2023湘教版新教材高中數學選擇性必修第一冊同步練習-第2章 平面解析幾何初步綜合拔高練

綜合拔高練

五年高考練

考點1直線方程及其應用

1.（2020全國in文,8）點（0,-1）到直線y=k（x+l）距離的最大值為（）

A.lB.V2

C.V3D.2

2.（2019江蘇,10）在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+3x>0）上的一個動點，則點P到直線

x+y=0的距離的最小值是.

考點2點與圓、直線與圓的位置關系

3.（2020全國I文,6）已知圓x2+y2-6x=0,過點（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為

（）

A.lB.2

C.3D.4

4.（2020北京,5）已知半徑為1的圓經過點（3,4）,則其圓心到原點的距離的最小值為（）

A.4B.5

C.6D.7

5.（2020全國II理,5）若過點（2,1）的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（）

3^/5延

6.（多選X2021新高考H,11）已知直線l:ax+by-r2=0與圓C4+yZur2,點A（a,b）,則下列說法正確的

是（）

A.若點A在圓C上,則直線1與圓C相切

B.若點A在圓C內,則直線1與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線1與圓C相離

D.若點A在直線1上,則直線1與圓C相切

7.（2021天津/2）若斜率為b的直線與y軸交于點A,與圓x2+（y-l）2=l相切于點B,則

|AB|=.

8.（2020天津,12）已知直線x-V3y+8=0和圓x2+y2=r2（r>0）相交于A,B兩點.若|AB|=6,則r的值

為.

9.（2020浙江,15）已知直線y=kx+b（k>0）與圓x2+y2=l和圓（x-4）2+y2=l均相切，則

k=,b=.

考點3直線與圓的方程的綜合應用

10.（2020全國I理,11）已知。M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為1上的動點.過點P作。M

的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為（）

A.2x-y-l=0

B.2x+y-l=0

C.2x-y+l=0

D.2x+y+l=0

11.(多選)(2021新高考I』l)己知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點人(4,0)聞0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPBA最小時,|PB|=3企

D.當NPBA最大時,|PB|=3&

三年模擬練

應用實踐

1.(2022吉林長春外國語學校期末)若圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直線4x-3y-2=0的距離

等于1的點,則實數a的取值范圍是()

(2.(-8,一汕長,+8)

2.(2022山東德州期末)已知直線l:ax+y-2=0與圓C:(x-l)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點，則△ABC為

鈍角三角形的充要條件是()

A.aG(l,3)

B.aG(2-V3,2+V3)

C.aG(2-V3,l)U(l,2+V3)

D.aG(-oo,2-V3)U(2+V3,+oo)

3.(2021安徽阜陽太和一中月考)已知點P(t,t),teR,點M是圓x2+(y-l)2=/上的動點，點N是圓

(x-2>+y2蕓上的動點，則IPNHPMI的最大值是()

A.V5-1B.2

C.3D.V5

22

4.(2021江西南昌二中月考)已知圓Ci：(x-2>+y2=4,C2：(x-2-5cos0)+(y-5sin0)=l(eeR),aifflC2

上一點P作圓C)的兩條切線，切點分別是E,F,則屈?麗的最小值是()

A.6B.5

C.4D.3

5.(多選X2020山東泰安期中)古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內到兩個定點A,B的距離

之比為定值九(人/1)的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，

已知A(-42),B(2,2),點P滿足黑=2,設點P的軌跡為圓C,則下列結論正確的是()

A.圓C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16

B.過點A作圓C的切線，兩條切線的夾角為￡

C.過點A作直線1,若圓C上恰有三個點到直線1的距離為2,則直線1的斜率為土空

D.在直線y=2上存在異于A,B的兩點D,E,使得圈=2

6.(2022河南洛陽期末)直線kx-y+l-k=0與圓C:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點，則4ABC面積

的最大值為.

7.(2022安徽合肥一中期末)已知圓Ci：x2+y2-2x-4y+3=0,直線l:y=x-a(a>0).若直線1與圓Ci和圓

C2均相切于同一點，且圓C2經過點(4,-1),則圓C2的標準方程為.

