2024高考數(shù)學(xué)九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【考查目標(biāo)】樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)

【解題思路】排序再找中位數(shù)

【命題考向趨勢】樣本數(shù)據(jù)涉及到的概念【備考復(fù)習(xí)建議】樣本數(shù)據(jù)相關(guān)概念

1.B【解析】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

V-21

2.橢圓。+V=i（a>i）的離心率為彳，則4=（）

a2

A.空B.y[2C.6D.2

3

【考查目標(biāo)】橢圓性質(zhì)、離心率

【解題思路】a、b、c關(guān)系及離心率公式

【命題考向趨勢】橢圓的基本性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握橢圓基本性質(zhì)

2.A【解析】由題意得6=也三=_1,解得.=氈，

a23

【知識鏈接】橢圓離心率專題

求離心率常用公式公式1：e=￡

a

公式2：e=J1一與

22

公式3:已知橢圓方程為兩焦點分別為”，設(shè)焦點三角形”

sin(a+/?)

“3=外小述=尸,則橢圓的離心率

sin(7+sinp

證明：N/耳馬=a,N/鳥耳=/7,

\PF\_\PF\

由正弦定理得:sin（i80;;a-尸）2t

sinasin[3

|至|_\PFt\+\PF2\2c2a

由等比定理得:—LAJ

sin(a+p)sina+sin/?'sin(a+〃)sina+sinp

c_sin(a+J3)

asina+sin(3

公式4:以橢圓工+匚=1（。＞。＞0）兩焦點耳,心及橢圓上任一點尸（除長軸兩端點外）為

ah

cos~

頂點=a,NP6耳="則2

ea-f3

cos

2

證明：由正弦定理有駕=9=弟=『;

smpsinasine/sin（a+p）

c.a+￡a+/3a+B

ILLI?/.2sin------cos.......-cos------

I"居|=sin(a+4)22.￡2

夕汕。+二夕。a-B

\PFi\+\PF,\sina+sin25/.05?cos-----

222

TT

公式5:點尸是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為e,6e0,耳,攵為直線

AB的斜率，且人尸=；1所（/1〉0）,則6=，+/丁7當(dāng)曲線焦點在，軸上時，e

4+1

?2一A/71BF曰AFBF

汪:'=而或者4=至而不足花或瓦

3.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“,%+%=6,《2=17,則九=（）

A.120B.140C.160D.180

【考查目標(biāo)】等差數(shù)列通項公式及前n項和公式

【解題思路】公式應(yīng)用

【命題考向趨勢】等差數(shù)列通項公式及前n項和公式綜合運用

【備考復(fù)習(xí)建議】對等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的理解

3.C【解析】因為%+。7=2%=6,所以為=3,所以％+42=3+17=20,

所以九=("學(xué))、16=8(%+/)=160

【知識鏈接】

1.等差數(shù)列的前"項和公式

公式一

證明：(倒序相加法)S”=4+4+4++??-1+??①,S”=。,+a,i+%-2++%+/②，由①+

②得2s“=(4+4,)+(%+”“7)+(%+。,,一2)++(4+4),因為4+4=%+勾1=4+4-2==。"+4,

所以25,,="3+q)，由此得

n(n-1)d

公式二：S,=〃4+

2

c.〃(4+4)n(n-1)d

證明：將a,=6+5T)d代入

”-2可得sn叫

2.前"項和與函數(shù)關(guān)系

由5“令A(yù)==則；

2

Sn=An+Bn(A,B為常數(shù)).

(1)當(dāng)2=0即A=0時,s“=8〃=〃《,s"是關(guān)于"的一4"一次函數(shù);它的圖像是在直線y=qx

上的一群孤立的點.

(2)當(dāng)"力0即時,*是關(guān)于"的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線

y=Ax?+以上的一群孤立的點.

①當(dāng)d>0時,S“有最小值；

②當(dāng)"<0時,S”有最大值.

