故〃錯(cuò)誤;

\306J

于4令h=6,即〃=4sin三，一￡+2,解得：f=20,故｛正確;

<306)

對(duì)于8,令f=155,代入/?=4sin|藐，—乙|+2,解得：h=2,故8正確；

\3067

對(duì)于0,令y50,代入〃=4sin（G，—?1+2,解得：h=—2,故C正確.

1306）

故選：ABC

10.為了研究鐘表秒針針尖的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖位置為點(diǎn)尸（羽力.

若初始位置為點(diǎn)制，秒針從玲（規(guī)定此時(shí)f=0）開始沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y與時(shí)

間t的函數(shù)關(guān)系式可能為（)

717U

B.y=-sin----1------

603

.(7T兀7t71

C.y=sm---1+—D.y=cos----1H--

'(303306

【答案】CD

【解析】設(shè)y與時(shí)間1的函數(shù)關(guān)系式為尸為山（初+叫由題意川得，初始位置為電

,即初相為*,

故可得sine=cose=；,貝1」力=1,。=?.

22J

2〃

又函數(shù)周期是60（秒）口秒針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即1—1=60,

0）

所以I。=梟，即。=一看.

故滿足題意的函數(shù)解析式為：y=sin（Wt+jj=cos[E-1-合+W]=cos（a+m-

故選:CD.

11.氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對(duì)生命系統(tǒng)形成威脅，我

國積極參與全球氣候治理，加速全社會(huì)綠色低碳轉(zhuǎn)型，力爭2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和目

標(biāo).某校高一數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組研究的課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從6h到

14h的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數(shù)y=/sin(5+s)+6(/>0,<y>0,0<<p<n),該函數(shù)圖象如

圖，則()

3兀

A.

B.函數(shù)/(X)的最小正周期為167t

C.VxeR,/(x)+/(x+8)=40

D.若g(x)=/(x+〃?)是偶函數(shù)，則網(wǎng)的最小值為2

【答案】ACD

4+6=304=1°,、

【解析】根據(jù)題圖可知-4+6=10得6—20所以/(x)=l0sm(ox+e)+20.

根據(jù)題圖可知34-6=8,7=16,B錯(cuò)誤.

2兀2兀方，/(x)=10sin^x4-^j+20,/(6)=10sinfy+^j+20=10,B[Jsin

co=—=—-1.又

T168卜

…,所吟<,夕吟,所吟+9吟,解得展?jié)葾正確.

n3兀

/(x)=10sin—x+一+20,

84

3兀s.(兀兀3兀、c八1八?(兀7133兀71

/(x+8)=lOsin—(x+8)+—+20=lOsin—x+—+兀+20=-10sm—x+—+20,所以

848484

/(x)+/(x+8)=40,C正確.

因?yàn)間(x)=/(x+，")=10sin^-(x+/n)++20=10$山(9+曰加+手■)+20是偶函數(shù)，所以

884

-+—=kn+—,ke,Z,得m=8左一2,ZreZ,所以當(dāng)左=0時(shí)，同取最小值，為2,D正確.

故選：ACD.

12.筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以流水為動(dòng)力,取水灌田的工具.如圖,假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下,-

個(gè)半徑為3米的筒車按逆時(shí)針方向做每6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng),筒車的軸心。距離水面BC的高度為

1.5米,設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P的初始位置為點(diǎn)D（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí),下列結(jié)論

正確的是（）

7C7C

A」分鐘時(shí)，以射線04為始邊，。尸為終邊的角為二/一二

36

JI3

[~1+~米

C.1分鐘時(shí)該盛水筒距水面的距離與3分鐘時(shí)該盛水筒距水面的距離相等

D.1個(gè)小時(shí)內(nèi)有20分鐘該盛水筒距水面的距離不小于3米

【答案】ACD

【解析】依題意設(shè)函數(shù)解析式為歹=/sin（④c+e）+b.由題意得/=3,6=5,7=6,所以。=§,所以

y=3sin|—x+（p+彳.當(dāng)x=0時(shí)，卜=0,可得5出8=——，不妨取e=一工，所以

<3）226

3

y

2

f分鐘時(shí)，以射線CM為始邊，0尸為終邊的角為盛水筒距水面的距離為3sin（々一勺+：米,

36<36J2

故A正確,B錯(cuò)誤.

