2023-2024學(xué)年福建省南平市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省南平市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題.（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1,復(fù)數(shù)（I）―Q+i）+3i等于（）

A.-1+iB.1-iC.iD.-i

【正確答案】A

【分析】按照復(fù)數(shù)的加法和減法法則進(jìn)行求解.

【詳解】（1—i）—（2+i）+3i=（l—2）+（—i—i+3i）=—1+i

故選：A.

2.如圖是水平放置的四邊形/BCD的斜二測(cè)直觀圖Z'B'CZ）',且HO||y'軸，HH'Px'軸,

則原四邊形4BCD的面積是（）

V'

【正確答案】C

【分析】方法一：利用斜二測(cè)畫法，將直觀圖還原為原圖，并由此計(jì)算出四邊形4BCD的

面積.

方法二：利用原圖和直觀圖面積的關(guān)系，計(jì)算出四邊形4BCD的面積.

【詳解】（方法一）還原平面圖形，如圖左所示，延長(zhǎng)交x軸于E'，如圖右所示，

畫出平面直角坐標(biāo)系，取OE=O'E',過(guò)點(diǎn)￡作EE||y軸，在斯上截取胡=2/‘￡’，

AD=2A'D'=8‘再過(guò)點(diǎn)D作DC//x軸，過(guò)點(diǎn)/作48〃x軸，并截取DC=D'd=2，

AB=4'B'=5?連接BC,可得直觀圖A'B'C'D'的原平面圖形ABCD.

由作出的圖形可知，S四邊形.co=1x（2+5）x8=28.

(方法二)因?yàn)?￡/=4,所以梯形的高為2直，

故SA’BCD=5*2yx(2+5)=7A/2,

貝IS四邊形45c0=2叵S梯形HB'C'ZT=28?

故選：C

本小題主要考查斜二測(cè)畫法中的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱的體積是()

1

B.1V3D.

T3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)棱柱體積公式求得結(jié)果.

【詳解】底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱的體積是(13x22)x1=6

4

故選：A

本題考查棱柱體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

4.在AABC中，A—45°,a--\[2,b—y/i，則8=()

A.60°B.60°或120°C.45°D.135°

【正確答案】B

【分析】

由正弦定理/一=一^即可求出sin5,進(jìn)而求出乩

sinAsinB

【詳解】由正弦定理可得上a一二—Jh,

sinAsinB

WJ2

.bsin/"*2V3,

smB=--------=----尸幺=——

aV22

?.?5e（0,7i）,8=1■或g.

故選：B.

5.在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A,B,C,。發(fā)生的概率分別為0.1,0,1,0.4,

0.4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.A與8+C是互斥事件，也是對(duì)立事件

B.8+C與。是互斥事件，也是對(duì)立事件

C.Z+B與C+。是互斥事件，但不是對(duì)立事件

D.Z+C與3是互斥事件，也是對(duì)立事件

【正確答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念和性質(zhì)，根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楸舜嘶コ獾氖录嗀,B,C,。發(fā)生的概率分別為01，0.1,0.4,0.4,

所以A與8+C是互斥事件，但P（/）+P（5+C）=P（/）+P（8）+P（C）=0.6wl,所

以A與5+C不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)；

8+C與D是互斥事件，但P（JD）+P（5+C）=P（JD）+P（B）+P（C）=0.9wl,所以

B+C與。不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)；

Z+8與c+o是互斥事件，且p（4+5）+P（c+r＞）=p（/）+P（5）+P（c）+P（r?）=i,

所以也是對(duì)立事件，故C錯(cuò)；

Z+C與3是互斥事件，且

P（A+C）+P（B+D）^P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=1,

所以也是對(duì)立事件，故D正確.

故選：D.

本題主要考查互斥事件與對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題型.

6.下列命題中正確的是（）

A,正方形的直觀圖是正方形

B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

D.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)

【正確答案】B

【分析】

選項(xiàng)A,正方形的直觀圖是平行四邊形；選項(xiàng)B,由斜二測(cè)畫法規(guī)則知平行性不變知②正確；

選項(xiàng)C,要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行；選項(xiàng)。，用一個(gè)平行于底面

的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).