4.設(shè)a,￡是兩個平面，加,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是()

A.若aJ_P，加〃刀,/〃夕,則m_!_/B.若mua,lu0、m〃/,則a〃4

C.若aiB=m,l〃a、l〃B,貝ijm〃/D.若m【a,l10,m〃I,則。_1/

【考查目標(biāo)】空間線面的位置關(guān)系

【解題思路】空間線面位置關(guān)系簡圖或利用周邊環(huán)境想象思考【命題考向趨勢】空間線

面的位置關(guān)系

【備考復(fù)習(xí)建議】理解空間線面位置關(guān)系

4.C【解析】對于A,〃，,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，

對于B,。,夕可能相交或平行，故B錯誤，

對于D,以〃可能相交或平行，故D錯誤，

由線面平行性質(zhì)得C正確，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

()

A.20種B.16種C.12種D.8種

【考查目標(biāo)】排列組合

【解題思路】先排乙丙，再排甲

【命題考向趨勢】排列組合應(yīng)用【備考復(fù)習(xí)建議】排列組合靈活應(yīng)用

5.B【解析】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A；xA；xA；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A；xA；xA；=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

【知識鏈接】

一、分類與計數(shù)原理

1、分類加法計數(shù)原理的概念

完成一件事可以有九類方案，各類方案相互獨立，在第一類方案中加1種不同方法，在第

二類方案中小2種不同方法…在第九類方案中6rl種不同方法，那么完成這個件事共有

N=mi+ni2+…+嗎1種方法.

2、分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有加1種方法，做第二步有加2種方法

做3、兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

聯(lián)系兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言

區(qū)別一每類方法都能獨立完成這件每一步得到的只是中間結(jié)果，

事，它是獨立的、一次的，且每任何一步都不能獨立完成這件事，

種方法，那么瀚解酬崛藉蟒版博需切秋?-M有榔螭聚都完成了才能完成這

方法就可完成這件事.件事.

區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并各步之間是相互依存，并且既

列的、獨立的.不能重復(fù)也不能遺漏.

二、排列與排列數(shù)

1.排列與排列數(shù)：一般地，從幾個不同元素中取出2個元素，按一定順序排成一

列，叫作從幾個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同

元素中取出小個元素的排列數(shù)，用符號A7表示.

2.排列數(shù)公式：An=n(n—l)(n—2)(n—3)--?(n—m+1)=丁(小me/V*且m<

九).九個不同元素全部取出的一個排列，叫作九個的一個全排列.這個公式中m=九，即有

An=nl=n(n—l)(n—2)(n—3)???2x1.規(guī)定:0!=l.

三、組合與組合數(shù)

1.組合與組合數(shù)：一般地，從葭個不同元素中取出7n(7HW71)個元素合成一組，叫作從71個

不同元素中取出m個元素的一個組合，所有不同組合的個數(shù)，叫作從71個不同元素中取出m個

元素的組合數(shù)，用符號C針表示.

2.組合數(shù)公式：C/嗡-叢0且二/口二空吧】一辭菽（小加曠且加以）入個不同

元素全部取出的一個排列，叫作幾個的一個全排列.這個公式中771=n，規(guī)定：C°=l.

3.組合數(shù)性質(zhì)：

（1）C^=CJ}-m（九、meN*且加工九）；

（2）C,Z=C："+C：T（小meN*且7HW71）；

【變式】在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，

不同排列表示不同信息，若所有數(shù)字只有0和1則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字

相同的信息個數(shù)為（）

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】當(dāng)與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字各不相同時，這樣的信息個數(shù)只有1個；當(dāng)

與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字只有1個相同時，這樣的信息個數(shù)只有4個；當(dāng)與信息0110

對應(yīng)位置上的數(shù)字只有2個相同時，只需從四個位置中選出兩個位置使相應(yīng)的數(shù)字相同，有

C：種方法，剩下的兩個位置上的數(shù)字對應(yīng)不相同，只有1種可能，故此時共有個不同的

信息.根據(jù)分類原理知共有：1+4+*=11個不同信息.故選B.