8.(2022山西長治二中月考)如圖，在平面直角坐標系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,過點P(0,3)且斜率

為k的直線1與圓O交于不同的兩點A,B,點Q(0,1).

(1)若直線1的斜率k=&,求線段AB的長度；

(2)設直線QA,QB的斜率分別為ki,k2,求證:ki+k2為定值，并求出該定值；

(3)設線段AB的中點為M,是否存在直線1使|M0|=,|MQ|?若存在，求出直線1的方程;若不存在,

請說明理由.

遷移創(chuàng)新

9.(2020廣東佛山一中期中)規(guī)定:在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心

的位置，我們說球A是指該球的球心點A.兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動,

目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時,母球球心所指向目標球球心的方向.將所有的球都

簡化為平面上半徑為1的圓,且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面

直角坐標系，解決下列問題：

⑴如圖①,若母球A的位置為(0,0),目標球B的位置為(4,0),要使目標球B向B，(8,-4)處運動，求碰

撞前母球A的球心運動的直線方程；

⑵如圖②,若母球A的位置為(0,-2),目標球B的位置為(4,0),能否讓母球A擊打目標球B后，使

目標球B向B(8,-4)處運動？

⑶當A的位置為(0,a)時，使得母球A擊打目標球B,目標球B(4a,0)可以向能碰到目標球

C(7&,-5a)的方向運動，求a的最小值(只需要寫出結果即可).

圖②

答案與分層梯度式解析

五年高考練

1.B解法一:點(0,-1)到直線y=k(x+l)的距離d』.厚坐!=粵k注意到k2+122k,于是

Vk2+1Vfc2+1

2(k2+l)Nk2+2k+l=|k+lF,當且僅當k=l時取等號.即|k+l|WU2+1?所以￡1=嘴生或我,故點

V/C2+1

(0,-1)到直線y=k(x+l)距離的最大值為a.故選B.

解法二:由題意知，直線l:y=k(x+l)是過點P(-l,0)且斜率存在的直線，點Q(0,-l)到直線1的最大距

離在直線1與直線PQ垂直時取得，此時k=l,最大距離為|PQ仁a，故選B.

2.答案4

解析設P(%o^o+J,xo>O,則點P到直線x+y=0的距離d』.襄L或(x0+§24,當且僅當

xo=4即xo=a時等號成立.

X。

故點P到直線x+y=0的距離的最小值是4.

3.B圓x2+y2-6x=0化為(x-3)2+y2=9,所以圓心坐標為(3,0),設為C,半徑為3,

設P(l,2),當過點P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點P的直線的距離最大，所求的弦長最短,

此時|CP|=J(3-1)2+(0-2)2=2夜.

根據弦長公式得，最小值為2j9-|CP|2=25飛=2.故選B.

4.A設圓心為人儀,丫),由已知得⑨3)2+0-4)2=1,即人在以(3,4)為圓心、1為半徑的圓上，所以圓

心A到原點的距離的最小值為J(3-0)2+(4-0)2-1=54=4.故選A.

5.B設圓心為P(xo,yo),半徑為r「.?圓與x軸、y軸都相切,，廂仁伙仁!?，又..?圓經過點(2,1),，

x()=yo=i'且(2%))2+(1-丫0)2=於,，02)2+任-1)2=，,解得r=l或r=5.

①r=l時，圓心P(l,l),則圓心到直線2x-y-3=0的距離為產冏=竺;

舊+(-1)2s

②r=5時，圓心P(5,5),則圓心到直線2x-y-3=0的距離為-『二'=竺.故選B.

值+-5

6.ABD圓心C(0,0)到直線1的距離d=-

若點A(a,b)在圓C上，則a2+b2=a,所以(1=二=^=咻所以直線1與圓C相切，故A正確.

若點A(a,b)在圓C內，則a2+b2<M,所以d=高訓，所以直線1與圓C相離，故B正確.