【詳解】解：選項(xiàng)A,正方形的直觀圖是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由斜二測(cè)畫法規(guī)則知平行性不變，即平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，故②正確；

選項(xiàng)C,有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平

行的幾何體叫棱柱，要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，

故。錯(cuò)誤.

故選：B.

7.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3,再減去50,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平

均數(shù)是1.6,方差是3.6,則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()

A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.4

【正確答案】C

【分析】

根據(jù)均值和方差的公式計(jì)算可結(jié)果.

【詳解】設(shè)一組數(shù)據(jù)為玉?=1,2,3「、〃)，平均數(shù)為亍，方差為s：,所得一組新數(shù)據(jù)為

j,.(z=1,2,3,???,?),平均數(shù)為歹，方差為s；,

則%=y=

3x;-50(z=1,2,3,???,?),必+1+…+匕=16

n

所以3再-50+3/-5°+…+3x〃-50=]$

n

所以3元—50=1.6,所以元=配芻=17.2,

3

由題意得$=，一歹了+(%-歹了+…+(%—歹了]=3.6,

所以工[(3的—50—1.6)2+(3%—50—1.6)2+…+(3%—50—1.6)2]=3.6,

所以工x9[（x—17.2）2+（%一17.2）2+…+（x“—17.2）2]=3.6

22

所以,*9[（X]-x）+（x2-x）H-----l-（xn一元）1=3.6,

所以9s；=3.6,所以s；=0.4.

故選：C.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握幾個(gè)數(shù)據(jù)的均值和方差公式是解題關(guān)鍵.

8.如圖，四面體48cZ）中，CD=4,48=2,￡,歹分別是ZC,AD的中點(diǎn)，若EFLNB,

則所與C。所成的角的大小是（

717171

A.B.一C.一D.-

6432

【正確答案】A

【分析】根據(jù)己知，結(jié)合圖形，利用中位線，把異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的夾角,

根據(jù)等角定理以及三角形的性質(zhì)求解.

因?yàn)椤?尸分別是ZC,的中點(diǎn),

所以EG"CD,FGUAB,又CD=A,AB=2,

所以EG-2,FG=1,

因?yàn)椤晔?3,所以即，bG,

171

所以在中，sinNEEG二一，所以NFEG=—,

26

因?yàn)镋G//CD,根據(jù)等角定理可知,

IT

所與CD所成的角的大小是一，故B,C,D錯(cuò)誤.

6

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.袋中有紅球3個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥的兩個(gè)事件是（）

A,至少有一個(gè)白球與都是白球

B.恰有一個(gè)紅球與白、黑球各一個(gè)

C.至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球

D,至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)互斥事件的定義和性質(zhì)判斷.

【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，

在/中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故/不成立.

在3中，恰有一個(gè)紅球和白、黑球各一個(gè)不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故8成立；

在C中，至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球，能同時(shí)發(fā)生，故C不成立；

在。中，至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故。成立；

故選：BD.

本題考查互斥事件的判斷，根據(jù)兩個(gè)事件是否能同時(shí)發(fā)生即可判斷，是基礎(chǔ)題.

10.已知向量a=（2,l）》=（l,一l）,c=（加一2,-〃），其中加，〃均為正數(shù)，且

下列說(shuō)法正確的是（）

A.￡與B的夾角為鈍角

B.向量％在B方向上的投影為?

C.2m+〃=4

D.加〃的最大值為2

【正確答案】CD

【分析】通過(guò)求出7刃，向量Z在石方向上的投影，利用平行關(guān)系結(jié)合基本不等式，即可得

出結(jié)論.

【詳解】由題意，加,〃均為正數(shù),

(2=(2,1),6=(l,-l),c=(m-2,-?),

A項(xiàng)，

：Z%=2-l=l>0，

??.Z與刃的夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，

a-b_1_也

2

'HW+(T『'

向量a在辦方向上的投影為X—,B錯(cuò)誤；

2

C項(xiàng)，

Va-ft=(1,2),{^a-b\//c,

2(加—2)=—〃，即+〃=4,C正確；

D項(xiàng)，

4=2m+n>2y/2mn>即w?〃W2,當(dāng)且僅當(dāng)2加=〃=2時(shí)等號(hào)成立，

...加”的最大值為2,D正確；

故選：CD.

