2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)2 .3 .2 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

2.3.2兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一兩直線的交點(diǎn)

1.(2022湖南益陽(yáng)期中)已知直線kx-y+l=0和x-ky=0相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)

數(shù)k的取值范圍為()

A.(-l,0)B,(0,l]

C.(0,l)D,(l,+oo)

2.直線h:3x-y+12=0和b:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積為.

題組二根據(jù)交點(diǎn)求參數(shù)的值或取值范圍

3.直線3x+my-l=0與4x+3y-n=0的交點(diǎn)為(2,-1),則m+n的值為()

A.12B.10C.-8D.-6

4.(2022湖南雅禮中學(xué)月考)已知直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0互相垂直，垂足

為(l,p),則m+n-p等于()

A.24B.20

C.4D.0

5.(2022湖南長(zhǎng)郡中學(xué)期中)已知4ABC的頂點(diǎn)A(6,1),AB邊上的中線CM所在直

線的方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=0.求：

(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)直線BC的方程.

題組三求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程

6.經(jīng)過(guò)直線h:x-2y+4=0和b:x+y+l=O的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程是（）

A.2x-y=0B.2x+y=0

C.x-2y=0D.x+2y=0

7.（2022湖南臨澧一中期中）斜率為2,且過(guò)直線y=4-x和直線y=x+2交點(diǎn)的直線方

程為（）

A.y=2x+1B.y=2x-1

C.y=2x-2D.y=2x+2

8.（2022廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）經(jīng)過(guò)兩直線2x+y-8=0與x-2y+l=0的交點(diǎn)，且在兩

坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（）

A.x+y+l=0或2x-3y=0

B.x-y-l=0或2x-3y=0

C.x-y-l=0

D.2x-3y=0

9.（2022湖南株洲期中）求經(jīng)過(guò)兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于

直線3x-2y+4=0的直線的一般式方程.

能力提升練

題組一過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系及其應(yīng)用

1.（2022河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考）已知集合A=｛（%，y）層=2｝，集合

B=｛（x,y）|ax-y-2=0｝,且ACB=0,貝！Ja=（）

A.2B.-2

rr

C《或2或2

2.（多選）（2021山東蒲澤郛城一中月考）已知直線h：x+ay-a=0和直線

h:ax-（2a-3）y-l=0,下列說(shuō)法正確的是（）

B.若h〃L,則a=l或a—3

C.若則a=0或a=2

D.若a>0,則h始終不過(guò)第三象限

3.(多選)(2022湖南石門六中月考)已知三條直線2x-3y+l=0,4x+3y+5=0,mx-y-l=0

不能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m的取值可能為()

A二4B.42

33

2

C.jD.2

4.(2022天津第七中學(xué)月考)直線1被兩條直線h:4x+y+3=0和b:3x-5y-5=0截得的

線段的中點(diǎn)為P(-l,2),則直線1的方程為.

5.已知兩直線h:ax-2y=2a-4,b:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)與兩坐標(biāo)軸圍成四邊形.當(dāng)a=_

時(shí)，圍成的四邊形面積取得最小值，最小值為.

6.(2021山西懷仁一中月考)已知直線l:(l+2m)x+(m-l)y+7m+2=0.

(1)求證:無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線1恒過(guò)定點(diǎn)M;

(2)過(guò)定點(diǎn)M作一條直線h,使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分，求直線h的方

程.

題組二對(duì)稱問(wèn)題及其應(yīng)用

7.已知A(3,1),B(-1,2),若NACB的平分線所在直線方程為y=x+l,則AC所在直線

方程為()

1

A.y=2x+4B.y=-x-3

C.x-2y-l=0D.3x+y+l=0

8.若直線h:y=k(x-4)與直線b關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則直線b恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(4,-2)B.(0,4)

C.(-2,4)D.Q2)

9.(2020安徽六安一中期中)入射光線在直線h:2x-y-3=0上,先經(jīng)過(guò)x軸反射到直線

h上,再經(jīng)過(guò)y軸反射到直線13上,則直線13的方程為()

A.x-2y+3=0B.2x-y+3=0

C.2x+y-3=0D.2x-y+6=0

10.(2020山西懷仁重點(diǎn)中學(xué)期末)將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙對(duì)折，使點(diǎn)A(0,2)

與B(4,0)重合，若此時(shí)點(diǎn)CQ4)恰與點(diǎn)D重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.A易得kW±l.聯(lián)立kx-y+l=O與x-ky=O,

(―<0

得'解得-l<k<0.

-匕>0,

故選A.

2.答案9

解析易知直線h12與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,12),(0,3).

喉:我端廨能:/

故所求三角形的面積S三x(12-3)x>21=9.

3.B將(2,-1)代入3x+my-l=0可得m=5,將(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以

m+n=10.

4.D由兩直線垂直得mx2+4x(-5)=0,解得m=10,所以原直線mx+4y-2=0可寫為

10x+4y-2=0,又因?yàn)榇棺?l,p)同時(shí)滿足兩直線方程，所以將(l,p)代入兩直線方程，得

以直.解彳哪I2所以m+512+2=0,故選D.

5.解析⑴易得BH所在直線的斜率kBH三，

.\AC邊所在直線的斜率kAc=-2,

/.AC邊所在直線的方程為y-l=-2(x-6),即2x+y-13=0,

19

解方程組｛窘間;二：故頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(2)設(shè)B(m,n),：AB的中點(diǎn)為M,A(6,1),

.\M(手，等.