當(dāng)x=l時(shí)，y=3：當(dāng)x=3時(shí)，y=3,故C正確.

（JTTT|3（7171I1

令y=3sin-x--+—>3,得sin|一:|之不在一個(gè)周期內(nèi)解得14x<3,1個(gè)小時(shí)內(nèi)有10個(gè)周期,

（36）2（36J2

所以有2X10=20分鐘，故D正確.故選ACD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Zsin切，已知函數(shù)

/(x)=2cos(2x+e)(—%4夕4萬)的圖象向右平移。個(gè)單位后，與純音的數(shù)學(xué)模型函數(shù)卜=2sin2x圖象

重合，則8=,若函數(shù)/(x)在［一是減函數(shù)，則。的最大值是.

【答案】--—

6112

【解析】將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移?個(gè)單位后可得到函數(shù)y=/(x)的圖象，

71=2sin^2x+^^=2sinr^2x+^+J|

則/(x)=2sin2x+—=2cost2x+1,

又/(x)=2cos(2x+e)(一乃<(p=—,

'6

令2k兀<2XH—<Ikjr4-7t{keZ),解得女乃----<x<kjt----{kGZ),

61212

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為+(kez),

由0wk7t---,kjcH----(〃wZ),可得攵=0,

_1212_

由于函數(shù)/(x)在區(qū)間［-a,a］上單調(diào)遞減，則［一a,。］a,

7t7t

解得0<a4=,則。的最大值為7T.

14.魏晉南北朝(公元220581)時(shí)期，中國數(shù)學(xué)在測(cè)量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)

的出入相補(bǔ)原理，通過多次觀測(cè)測(cè)量山高水深等數(shù)值，進(jìn)而使中國的測(cè)量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步，超越西

方約一千年，關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第題為測(cè)量海島的高度和距離，故題為《海島算經(jīng)》.受

此題啟發(fā)，小明同學(xué)依照此法測(cè)量涇陽縣崇文塔的高度(示意圖如圖所示)，測(cè)得以下數(shù)據(jù)(單位：米)：

前表卻行OG=1,表高CD=EF=2,后表卻行人〃=3,表間。尸=85.則塔高/8=米.

【答案】87

【解析】解：根據(jù)題意，^=-^=1=2=-^-ABEF2_AB

Dkj\DL)+1BH~FH~1~BD+88

285

2(5D+l)=y(BP+88),解得萬(米)，

.■.J5=2x(y+1)=87(米).

故答案為：87

15.如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的氣溫變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)

y=/sin（@x+9）+8（/>0,0>0,3>0,0<。<萬），則該市這一天中午12時(shí)的氣溫大約是（注:

【解析】

由題圖，可知Z+8=30,-A+B=\Q,

所以/=10,8=20.

設(shè)該函數(shù)的最小正周期為丁,

因?yàn)?=14-6,所以T=16,于是0=271_71

冗

所以j=10sin+20.

因?yàn)樵搱D象經(jīng)過點(diǎn)（14,30）,

所以30=10sin14+0+20,

=1,所以(+夕=]+2k兀,keZ、

所以9=——+2k兀,keZ

4

又0＜。＜乃，

所以8=—，

4

所以歹=l°sin1*x+qj+20.

當(dāng)x=12時(shí)，^=10sinf^xl2+^J+20=572+20-27(℃).

故答案為：27℃

16.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)

y=a+Acos￡(x-6)(x=l,2,3,…,12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣

溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫值為.

【答案】20.5

【解析】

JT

角軍：據(jù)題意得28=〃+4，18=a+/cos--(12—6)—a—A

_6_

解得。=23,A=5

所以y=23+5cos—(x-6)

6_

令x=10得y=23+5cos-(10-6)=23+5cos—=20.5

_6J3

故答案為：20.5

四、解答題：(本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.如圖，某地一天從4~18時(shí)的溫度變化曲線近似滿足/(x)=Nsin(0x+e)+6,其中/＞0,。＞0,

G<(p<兀.