若點A(a,b)在圓C外，則aZ+b?>!*2,所以(1=啟q<|r|,所以直線1與圓C相交，故C錯誤.

若點A(a,b)在直線1上，

則a2+b2-a=0,即aZ+b?/,所以d=-^====|r|,

所以直線1與圓C相切，故D正確.故選ABD.

7.答案V3

解析假設點A在x軸的上方，斜率為百的直線與x軸交于點D,則可得tan/ADO=K，所以

金增，如圖所示由圓的方程可得，圓的半徑IBCH,由于B為切點，所以AB_LBC,所以

|AB|=|BC|:

tanNE4c

8.答案5

2

解析設圓心(0,0)到直線X-V3y+8=O的距離為d,則d=1網=4,??.id蜉)+d2=32+42=25,X

JI2+(-V3)212)

r>0,/.r=5.

9.答案且;-理

l7p=7=(\b\=\4k+b\,庚=彳(舍非正數),

解析解法一油直線與圓相切的充要條件知出；=3

z

.詈町=1k\b\=yjk+16=2V3

\yjk2+lV—3

解法二:如圖所示.

10.DOM的標準方程為(x-l)2+(y-l)2=4,半徑r=2,圓心為如圖所示，由題可知,AB_LPM,

|PM|,|AB|=2S四邊形APBM=2(SAPAM+SAPBM)

=2(|PA|+|PB|),

V|PA|=|PB|,

/.|PM|?|AB|=4|PA|=4j|PM『-|AM|2

=471PM|2-4,

當|PM|最小時,|PM|?|AB|最小，易知|PM|min=；言=b,

此時|PA|=1,AB〃1,設直線AB的方程為y=-2x+b(bW-2),

圓心M到直線AB的距離d=整，

V5

ABI嗡磊??〃喈上MAF,

即等+蓑4,解得b=-l或b=7(舍去).

綜上所述，直線AB的方程為y=-2x-l,即2x+y+l=0,故選D.

11.ACD；A(4,0),B(0,2),.?.過點A,B的直線方程為花=1,即x+2y-4=0,設圓(x-5)2+(y-5)2=16的

圓心為C,則C(5,5),圓心C到直線x+2y-4=0的距離毀手產〉4,

.?.點P到直線AB的距離的范圍為［竿-4,竽+4］「..華<5,.?.竿-4<1,竿+4<9,.?.點P到直線

AB的距離小于10,但不一定大于2,故A正確,B錯誤;如圖所示,當過點B的直線與圓相切

時,NPBA最小或最大(P點位于Pi時NPBA最小，位于P2時NPBA最大)，此時

|BC|=J(5-0)2+(5—2)2=425+9=取,.?.|PIB|=|P2B|=J|BC|2-42=S^=3或，故C,D均正確.

三年模擬練

1.A將圓的方程化為標準形式得圓儀氣)2+。+2)2=16,所以圓心坐標為(好2),半徑r=4,因為圓

x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直線4x-3y-2=0的距離等于1的點，所以圓心到直線的距離d滿

足d0+l=5,即d=￥W5,解得ae卜號,管故選A.

5L44J

2.C圓C的圓心為C(l,a),半徑r=2,由于4ABC為等腰三角形，若該三角形為鈍角三角形，則

NCAB<45。,設圓心C到直線1的距離為d,則d=粵:則sinNCAB=&=^<[,整理可得

a2-4a+l<0,解得2-B<a<2+Vl易知直線1不過圓心C,則2a-2#0,解得aWL綜上所

述,aW(2-V5,1)U(1,2+百).故選C.

3.B設圓x2+(y-l)2乏的圓心為A,圓(x-2>+y2蕓的圓心為B,則A(0,l),B(2,0),則

44

|PNHPM|W|PB|+g-(|P*-3=|PBHPA|+1,設點A關于直線y=x的對稱點為A：則A<1,O),則

|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1W|A'B|+1=2,故選B.