II,下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，其中正確的是()

A,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR)是實(shí)數(shù)的充要條件是6=0

B.復(fù)數(shù)z=a+bi(a/eR)是純虛數(shù)的充要條件是bwO

C.若Z],Z2互為共朝復(fù)數(shù)，則Z]Z2是實(shí)數(shù)

D.若zrZ2互為共輾復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，共軌復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，a=0,6w0時(shí)，。+方才是純虛數(shù).A正確，B錯(cuò)誤，

Z[=a+bi(a,beR),則Z2=4=a-Z>i,所以z,=(a+6i)(a—bi)=/+/是實(shí)數(shù)，c

正確;

當(dāng)Z1是實(shí)數(shù)時(shí)，其共輾復(fù)數(shù)是它本身，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是同一點(diǎn)，不關(guān)于虛軸對(duì)稱，D錯(cuò).

故選：AC.

12.已知正方體/BCD-/山C1D1的棱長(zhǎng)為1,E是。。的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是

()

A.ACLByE

B.3C〃平面43。

C.三棱錐Ci-BiCE的體積為工

3

D.異面直線3c與所成的角為45。

【正確答案】AB

【分析】對(duì)于A,由已知可得/CJ_平面ABiDiD,從而可得ZC_LSE；對(duì)于B,利用線面平

行的判定定理可判斷；對(duì)于C,由％/CE=L.GCE進(jìn)行求解即可；對(duì)于D,由于

所以/CBbDi是異面直線BiC與BD所成的角，從而可得結(jié)果

【詳解】解：如圖，

'：AC±BD,ACLBBx,，/C_L平面豳人。，

又平面ABiOQ,：.AC±BiE,故/正確；

■:BiC〃AQ,NiDU平面45D,SCV平面/由。，〃平面45D,故8正確；

三棱錐G-3CE的體積為仁BCE=VBCCA=-x-xlxl=故。錯(cuò)誤；

?..AD〃2Qi,，/以?1是異面直線S。與所成的角，又△CBQi是等邊三角形，

...異面直線8C與所成的角為60。，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

此題考查線線垂直的判定、線面平行的判定、異面直線所成的角以及體積的計(jì)算等知識(shí)，考

查推理能力，屬于中檔題

三、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.4工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為為，X2,不，%,冬

（單位：萬(wàn)只），若這組數(shù)據(jù)為，X小x3,x4,叫的方差為1.44,且X：,xl，x；,xj,

的平均數(shù)為4,則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套萬(wàn)只.

Q

【正確答案】1.6##—

5

【分析】由平均數(shù)定義可知+后）=4,再根據(jù)方差的公式即可求得結(jié)

果.

【詳解】由己知得+x；+x；+X：+xj）=4,即X：+X；+…+X；=20,

設(shè)為，X?,X3,x4,x5的平均數(shù)為X,

根據(jù)方差的計(jì)算公式有

+(x?-x)H—+=1.44,

(X；+x；+…+x；)-2x(X]+x2+…+/)+5x~=7.2,

即20—10亍2+5元2=7.2，又無(wú)〉0,

：.x=1.6.

故1.6.

14如圖，直角梯形/BCD中，AB//CD,ABLAD,AB=AD=4,CZ>=8,若區(qū)=一75后，

3SF=FC>則N*BE=.

【正確答案】-11

【分析】通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：

因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中,AB//CD,ABLAD,AB=AD=4,CD=8,若G=-TDE，3BF=FC

所以4(0,0),5(4,0),￡(1,4),尸(5,1),

所以#=(5,1),屜=(-3,4),

貝1?屁=—15+4=—

故一11

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

15.在△4BC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=2acosB,且

a=4,b=6,則4ABC的面積為.

【正確答案】672+273

【分析】

根據(jù)余弦定理，將已知等式化為邊的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理，求出角B,再次應(yīng)用余弦定理,

求出C邊，運(yùn)用面積公式，即可求解.