6.已知0為直線/：x+2y+l=。上的動點，點尸滿足QP=（l,-3）,記P的軌跡為E,則

（）

A.E是一個半徑為6的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為石D.E是兩條平行直線

【考查目標(biāo)】平面向量的坐標(biāo)運算、平行線間的距離公式

【解題思路】先確定動點Q的坐標(biāo)，再設(shè)點P,利用向量坐標(biāo)運算建立等量關(guān)系，求出P

的軌跡E再用平行線間的距離公式求解即可

【命題考向趨勢】平面向量的坐標(biāo)運算、平行線間的距離公式【備考復(fù)習(xí)建議】平面向

量的坐標(biāo)運算、點到直線距離公式

6.C【解析】設(shè)P（x,y）,由QP=（l,—3）,則。（x—l,y+3）,

由。在直線/：x+2y+l=0上，故l+2（y+3）+l=O,

化簡得x+2y+6=0,即尸軌跡為E為直線且與直線/平行,

E上的點到/的距離d=J，二"石,故人、B、D錯誤，C正確.

A/1L2+22

【點評】將軌跡方程、平面向量的坐標(biāo)運算、直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的

距離公式等知識綜合起來，考查直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等基礎(chǔ)

知識、基本方法的理解和掌握。該題立足基礎(chǔ)知識，計算量小，強調(diào)知識之間的綜合和應(yīng)

用，很好檢測了考生的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有良好導(dǎo)向性，發(fā)揮了服務(wù)選才功能。

7.已知夕《辛,萬),tan2e=Ttan(6+?(

則熹黑T)

_1_33

A.B.C.1D.

442

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，注意定義域【命題考向趨勢】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

化簡

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式靈活運用

7.A【解析】由題ee(3T兀，7rj，tan2e=_4tan|e+：J,

4

2tan6-4(tan6+l)

得=>-4(tan^+l)'=2tan0，

l-tan2^1一tan6

Jjli](2tan^+l)(tan^+2)=0=>tan^=-2^tan^=-^,

因為夕ee,7t),tan6e(-l,0),所以tan6=-；,

l+sin26_sin20+cos20+2sin^cos^_tan2^+l+2tan0[+1一]]

2cos2e+sin262cos2^+2sin^cos62+2tan6-2+7-1)~4

【點評】以簡單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關(guān)系為載體，該題題干簡潔，注重基

礎(chǔ)，難度適中，考查考生對基礎(chǔ)知識的理解、掌握及靈活應(yīng)用。

【知識鏈接】

1.兩角和與差的余弦

cos(tz+/?)=cosacos/?一sinasin(3變形cosacos一sinasinp-cos(a+/?)

cos(a-/?)=cosacos尸+sinasin(3變形cosacos尸+sinasin/?=cos(cr-4)

2.兩角和與差的正弦

sin(cr+/7)=sinacos[3+cosasinp變形sinacosp+cosasinp=sin(a+4)

sin(cr-/7)=sinacos°-cosasin°變形sinacosp-cosasin/?=sin(cr-p)

3.兩角和與差的正切

/小tana+tan>0/八、tana-tan￡一2

tan(a+/?)=—~~；tan(a-^)=—~~變形：

1-tanatanp1+tantanp

tana+tan/?=tan(a+/?)(!-tanatan/?)；tana+tan尸+tanatan尸tan(a+夕)=tan(a+P)；

八tana+tanB

tanatanp=f1-----------------

tan(a+0)'

兀

cos—+a=2cos(乃—a),則tan----a

【變式】已知(2)

A.-4B.4cjD5

［答案］C

【解析】因為8$仁+q=2??（乃-￡）,所以-sina=-2cosa=>tana=2,所以

1-tan

tanP-a=-；,故選c.

141+tan

22

8.設(shè)雙曲線C:=-馬=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為后，K，過坐標(biāo)原點的直線與