XCOS2

4.A由C2：(-2-50)+(y-5sin0)2=l(0CR)可得，圓C2的半徑為1,圓C2的圓心在圓

A:(x-2)2+y2=25上運動.設A(2,0),則|PA|6[4,6].

由圖可知，屈?PF=|PF|2COS20=(|PA|2-4)?(l-2sin29)=(|PA|2-4)(l一意)=|PAF+^-12,由函數

y=x+y-12在xe口6,36]上為增函數可知,當|PA|2=16時，而?而取最小值，為6.故選A.

1PlJ(X+4)2+(y-2)2

5.ABD設點P(x,y),因為A(?4,2),B(2,2),點P滿足黑=2,所以*=2,

|Pfi|J⑴2)2+儼2)2

化簡，得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正確；

易知圓心C(4,2),圓C的半徑R=4,所以|AC|=8,設兩切線的夾角為a,所以sin白眾三,則一會所以

L|LL6

a\,故B正確；

易知直線1的斜率存在,設直線l:kx-y+4k+2=0,因為圓C上恰有三個點到直線1的距離為2,所以

圓心到直線1的距離(1=粵=2,解得k=土半，故C錯誤；

收+i15

、(r-m)2+(y-2)2

假設直線y=2上存在異于A,B的兩點D(m,2),E(n,2),mWn^Hj-------==2,

J(x-n)2+(y-2)2

化簡，得x2+y2+等k4y+”等=0,因為點P的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+4=0,所以

4n2-/+12_

3

解得『二:2,或｛，[],(舍去)，故存在D(12,2),E(6,2),故D正確.故選ABD.

6.答案2

解析直線方程kx-y+l-k=O可整理為y-l=k(x-l),所以直線kx-y+l-k=O恒過點P(l,l),因為

(1-2)2+(1-2)2<4,所以點P(1,1)在圓內.如圖，連接AC,BC,CP,貝<AC|=|BC|=2,設NACB=0,

易得|CP|=J(2-1)2+(2—1尸=方,當直線kx-y+l-k=O與直線CP垂直時,0取最小值盤所以在

△ABC中,0金［；用),所以SAABC=||AC||BC|?sin0=2sin0W2,當且僅當0、時取等號.

7.答案(x-3)2+y2=2

解析圓G的方程可整理為(x-l)2+(y-2)2=2淇圓心為Ci(l,2),半徑為a,因為圓J與直線1相切,

所以啜=e,解得a=l(負值舍去)，所以直線l：y=x-l,由｛(個療J。=2,得=:即切點為

(2,1),

設圓C2的圓心C2(m,n),則〃加2)2+(n-l)2=J(>4)2+(n+①，且二=-1②，由①②得

m=3,n=0,所以C2(3,0),所以圓C2的半徑為J(3-2)2+(0-1)2=a,所以圓C2的標準方程為

(x-3)2+y2=2.

8.解析⑴若直線1的斜率k=&，則直線1的方程為y=V2x+3,

圓心0(0,0)到直線1的距離d=^==V3,HO的半徑r=2,所以|AB|=23-d2=2V￥^=2.

(2)設直線1的方程為y=kx+3(kW0),A(xi,yi),B(X2,y2),

由［消去y,得(1+k2)x2+6kx+5=0,

則X1+X2=l5不的=號,

由A=36k2-4x(1+k2)x5=16k2-20>0,WWk2>^,

4444

所以kI+k2=2+々之士匹匕

XlX2XiX2

559

=2k+Z+Z=2k+入山=2k+-x-^x—=0.

x\X23X\X231+k5

所以ki+k2為定值0.

(3)存在.設點乂90,刈),由(2)知兇)*詈=毒,所以yo=kx()+3=T|J+3=T^.

又因為|MO|=1|MQ|,即31Moi2=2|MQF,

3(xo+yo)=2(xo+(y-1)，即呼+y(21632目/3\216332

所以0日,，即(俞)+(r)+3?俞7,

整理，得鼻=急，解得k2=署，

:，故k2=號>|滿

所以存在滿足條件的直線1,其方程為y=±等