【詳解】解：:Z?cosC+cosB=2acosB,由余弦定理可得

2ab2ac2ac

化簡(jiǎn)得a+c一萬(wàn)二1,即COS5=L,

2ac22

71

***0<B<f:.B=—.

3

又二'Q=4,6=6,代入二片+。2-2QCCOSB，

得02—4c—20=0，解得c=2+2#或c=2—2灰(舍去),

.??5=-?csinJ8=-x4x(2+2V6)x—=672+273.

222

故答案為：60+2百

本題考查余弦定理邊角互化，解三角形以及求三角形的面積，屬于中檔題.

16.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊

形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是—cm3.

【正確答案】12^/3--

2

【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.

【詳解】正六棱柱體積為6x9x22x2=126

4

圓柱體積為";)2-2=T

所求幾何體體積為12道-工

2

故12^/3--

2

本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

四、解答題.(本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分)

17.已知向量5=(sinx,cosx),3=(百,一1),xe[0,^].

(1)若方，求x的值；

(2)記/(1)=晨3,求/(X)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的X的值.

【正確答案】⑴%=-；(2)x=旦時(shí)，/(x)取到最大值2,x=0時(shí)，/(x)取到最

63

小值-1.

【分析】

(1)利用向量垂直的坐標(biāo)表示可求得tanx=)2,結(jié)合x的范圍可求得x的值;

3

71LTC一

(2)將函數(shù)化簡(jiǎn)為f(x)=2sinX--,根據(jù)％的范圍可求得X--的范圍，結(jié)合正弦函

6

數(shù)圖象可確定最大值和最小值取得的點(diǎn)，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】解：(1)因?yàn)閚B，

所以2=J3sinx-cosx=0，

工日,sinxV3

十THtanx=-------=——

cosx3

又xe[0,句，所以x=工；

6

(2)f(x)=a-b=(sinx,cosx)

V3sinx-cosx

n5%

因?yàn)閄E[0,7T],所以x—

o~6'~6

從而—1?2sin[x——j?2

/rr'Tr)-rr

于是，當(dāng)x----——，即1=—時(shí)，/(x)取到最大值2；

623

當(dāng)X—2=一工，即x=0時(shí)，/(x)取到最小值T.

66

本題考查平面向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)最值

的求解問(wèn)題；求解三角函數(shù)最值的關(guān)鍵是能夠利用整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象來(lái)

進(jìn)行求解.

18.關(guān)于x的方程％2+(2?！?x—由+1=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】a=+\.

【分析】

設(shè)看是其實(shí)根，代入原方程，利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【詳解】設(shè)%是其實(shí)根，代入原方程變形為x；+2以。+1—(a+Xo)，=O,

xi+2axe+1=0

由復(fù)數(shù)相等的定義，得°:,解得。=±1.

a+/=0

19.某校為慶祝中華人民共和國(guó)建國(guó)70周年，以“，”為主題開展了“唱紅歌”比賽，工作人

員根據(jù)參賽選手的成績(jī)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

60<x<700.15

70<x<80m0.45

80<x<9060n

90Vx<100

請(qǐng)根據(jù)以上圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題:

（1）求上表中的數(shù)據(jù)加、〃的值；

（2）通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）比賽成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段？

（4）如果比賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的選手為獲獎(jiǎng)選手，那么我們隨機(jī)的從本次參

賽的所有選手中抽取出一個(gè)人，求恰好抽中獲獎(jiǎng)選手的概率？

2

【正確答案】（1）加=90,〃=0.3；（2）圖見解析；（3）70?80分；（4）

5

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)、頻率和樣本容量三者之間的關(guān)系可求得加、〃的值；

（2）計(jì)算出70至80分段以及90至100分段的人數(shù)，由此可補(bǔ)充條形圖；

（3）根據(jù)中位數(shù)的定義以及條形圖可得出中位數(shù)所在的分?jǐn)?shù)段；

（4）計(jì)算出比賽成績(jī)?cè)?0分的選手所占的頻率，由此可得出結(jié)論.