a-b-

C交于A3兩點，恒卻=2內(nèi)=則C的離心率為（）

A.V2B.2C.75D.V7

【考查目標(biāo)】雙曲線離心率與向量的結(jié)合

【解題思路】雙曲線與向量的結(jié)合

【命題考向趨勢】雙曲線與平面向量有機結(jié)合

【備考復(fù)習(xí)建議】雙曲線與平面向量有機結(jié)合

8.D【解析】由雙曲線的對稱性可知|耳4|=|瑪目,

\FtB\=\F2A\,有四邊形A6BK為平行四邊形，

令陽刈=|鳥叫=",則國身=|與4|=2加,

由雙曲線定義可知|《山-|耳川=2。，故有2/〃-〃?=2a,

即加=2a,即忻川=后卻=加=2。，W@=怩川=4°,

cos2

F2A-F2B=|^2^|■I=2ax4acosZAF2B=4a,則cosNAK8=g,即

97r

ZAF2B=^,故/鳥8耳=方，則有

22

cos4BF-恒周1（4a『+（2療-（2c）［1

Z-r^Dr._一IM+；IM;~;——,

1

22\F,B\-\F2B\2x4ax2a2

20?2-4C2120

,H叩n-,則e?=7,由e>l,故e=V7.

16a2216162

【點評】以雙曲線為載體，考查雙曲線、向量的基本概念和性質(zhì)。該題深入考查邏輯思維

能力、運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強調(diào)對知識的綜合理解和靈活應(yīng)用的能力。試題符合

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，很好引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。需要從雙曲線的定義出發(fā)進(jìn)行分析，對

直觀想象與數(shù)學(xué)運算能力有一定要求。

【知識鏈接】雙曲線的離心率專題

求離心率常用公式公式1：e=-

a

公式2：e=J1+]

22

公式3：己知雙曲線方程為十A叱叱。）兩焦點分別為耳儲,設(shè)焦點三角形

PF,F2/PF\F2=a/PFE=4,則*+尸,

|sma-sinp\

證明：NP￡K=a,N尸乙片=耳,

由正弦定理得:

2asin(a+4)

由等比定理得：即---------------=-------------------，?.e

sin(a+尸)sina-sin(3a|sina-sin

22

公式4:以雙曲線0-斗=1(。＞0力＞())的兩個焦點耳、鳥及雙曲線上任意一點P(除實軸

ab

?/3+a

sin-------

上兩個端點外)為頂點的耳鳥=a,NPB6="則離心率e=一六一。#夕)

.p-Ct

sin匚------

2

證明：由正弦定理，有吟=四=嗜=收

sinpsinasin，sm(a+p)

sin尸一sinasin(a+/?)

a_

a+/3

即B+a.(3-a.￡+aXo<a+/3<7i,cos。0,e

cos--sin—sin—?cos-------2

2222

.4+a

sin-------

￡=___2_

a-p-a

sin-------

2

TT

公式5:點F是雙曲線焦點，過?弦$人8$與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線

AB斜率，4尸=/必(；1＞()),則e=

4—1

當(dāng)曲線焦點在，.軸上時，e=

I+i

件AF—型.BF右才曰AF?BF

汪：/=——或者4=——而不是——或一

BFAFABAB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

3兀

9.已知函數(shù)〃x)=sin2x++cosr+v，貝I()

A.函數(shù)為偶函數(shù)B.曲線y=."x)的對稱軸為x

C./(x)在區(qū)間單調(diào)遞增D.“X)的最小值為-2

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖像性質(zhì)

【解題思路】三角函數(shù)化簡再結(jié)合圖象分析【命題考向趨勢】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)圖象性質(zhì)靈活運用

9.AC【解析】〃x)=sin(2x+菅+cos(2x+爸

._3兀.3兀__3兀.-.3兀

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-----sin2xsin—

4444

5/25/2y/25/2.1-.

=-----sin2尤H-----cos2x-------cos2x------sin2x=-\/2sin2x,

2222

即/(x)=-V2sin2x,

對于A,71-v-^J=-V2sin^2x—|J=>/2cos2x,易知為偶函數(shù),所以A正確；

對于B,f(x)=-V5sin2x對稱軸為2%=二+A兀,Z='+包，AeZ,故B錯誤；

''242

對于C,無出馬,2xe停,兀),y=sin2x單調(diào)遞減，則

/(x)=—V5sin2x單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,/(x)=-V2sin2x,貝)加2%€卜1』，所以/(力工一出,夜］,故D錯誤；

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則()

Z22_______Z_Z

A.z"=|z|2B.==--yC.z—w=z—wD.