⑴求A,b,o),9；

(2)求這一天4~12時(shí)的最大溫差近似值.

參考數(shù)據(jù)：收=1.4，＞/3?1.7.

【答案】見解析

【解析】⑴由圖象可知：/(力皿=30,/(")1nbi=1°,/(力最小正周期＞=2x(14-6)=16,

?A='⑴/ax-/Qin=］(),°=/(')max+/("L=2(),(O=~?

22T8

?.?/'(14)=10sin(2xl4+9)+20=30,/.sin(/+e)=1,

/jrjrSjr

--\-(p=—+2k/r(ZreZ),解得：(p=-—+2k兀(kwZ),

,八

又0＜夕＜乃，:.(p=——3TT.

4

(2)由圖象可知：/(x)在［4,6)上單調(diào)遞減，在(6,12］上單調(diào)遞增，

；JUL="6)=10,/(x)1rax=/(12)=10s吟+20=5/2+20,

~f(x}=10+572-10+5x1.4=17,

"\＞max，\/min

即這一天4~12時(shí)的最大溫差近似值為17.

18.水車是一種利用水流動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，是人類一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象

征.如圖是一個(gè)水車的示意圖，水車的半徑為3米，水車中心(即圓心8)距水面1.5米.已知水車逆時(shí)針勻

速旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是80秒，以水面為x軸，過圓心8作水面的垂線80,則80所在的直線為y軸建立直角

坐標(biāo)系，現(xiàn)將水車上的一個(gè)水斗視為點(diǎn)尸，點(diǎn)尸從出水面點(diǎn)A處開始計(jì)時(shí).

y)

（i）求點(diǎn)p到水面的距離人（米）與時(shí)間/（秒）的函數(shù)關(guān)系式;

（2）在水輪的一圈轉(zhuǎn)動(dòng)中，求點(diǎn)尸露出水面的時(shí)長？

【答案】見解析

【解析】（1）如圖所示:

過尸向x軸作垂線，垂足為E,則〃=PE=PD+1.5,

7T

.??/?=3,80=1.5,可得/。￡4=/氏4。=一，

6

由題意知，水車的角速度。=M=￡,

8040

jr-jr

，經(jīng)過“少轉(zhuǎn)過的角度為右E,BPZPBA=^-tf

4040

406

在/XPBD中，PD=PBsmAPBD=3sin|—

（406）

點(diǎn)尸到水面的距高〃=3sinH7-j]+I.5.

（406）

f.（冗乃、]廠C.（7t7l\1

3sin—t+1.5=0sin—t=——

⑵令1406），即1406；2,

由題意取=得”苧，

40663

,在水輪的一周轉(zhuǎn)動(dòng)中，點(diǎn)尸露出水面的時(shí)長為與秒.

19.如圖，某年某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變

化.

(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.

(2)猜測(cè)當(dāng)年3月1日該動(dòng)物的種群數(shù)量.

【答案】(1)y=100sin^r-^+800.(答案不唯一)

(2)750

【解析】(1)設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式為y=/sin3f+9)+b(/>0,(o>0,b>0),

[-4+6=700,

則L,nnn'解得6=800.

[4+6=900

又周期T=2x(6-0)=12,...0哼=.,.-.>；=lOOsin^r+^+800.

又當(dāng)r=6時(shí)，y=900,900=1OOsinx6+j+800,

...sin(乃+e)=l,/.sin^=-l,.?.可取夕=一],

.?.y=100sin修-5卜。。.(答案不唯一)

(2)當(dāng)f=2時(shí)，^=100sin(^x2-^+800=750,即當(dāng)年3月1日該動(dòng)物種群數(shù)量約是750.

20.設(shè)〃x)=sin(@x+9),其中。為正整數(shù)，閘((當(dāng)9=0時(shí)，函數(shù)/(x)在—上單調(diào)遞增且在

-py上不單調(diào).