【詳解】（1）總?cè)藬?shù)=四=200（人），，加=200x0.45=90,〃=史=0.3；

0.15200

（2）由（1）的計(jì)算知70至80分段的人數(shù)為90人,

90至100分段的人數(shù)為200-30-90-60=20A,

補(bǔ)全條形圖如下圖所示：

頻數(shù)

(3)比賽成績(jī)?cè)?0?70的人數(shù)為30<100,比賽成績(jī)?cè)?0?80的人數(shù)為

30+90=120>100,

因此，比賽成績(jī)的中位數(shù)落在70?80分；

(4)恰好抽中獲獎(jiǎng)選手的概率為.竺士型=2

2005

本題考查條形圖的應(yīng)用，同時(shí)也考查了中位數(shù)、頻率的計(jì)算以及條形統(tǒng)計(jì)圖的完善，屬于基

礎(chǔ)題.

20.已知函數(shù)f(%)=2V3sinxcosx-3sin2x-cos2x+2.

71

(1)當(dāng)xe0,-時(shí)，求/(x)的值域；

(2)若A48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c且滿足^=百，

a

sm(2/+C)=2+2cos(z+。)，求f?的值.

sin/

【正確答案】⑴[T2]；(2)1.

【詳解】試題分析：(1)先根據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再

根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域，(2)先根據(jù)兩角和正弦公式展開化簡(jiǎn)sm(2"+C)

siiL4

=2+2cos(Z+C”與sinC=2siiL4,由正弦定理得c=2a,再根據(jù)余弦定理得3=。，

代入/⑴得外8)值.

試題解析：(1)f(x)=2V3sinxcosx-3sin2x-cos2x+2=V3sin2x-2sin2x+1

=V3sin2x+cos2x=2sin[2x+?

r-|rn~\f\r1

xG0,—,2xH—G—.—,sin2xH—E.—.1；?/(x)e[-1,2].

L2j6L66JI6JL2

（2）由題意可得sin［/+（/+C）］=2siib4+2siiL4cos（4+C）有，

siib4cos（4+C）+cosZsin（Z+C）=2siib4+2siib4cos（4+C）,

化簡(jiǎn)可得：sinC=2siiL4,???由正弦定理可得：c=2a,丁6二屆，，余弦定理可得:

a1+c2-b2Q?+4/—3Q2I，\-0<B<7T,'-b=^所以/（B）=L

cos5=

lac2a-2a

21.如圖所示，在長(zhǎng)方體48CD—451GA中，4D=，4=1,48=2,點(diǎn)￡是/8的中

點(diǎn).

4

A

(1)證明：8。］//平面4?！?；

(2)證明：DXE1AXD；

(3)求二面角?！闏—。的正切值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)注.

2

【分析】(1)連接401交4。于點(diǎn)。，連接￡0,易得?！?/5〃，再利用線面平行的判

定定理證明.

(2)由長(zhǎng)方體的特征得到48,4口，再由4。，401,利用線面垂直的判定定理證得

4。，平面AD{E即可.

(3)易得CELDE,再由2。，平面48CD,CEu平面48CD,得到CE，，。，可

得CE±平面DQE,由“〔ED是二面角D.-EC-D的平面角求解.

【詳解】(1)如圖所示:

連接401交4。于點(diǎn)。，連接E0,則。為401的中點(diǎn).

是Z8的中點(diǎn)，，0EIIBD、

又0Eu平面&DE,BD[<Z平面&DE,

5。"/平面4?！?

(2)由題意可知，四邊形是正方形，

/.AiD±AD{,

'：AB1平面4DD4,AXDu平面4DD4,

AB1ADX.

：ZBu平面/口￡,ZRu平面/RE,AB^AD1=A,

/.4。，平面

又。i￡u平面/RE,

AXD1D{E,即乎

(3)在△(?￡￡)中，CD=2,DEZM+AE?=也，CE=y/cB2+BE2=42<

：.CE±DE

DXD1平面ABCD,CEu平面ABCD,

：.CELDQ.

D[Du平面D[DE,DEu平面DXDE,D}DcDE=D,

CEL平面。1Q￡.

又；￡>]￡<=平面〃￡)￡,

:.CE工D[E.

，/RED是二面角D「EC—D的平面角.

在AAD[ED中，：ZDQE=90°,D1D=1,DE=6，

,tanZD.ED=^-1_V2

1DE

.?.二面角。i—EC—。的正切值為42.