ZIZ|W卬

10.BCD

【考查目標(biāo)】復(fù)數(shù)的運算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模

【解題思路】靈活運用復(fù)數(shù)的運算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模解決問題【命題考向趨勢】較復(fù)

雜的復(fù)數(shù)的有關(guān)運算

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模、共輒復(fù)數(shù)

【解析】設(shè)2=。+例(a,beR)、w=c+d\(C,4/GR)；

對A：設(shè)2=。+切力eR),貝Uz?=(a+bi)-="+2a/?i/-b?+2a0i,

|2『=(，3+/)=/+〃，故A錯誤；

2_2

對B：N=J又Jz=W，即有？=鼻，故B正確；

zz?zZ|z「

對C：z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-dy,則z-w=a-c-(<b-d)i,

z=a—bi，w=c—di>則z—w=a一歷一c+M=a—c——

即有z—w=z—w，故C正確;

za+〃i(a+歷)(c-di)ac+bd-^ad—he)i

對D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+J2

1^ac+bdY_(ad-bc^_la2c2-\-2ahcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2

FIR

_\a2c2+b2d2+a2d2+b2c2_yla2c2+b2d2+a2d2+b2c2

―《(c2+J2)2-c2+d2，

|z|=/+非==#2+^C,2+屋)

Hyjc2+d2c2+d2c2+d2

?*十年哽2些,故文口，故D正確.

【點評】以復(fù)數(shù)為載體，考查復(fù)數(shù)、共枕復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，強

調(diào)對高中數(shù)學(xué)基本概念、基本運算的掌握，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的要求，較好引導(dǎo)復(fù)

數(shù)教學(xué)，考查學(xué)生邏輯思維能力和運算求解能力。

【知識鏈接】

1.復(fù)數(shù)的定義

形如a+砥〃,h€/?)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a叫復(fù)數(shù)的實部，6叫復(fù)數(shù)的虛部，，為虛數(shù)單位且規(guī)定i2=-l.

要點詮釋：(1)因為實數(shù)?？蓪懗伞?Oxi,所以實數(shù)一定是復(fù)數(shù);

(2)復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫復(fù)數(shù)集，記為C

2.虛數(shù)單位i的周期性

計算得i0=l,i'=i,i2=-l,i3=-i,繼續(xù)計算可知i具有周期性，且最小正周期為4，故

有如下性質(zhì)：

⑴i"'=1『向=川田==-(〃wN*);

4+24n+3

(2)產(chǎn)+i^'+i?+i=0(net.*).

3.復(fù)數(shù)核心運算

m+nOT

1.運算律：(l)z"\z"=z;(2)(z)"=z'"";(3)(z「z2)'"=z；"-zf(見neN).

2.模的性質(zhì)：(1)|斗2|=|4岡；(2)五=3乂3)—=|2|";(4”與=⑶2.

z?Iz?I

3.重要結(jié)論：

22222

(1)h-z2|+|z+z/=2(|zJ+|z2|);z-z=|2|=|2|

(2)(1±i)2=±2;;--L=-i;"Li;

1+/1-Z

(3)6y=1=(。—1)(療+0+])=o。i或&二一;±

11.已知函數(shù)的定義域為R,且噌卜0,若〃x+y)+/(x)/(y)=4取，則

()

A.?。徊?B.佃=-2

C.函數(shù)/卜-1是偶函數(shù)D.函數(shù)/是減函數(shù)

【考查目標(biāo)】抽象函數(shù)性質(zhì)

【解題思路】特殊值帶入尋找解題路徑【命題考向趨勢】抽象函數(shù)變化

【備考復(fù)習(xí)建議】理清抽象函數(shù)的特點屬性

11.ABD【解析】令x=（y=o,則有/(；)+/[)x/(o)=/(￡)[i+/(o)]=o,

又故1+/(0)=0,即/(O)=T,

￡1

令尤y

22

一1,由/（0）=-1,可得了"1/

=0,

有1--j=-2（x+1）=-2x-2,KP/+—j=-2x-2,

即函數(shù)/（x+g）是減函數(shù)，

令x=l,有/（；）=一2*1=-2,

故B正確、C錯誤、D正確.