(1)求正整數(shù)。的值；

(2)在①函數(shù)的圖象向右平移高個(gè)單位長度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，②函數(shù)〃x)在上的

最小值為③函數(shù)“X)的圖象的一條對(duì)稱軸為X=-3,這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線中，并

完成解答.

已知函數(shù)“X)滿足,在銳角三角形/8C中，A<B,且/(/)=〃8).試問：這樣的銳角三角

形/5C是否存在？若存在，求角C；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)0=2

(2)答案見解析

【解析】(1)。=0時(shí)，/(x)=sin<ax,(yeN',

jrJT

因?yàn)?1夕=0時(shí)，函數(shù)/(x)在-J.J上單調(diào)遞增,

?a)7tn,,con7t...?一5

所以----.且^一<—,得0<。4-,

52522

因?yàn)?。為正整?shù)，所以。=1,或。=2,

7F7T

當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=sinx,顯然在一5號(hào)上單調(diào)，不合題意,

TTTT

當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=sin2x在-不,不上不單調(diào)，符合題意，

所以3=2.

(2)選①.

函數(shù)"X)=sin(2x+夕)的圖象向右平移專個(gè)單位長度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=sin2Cx—-n-\-(p\\,

又g(x)為奇函數(shù)，則一2+9=左)，keZ,解得。=〃乃+9，kwZ,

66

又屈<g,故8=3，所以/(x)=sin(2x+1],

26k07

/(N)=/(8),B|Jsin|2J+-|=sin|2S+-|,

則24+工=28+工+2上左或21+工+28+三=乃+2左左,kwZ,

6666

即4=5+左萬或4+3=工+而，GZ.

3

7T24

乂.A,8為勺內(nèi)角，\\.A<B1AkA+B=—,所以。==-.

33

故這樣的銳角三角形/8C不存在.

選②.

TTI

/(x)=sin(2x+s)在0,y上的最小值為-5,

因?yàn)镸l<]，所以/(x)=sin(2x+s)在0,y上的最小值為〃0)=sine=-g,

所以0=-9,所以/(x)=sin(2x一看

6

/(^)=/(5),即sin(24—看=sin(28一看

'fl77'JI

則2A=2B+2k4或24+28="+2k兀,kwZ,

6666

即4=5+%乃或/+8=左；r,左wZ,

3

2777T

又4,8為△/8c的內(nèi)角，且4<8,故/+8=5，所以C=§.

故這樣的銳角三角形48c存在，且C=?.

選③.

〃x）=sin（2x+e）的圖象關(guān)于片-色對(duì)稱，

ITTT27r

則---卜（p=—Hk7i,%wZ,解得（p-----1-kjt,AwZ,

623

又固《，故0=-?,所以/（x）=sin（2xq）,

/'（4）=/$），即sin（24-q）=sin（28-f,

ji

貝|J2Z--=2B--+2/乃或2/-—+28-—=4+2后萬，AreZ,

3333

、57r

即4=3+%萬或4+8=—+%乃，％wZ,

6

又48為的內(nèi)角，且4<8,故4+8=7",所以C=：.

66

TT

故這樣的銳角三角形/8C存在，且C=?.

21.某港口的水深丁(單位：加)是時(shí)間/(0VK24向的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù):

t/h03691215182124

y/m10139.97101310.1710

一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5/時(shí)就是安全的.

(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：y=at+b,y=Asm(?jt+<p),y=ZsinM+K,你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫了與

，之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；

(2)如果船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安

全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間？

【解析】⑴函數(shù)k"sinM+Kq以更好地刻畫y與叱間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

根據(jù)數(shù)據(jù)可得：3+K=7'力=3,心此

,2乃71

^?.-7=15-3=12,/.co=—=一,

T6

/.y=3sin—r+10(0</<24).

6

（2）由題意，要滿足題意，需y24.5+7,

即3sin￡/+10211.5(0<t<24),sin—r>—

662

...萬+￡,2?"+￥],%€Z,m\2k+\<t<\2k+5,keZ,

666

當(dāng)左=0時(shí)，止［1,5］；當(dāng)％=