2

方法點(diǎn)睛：幾何法求線線角、線面角、二面角的常用方法：

（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的

平行線平移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

（2）線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化

到一個(gè)三角形中求解.

（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見的有①定義法;

②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).

22.如圖所示，已知在三棱錐/—APC中，APLPC,ACLBC,M為48的中點(diǎn)，D為

依的中點(diǎn)，且為正三角形.

（I）求證：￡>/〃平面4PC；

（II）求證：平面48cl平面4PC；

（III）若8C=4,48=20,求三棱錐￡>—的體積.

【正確答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）1077

【分析】

(1)先證。M〃4P,可證DM7/平面4PC.

(2)先證AP1平面PBC,得4P，BC,結(jié)合AC上BC可證得BC1平面APC.

(3)等積轉(zhuǎn)換，由%_BCM=G-DBC，可求得體積.

【詳解】證明：因?yàn)镸為48的中點(diǎn)，。為尸8的中點(diǎn)，

所以是A48尸的中位線，MDPAP.

又平面4PC,4Pu平面4PC,

所以平面4PC.

(2)證明：因?yàn)闉檎切危?。為?的中點(diǎn)，所以

又MDPAP,所以4P_LP3.

又因?yàn)?尸，PC,PBC\PC=P,所以平面PBC.

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以4PL8C.

又因?yàn)锽C±AC,ACr>AP=A,

所以3C1平面/PC.

⑶因?yàn)槠矫媸?C,MDPAP,

所以必)，平面P8C,即必)是三棱錐M-￡>8C的高.

因?yàn)镹3=20,M為Z3的中點(diǎn)，為正三角形，

所以PB=MB=\O,MD=2MB=5區(qū)

2

由8cl平面4PC,可得BCLPC,

在直角三角形PC8中，由尸8=10,BC=4,可得PC=2亞.

于'是SABCD=35ABCP=^義3義4義2巧^=-

，D-BCM——M-DBC—§^ABCD8^^一~X2yX5>/3=1OA/7

關(guān)鍵點(diǎn)睛：三棱錐的體積直接求不便時(shí)，常采用等積轉(zhuǎn)換的方法，選擇易求的底面積和高來(lái)

求體積.

2023-2024學(xué)年福建省南平市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1(5_z)_(3_，)_5i等于(

A.5zB.2—5zC.2+5zD.2

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算即可求解.

［詳解］(5—z)—(3—/)—5z=5—z—3+z—5z=2—5z.

故選：B

2.是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么A/BC的斜二測(cè)平面直觀圖△⑷8'?！拿娣e（）

「V3

A.國(guó)D.---------V/.-----------D.是

16884

【正確答案】A

【分析】先求出原三角形的面積，再根據(jù)原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系即可得解.

【詳解】以48所在直線為x軸，線段48的垂直平分線為了軸，建立直角坐標(biāo)系,

畫對(duì)應(yīng)的x'軸，軸，使Nx'O'y'=45°,如下圖所示,

結(jié)合圖形，A/BC的面積為s=-x^5x(9C=-xlx—=—,

作垂足為」,

則。。=^x℃=立x,xOC=9OC,AB=AB'，

2224

所以AZ'B'C'的面積S40。=~xAB'xCD=-x—xOCxAB=—xS,

oc2444BC

s5

即原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為詈晝=T,

S原圖4

所以，△⑷*。的面積為s=Y2xd5=YG.

“BC4416

故選：A.

本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知a是銳角，a=(-1,1),S=(coscr,since),且￡_LB，則0為()

A.30°B.45°C.60°D.30°或

60°

【正確答案】B

【分析】

由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)論.

【詳解】Vtz=(-1,1),6=(costz,sincr),且Z_L加，

a-b=-cosa+siner=0>求得cosa=sina,tan(z=1,

由a是銳角，所以&=45°.

故選：B.

本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、已知三角函數(shù)值求角.

3

4.在“8。中，角A、B、。所對(duì)的邊分別是a、b、c,若c=l,8=45°,cosN=—,

5

則b等于()

3105572

A.-B.—C.一D.

57714

【正確答案】C

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sin4,進(jìn)而可得

cosC=-(cosAcosB-sinAsinB),再利用正弦定理即可得出.