【點評】解答過程應(yīng)該是由題目條件得到/（0尸1，再進(jìn)一步得到/（-1/2尸0,由此導(dǎo)出

/（x-1/2）的表達(dá)式，最后得到./（X）的表達(dá)式。有關(guān)抽象函數(shù)的試題很多都是在奇偶性、周期性

的基礎(chǔ)上設(shè)計，類似題目多了難以避開程式化的誤區(qū)。第11題設(shè)計新穎，敘述簡潔，選項設(shè)

置符合題目內(nèi)在邏輯，且形式優(yōu)美對稱，是試題規(guī)范性的極好示例。

【知識鏈接】

1.周期概念理解

1.定義:設(shè)/(X)的定義城為力，若對VxeD,存在一個非零常數(shù)T,有/(x+7)=f(x)，則稱函數(shù)

/3)是一個周期函數(shù)，稱T為，x)的一個周期.

2.若Ax)是一個周期函數(shù)，則/(x+T)=/(幻,那么/(x+2T)=八x+T)=/(x),即2T也是/(》)的

一個周期，進(jìn)而可得kT(keZ,kK0)也是f(x)的一個周期.

3.最小正周期:若T為了⑴的一個周期，kT(keZ?工0)也是f(x)的一個周期,則在某些周期

函數(shù)中，往往存在周期中最小的正數(shù)，稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正

周期,比如常值函數(shù)f(x)=C就沒有最小正周期.

2.常見周期性結(jié)論

序號函數(shù)式滿足關(guān)系(xeK)周期

(1)/(x+n=/(x)T

(2)f(x+T)=-f(X)2T

函

f(x+T)=、;f(x+T)=2T

(3)/(x)/(x)

數(shù)

(4)f(x+T)=f(x-T)2T

周

f(x+a)=f(x+b)^,f(x-a)=f(x-b)\a-h\

期(5)

性(6)/(x+n=-/(x-T)AT

的，f(a+x)=f(a-x)

2a

(7)f(x)為偶函數(shù)

些f(a+x)=f(a-x)

2pz-/?|

(8)f(b+x)=f(b-x)

結(jié)

論f(a+x)=-f(a-x)

2a

(9)/(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-/(a-x)

21a-闿

(10)f(b+x)=-f[b-x)

f(a+x)=f(a-x)

4a

(11)J(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4。

(12)J(x)為偶函數(shù)

f(a+x)=f(a-x)

4,-闿

(13)f(b+x)=-f{b-x)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={—2,(),2,4},6=卜氏一3區(qū)時，若AcB=A,則〃?的最小值為

【考查目標(biāo)】集合交集運算、不等式

【解題思路】集合交集運算、不等式【命題考向趨勢】集合相關(guān)運算

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握集合相關(guān)運算

12.5【解析】由A8=A,故4勺3,由卜一3|4加，得一根+3Kx<m+3,

4<m+3m>1

故有<即《即m>5,即加的最小值為5.

—2>-m+3m>5

【點評】將集合、不等式、最值等知識有機結(jié)合起來，不僅考查了考生對集合的表示方

法、集合的交集運算性質(zhì)、集合間的關(guān)系、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識的掌握情況，而且考查

了數(shù)學(xué)中重要的分類和數(shù)形結(jié)合思想。該題題面簡潔，內(nèi)涵豐富，強調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系

與融合。

【知識鏈接】

1.集合技巧全攻略

交集AAnBcBAryA=AAc0=0Ar>B=Br\A

并集AuB^AAuA=AAu0=AA<JB=B<JA

補集

G/(G/A)=4CyU=0Cu0=U(QA)cA=0(CUA)<JA=U

2.集合的互異性

對于一個給定的集合，它的任意兩個元素是不能相同的.凡是出現(xiàn)含參數(shù)的集合，必須首先

考慮集合的互異性,即集合中元蘇不相等，例如集合4=匕4,則有

3.集合相等

對于兩個集合A與B,如果A=8,且B=那么集合A與8相等，記作A=8.

4.集合子集個數(shù)

真子集有（2"-1）個,非空真子集有（2"-2）個.

5.子集與交集

若AqB,則4八8=/1；若4門8=4,則A^B.