把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程2x-y-5=0,得2m-n+l=0,①

把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線方程x-2y-5=0,得m-2n-5=0,②

/7

Tn_——

由①②解得,故點(diǎn)

n=----,v337

3

9

易知直線BC的方程為魯=急，

_--4----

332

化簡(jiǎn)，得46x-41y-43=0.

4

6.D聯(lián)立口；0；］：七解得二;2,則直線h與h的交點(diǎn)坐標(biāo)為(_2,1),

???過(guò)點(diǎn)(2D與原點(diǎn)(0,0)的直線方程為x+2y=0.

7.A解方程組《二:;彳'得二;'所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),又因?yàn)樗笾?/p>

線的斜率為2,所以所求直線的方程為y-3=2(x-l),整理得y=2x+l.故選A.

8.B由｛黑；一；合解得｛；Z加以直線2x+y-8=0與直線x-2y+l=0的交點(diǎn)坐

標(biāo)為(3,2).當(dāng)所求直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),直線的方程為y=：x,即2x-3y=0;當(dāng)所求直線不經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為＞上=1(九W0),把(3,2)代入,得3-2=兒所以九=1,此時(shí),直線的

A.-A

方程為x-y-l=0.

綜上，所求直線方程為x-y-l=0或2x-3y=0.故選B.

9.解析由方程組0解得{；1］：，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(_2,2).因?yàn)樗?/p>

直線垂直于直線3x-2y+4=0,故所求直線的斜率k=［由點(diǎn)斜式得，所求直線方程為

y-2=-：(x+2),即2x+3y-2=0.

能力提升練

1.D由空=2可得2x-y-l=0(xW2),故A={(x,y)|2x-y-l=0,xW2},故集合A表示的是

x-2

直線2x-y-l=0上除點(diǎn)(2,3)外的點(diǎn)構(gòu)成的集合.①當(dāng)直線ax-y-2=0與直線2x-y-l=0

平行時(shí)，滿足AAB=0，此時(shí)a=2;②當(dāng)直線ax-y-2=0過(guò)點(diǎn)(2,3)吐滿足AAB=0，則

2a-5=0,角用得a=3

2

綜上所述,a=2或a=3故選D.

2

2.ACD易得12：a(x-2y)+3y-l=0過(guò)定點(diǎn)故A正確；

當(dāng)a=l時(shí),h,L重合，故B錯(cuò)誤；

由1」12,得lxa+ax(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正確；

若a>0,則li：y--x+l始終過(guò)(0,1),且斜率為負(fù),.?J始終不過(guò)第三象限，故D正確.

a

故選ACD.

3.ABC設(shè)三條直線2x-3y+l=0,4x+3y+5=0,mx-y-l=0分另U為斜率分另U為

ki,k2,k3,且ki=：,k2=T，k3=m,當(dāng)b〃h時(shí),k3=ki,即m=j此時(shí)hhb不能構(gòu)成三角形;當(dāng)

13〃b時(shí),k=k2,即m=T，此時(shí)1.1.13不能構(gòu)成三角形;由M解得

時(shí)不能構(gòu)成三角形，此時(shí)-m+；-1=0,解得m=-j

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值集合為{-%-：,斗故選ABC.

4.答案3x+y+l=0

解析設(shè)直線1與h的交點(diǎn)為A(xo,yo),直線1與12的交點(diǎn)為B.由已知條件，得直線

1與12的父點(diǎn)為B(2xo,4-yo).聯(lián)立Jlo>5(4灰)-5=0,

即｛舞募丫3：之，解得｛；：：/即AG2,5),所以直線1的方程為善黑即

3x+y+l=0.

5套案

24

解析設(shè)11,12的斜率分別為ki和k2,

*/0<a<2,ki三e(0,1欣=尚仁?8廣；).

兩直線h:a(x-2)=2(y-2),b:2(x-2)=-a2(y-2工都恒過(guò)點(diǎn)C(2,2),如圖所示:

易知直線h與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2-a),直線b與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(2+a2,0),

2

S四邊形0ACB=Szs0Ac+Sa0CB=/2-a)x2+]X(2+a2)x2=a2-a+4=(a-J+—.

???當(dāng)a2時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為”.

24

6.解析(1)證明:直線1的一般式方程整理得(x-y+2)+m(2x+y+7)=0,

今儼-y+2=0,

^(2x+y+7=

故無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線1恒過(guò)定點(diǎn)M(-3,-l).

(2)當(dāng)直線h的斜率不存在或等于零時(shí)，顯然不符合題意.

當(dāng)直線li的斜率存在，且不為零時(shí)，設(shè)直線11的方程為y=k(x+3)-l(kW0),

設(shè)直線h與y軸、x軸的交點(diǎn)分別為A,B,

令x=0,貝!Jy=3k-l;令y=0,貝(Jx=；-3,

.,.A(0,3k-l),BQ-3,0).

???夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分，

???點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，

.百二-,

則直線li的方程為y=-；x-2,即x+3y+6=0.

7.C設(shè)B關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)為B'(x,y),

則日工;1解得｛；;；：詢1,0).

22'

易知在直線AC上，

???直線AC的方程為U=R即x-2y-l=0.

8.D由h：y=k(x-4),得直線11過(guò)定點(diǎn)A(4,0).

又??.11與12關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，因此點(diǎn)A(4,0)關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)B(xo,yo)一定在直

線h上.

<4+%Q_2

則I2，解得儼°=°，

”嗎=1用牛傳尻=2,

2'

???直線12恒過(guò)定點(diǎn)(0,2),