3

【詳解】解：Qcos/:二，^e(0°,180°).

sinA="一cos2A=—,

5

cosC=-cos(4+5)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-(gx~~~~x

Io-

sinC=vl-cosC=-----

10

由正弦定理可得："一=

sin5sinC

4i

7csinBE=5

b=--------

sinC7V27-

記

故選：c.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、正弦定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力與

計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對(duì)立事件的是()

A,至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)B.至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶

數(shù)

C.至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù)D.恰有一個(gè)偶數(shù)和沒(méi)有偶數(shù)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念,依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】從123,4,5中任取兩個(gè)數(shù)

對(duì)于A,至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)，兩個(gè)事件有重復(fù)，所以不是互斥事件，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)，兩個(gè)事件互斥,且為對(duì)立事件，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)事件有重復(fù)，所以不是互斥事件，所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,恰有一個(gè)偶數(shù)和沒(méi)有偶數(shù)，為互斥事件.且還有一種可能為兩個(gè)都是偶數(shù)，所以兩個(gè)事

件互斥且不對(duì)立，所以D正確.

綜上可知,D為正確選項(xiàng)

故選:D

本題考查了互斥事件與對(duì)立事件的概念和判斷,屬于基礎(chǔ)題.

6.已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面邊長(zhǎng)為3cm,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是360加，

則這個(gè)正四棱柱的表面積為

A.90cm2B.36y[5cm2C.72cmiD.54cm2

【正確答案】A

【分析】

求出側(cè)棱長(zhǎng)，再求出側(cè)面積和兩個(gè)底面積，即可得表面積.

【詳解】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為7（3A/5）2-32=6.

所以表面積為：5=4x3x6+2x32=90（。加2）.

故選：A.

本題考查棱柱的表面積，解題關(guān)鍵是求出側(cè)棱長(zhǎng).

7.利用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（）

①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形

的直觀圖是平行四邊形；④梯形的直觀圖是梯形.

A.①②B.③④C.①③D.②④

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，所以①錯(cuò)；

兩條垂直直線的直觀圖是兩條相交但不垂直的直線，所以②錯(cuò)；

根據(jù)直觀圖的畫法中，平行性保持不變，可得③，④正確.

故選：B.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法以及應(yīng)用，其中解答中熟記斜二測(cè)畫法的規(guī)則，畫

出平面圖形的直觀圖是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

8.已知樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且樣本的

中位數(shù)為10.5,若使該樣本的方差最小，則。，b的值分別為（）.

A.10,11B.10.5,9.5C.10.4,10.6D.10.5,

10.5

【正確答案】D

【分析】

利用中位數(shù)可得6=21-。，要使該樣本的方差最小，只需(a-10)2+(6-10)2最小，將

b=21-a代入，配方即可求解.

【詳解】由于樣本共有10個(gè)值，且中間兩個(gè)數(shù)為。，b,

依題意，得"2=io.5,即6=21—a.

2

因?yàn)槠骄鶖?shù)為(2+3+3+7+?+6+12+13.7+18.3+20)-10=10,

所以要使該樣本的方差最小，只需(a-10)2+伍-10)2最小.

又(a-10)2+(6-10)2=(a-10『+(21-a-IO)?=2/—42a+221,

—42

所以當(dāng)a=-----=10.5時(shí)，(a—10)一9+(b—10)一9最小，此時(shí)b=10.5.

2x2

故選：D

本題考查了樣本數(shù)據(jù)、方差，需熟記方差的計(jì)算公式，考查了基本知識(shí)的掌握情況，屬于基

礎(chǔ)題.

二、多項(xiàng)選擇題.(本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.)

9.小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲公平的有()

A.拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝

B.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝

C.從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華

獲勝

D.小明、小華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝

【正確答案】ACD

【分析】在四個(gè)選項(xiàng)中分別列出小明與小華獲勝的情況，由此判斷兩人獲勝是否為等可能事

件.