6.子集與并集

若A=B,則=若=則

7.子集與空集

題目中若有條件BgA,則應(yīng)分8=0和3H0兩種情況進(jìn)行討論.

8.并集與空集

由于Au0=A,因止匕=3中的4可以為0.

9.反演律（德摩根定律）

G（AC5）=（GA）D（C4）（交的補等于補的并）

G（AD8）=（C/A）C（C/）（并的補等于補的交）

10.容斥原理

用card(A)表示集合A中的元素個數(shù)(有資料中用|A|或其他符號)，則通過維恩圖可理解

其具備的二維運算性質(zhì)card(AuB)=card(A)+card(B)-card(AnB).

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐腦1，的體積與球

。的體積的比值是，圓錐MM'的衣而積與球。的表面積的比值是.

【考查目標(biāo)】圓錐軸截面概念、圓錐表面積、體積公式、球體表面積、體積公式

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件建立等量關(guān)系

【命題考向趨勢】圓錐軸截面概念、表面積、體積公式，球體體積、表面積公式

【備考復(fù)習(xí)建議】球體、錐體表面積、體積公式運用

13.答案：?.-②.1

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，，球的半徑為A,

因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高〃=6r,母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑/?=走「

2

所以圓錐的體積為V,=,x(兀=弓?兀，,

44Y

球的體積匕=耳兀R=］兀x—r=—Tir3,

所以*2

3

圓錐的表面積S1=izrl+nr2=3nr2,

73

球的表面積S2=47tR2=4nx3nr2，

(2J

所以『市=1'

【點評】以圓錐和球為載體，考查簡單幾何體的體積和表面積公式等基礎(chǔ)知識。該題背

景熟悉，計算量不大，要求考生能在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理、運算，融合考查了空間想

象、邏輯思維、運算求解等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

【知識鏈接】

1.多面體的表面積和體積公式

名稱側(cè)面積s側(cè)全面積5全體積V

棱棱柱直截面周長X/S底x力或S直截面x1

S側(cè)+2s底

柱直棱柱chS底微

1c,

棱錐各側(cè)面面積之和3s底/

棱

s側(cè)+§底

錐1

正棱錐—chs側(cè)

2

棱臺各側(cè)面面積之和

棱I〃（S上底+S下底+Js上底.S下底）

111s側(cè)+S上底+S下底

臺正棱臺—(c+c)/l

要點詮釋：表中S表示面積，c’,c分別表示上、下底面周長，〃表示高，/?’表示斜高，/表示

側(cè)棱長

2.旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式

名稱側(cè)面積5側(cè)全面積s全體積V

圓柱2兀ri2"(/+r)兀，h（即冗，1）

2

圓錐兀rl7tr(l+r)-7rrh

3

圓臺乃（彳+吃）/%(彳+i2)l+7r(r^+4)g萬〃(d+今攵+4)

L3

球4兀R2

3

要點詮釋

表中"分別表示母線、高，表示圓柱圓錐的底面半徑，4,乃分別表示圓臺的上下底面半徑,

R表示球的半徑.

3.公式法

(1)柱體的體積公式：

(2)錐體的體積公式：V^=^Sh

(3)臺體的體積公式：％=g(S+S+炳)6

(4)球的體積：

5.正四面體與球的組合

正四面體的棱長為。，它的高為ga,體積為第/,外接球半徑為中-內(nèi)接半

徑為尊a.

12

6.表面積和體積最值問題

1.求棱長或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值.

2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小

值.

3.組合體中的最值問題一般思路：

(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平

面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；

(2)利用基本不等式或建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)方法

解決.

14.以maxAf表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0＜。＜人＜。＜1,已知》22”或。+人＜1,則

max{Z?-a,c—Z?,l—c}的最小值為.

14.〈或0.2

【考查目標(biāo)】不等式

【解題思路】最大值變量中的最小值辯證關(guān)【命題考向趨勢】不等式的靈活運用【備考

復(fù)習(xí)建議】注重概念深層次理解。

b=\-n-p

［解析］令人_〃=相,C_b=〃1_C=P，其中九所以，

a=i—m—n—p，

若022a,貝！|〃=1一〃一p22（l一加一〃一p）,故2根+力+〃21,