【詳解】解：對(duì)于/，拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)是等可能的，

所以游戲公平；

對(duì)于8,恰有一枚正面向上包括(正，反),(反，正)兩種情況，而兩枚都正面向上僅有(正,

正)一種情況，

所以游戲不公平；

對(duì)于C,從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色和撲克牌是黑色是等可能的,

所以游戲公平；

對(duì)于。，小明、小華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8,一共四種情況：(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)；

兩人寫的數(shù)字相同和兩人寫的數(shù)字不同是等可能的，所以游戲公平.

故選：ACD.

本題考查等可能事件的判斷，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.對(duì)于三角形N2C,有如下判斷，其中正確的判斷是()

A.若sin2/+sin25<sin2。，則三角形N3C是鈍角三角形

B.若Z>4,則sin^4>sinB

C.若。=8,c=10,8=60。，則符合條件的三角形48c有兩個(gè)

D.若三角形48c為斜三角形，貝Utan/+tan8+tanC=tanZtanBtanC

【正確答案】ABD

【分析】

對(duì)于A,先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，再利用余弦定理可判斷三角形的角的大小;

對(duì)于B,由三角形中大角對(duì)大邊，再結(jié)合正弦定理判斷；對(duì)于C,利用余弦定理求解即可；

對(duì)于D,利用三角函數(shù)恒等變換公式判斷

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閟WN+sWBVsidC,所以由正弦定理得/,所以

Mh2-e2

COSC=^—+^一—<0,所以。為鈍角，所以三角形/8C是鈍角三角形，所以A正確;

2ab

對(duì)于B,因?yàn)?>3,所以a>6,所以由正弦定理得sin/>sin3,所以B正確；

對(duì)于C,由余弦定理得，b1=a^+c2-laccosB=64+100-2x8xl0x—=84,所以

2

b=2瓜,所以符合條件的三角形NBC有一個(gè)，所以C錯(cuò)誤；

tanB+tanC

對(duì)于D,因?yàn)閠an(8+C)=

1-tanBtanC

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)

因?yàn)閠an(5+C)=tanQr-/)=-tanA,

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)=tanAtanBtanC-tanA,

所以tanZ+tanB+tanC=tanZtan8tanC,所以D正確，

故選：ABD

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(a+i)(l+2z),則下列命題正確的是()

A.若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)°的值為2

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4，2)

2

C.實(shí)數(shù)a=—-是z=^(亍為z的共輾復(fù)數(shù))的充要條件

2

D.若z+|2|=x+5z(xeR),則實(shí)數(shù)。的值為2

【正確答案】ACD

【分析】首先應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法得z=a-2+(l+2a)i,再根據(jù)純虛數(shù)概念、復(fù)數(shù)所在象限，

以及與共甄復(fù)數(shù)或另一個(gè)復(fù)數(shù)相等，求參數(shù)的值或范圍，進(jìn)而可確定選項(xiàng)的正誤

［詳解］z=(<7+z)(l+2z)=a-2+(1+2a)i

a—2=0

...選項(xiàng)A：z為純虛數(shù)，有〈八可得a=2,故正確

1+2"0

a—2<01

選項(xiàng)B：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，有<八解得a<--,故錯(cuò)誤

［l+2a<02

151

選項(xiàng)C：a=—時(shí)，z=z=—；z=N時(shí)，1+2。=0即。=—，它們互為充要條件，

222

故正確

選項(xiàng)D：2+|2|=x+5z(xeR)時(shí)，有l(wèi)+2a=5,即a=2,故正確

故選：ACD

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及分類和概念，應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及性

質(zhì)、相等關(guān)系等確定參數(shù)的值或范圍

12.如圖，在正方形ABCD中，E,尸分別是8C,CD的中點(diǎn)，G是跖的中點(diǎn).現(xiàn)在沿/E,

//及M把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B,C,。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為〃，下

列說(shuō)法正確的是()

ADH

A./Gl?平面EF/7B.4LL平面EFZ7C.〃F_L平面4E77口.如_1平

面4EF

【正確答案】BC

【分析】由題意可得，AHLHE,AHLHF,HF±HE,從而利用線面垂直的判定定理可得

/8_L平面EFH,〃F_L平面進(jìn)而可得答案

【詳解】解：由題意可得：AHLHE,AHLHF.

.../77_L平面￡切，而/G與平面￡7出不垂直....B正確，/不正確.

又HFLHE,平