2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第5講空間角與距離空間向量及應(yīng)用作業(yè)試題2含解析新人教版

第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用1.[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高三測(cè)試]如圖8-5-1,E,F分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點(diǎn),PC=10,AB=6,EF=7,則異面直線AB與PC所成的角為()圖8-5-1A.30° B.60°C.120° D.150°2.[2024湖南長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)模擬]圖8-5-2中的三個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均為所在棱的中點(diǎn),過(guò)E,F,G作正方體的截面.下列各選項(xiàng)中,關(guān)于直線BD1與平面EFG的位置關(guān)系描述正確的是()圖8-5-2A.BD1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②③B.BD1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有①C.BD1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②D.BD1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有③3.[多選題]如圖8-5-3,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則以下說(shuō)法正確的是()圖8-5-3A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于πB.點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為2C.異面直線D1C和BC1所成的角為πD.三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球的半徑為34.[2024吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)][雙空題]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N,E,F分別是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn),則過(guò)EF且與MN平行的平面截正方體所得截面的面積為,CE和該截面所成角的正弦值為.

5.[2024廣州市階段模擬]如圖8-5-4,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為菱形,BE⊥平面ABCD,G為AC與BD的交點(diǎn).(1)證明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠BAD=60°,AE⊥EC,求直線EG與平面EDC所成角的正弦值.圖8-5-46.[2024晉南中學(xué)聯(lián)考]如圖8-5-5,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD,PA⊥PD,∠PAD=60°,Q為PD的中點(diǎn).(1)證明:CQ∥平面PAB.(2)求二面角P-AQ-C的余弦值.圖8-5-57.[2024湖南六校聯(lián)考]如圖8-5-6,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=2a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DE=λa(0<λ≤2).(1)求證:對(duì)隨意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE.(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ,直線BE與平面ABCD所成的角為φ,若sinφ=cosθ,求λ的值.圖8-5-68.[2024福建五校聯(lián)考]圖8-5-7是一個(gè)半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體,平面ABC與半圓柱的下底面共面,且AC⊥BC,P為B1A1上的動(dòng)點(diǎn)(不與B1(1)證明:PA1⊥平面PBB1.(2)若四邊形ABB1A1為正方形,且AC=BC,∠PB1A1=π4,求二面角P-A1B1圖8-5-79.[2024全國(guó)卷Ⅱ,12分]如圖8-5-8,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過(guò)B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.圖8-5-810.[2024黑龍江省六校聯(lián)考]如圖8-5-9,正方形ABCD和ABEF所在的平面相互垂直,且邊長(zhǎng)都是1,M,N,G分別為線段AC,BF,AB上的動(dòng)點(diǎn),且CM=BN,AF∥平面MNG,記BG=a(0<a<1).(1)證明:MG⊥平面ABEF.(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí),求二面角A-MN-B的余弦值.圖8-5-911.[2024蓉城名校聯(lián)考]如圖8-5-10(1),AD是△BCD中BC邊上的高,且AB=2AD=2AC,將△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如圖8-5-10(2)所示.(1)求證:AB⊥CD.(2)在圖8-5-10(2)中,E是BD上一點(diǎn),連接AE,CE,當(dāng)AE與底面ABC所成角的正切值為12圖8-5-1012.[2024洛陽(yáng)市聯(lián)考]如圖8-5-11,底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=26,DE=36.(1)求證:平面ACE⊥平面BED.(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值.(3)在線段AF上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-BE-D的大小為60°?若存在,求出AMAF圖8-5-1113.如圖8-5-12,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,平面α經(jīng)過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,與棱PB,AC分別交于點(diǎn)F,D,且BC∥平面α,PA∥平面α.(1)證明:AB⊥平面α.(2)若AB=BC=PA=2,點(diǎn)M在直線EF上,求平面MAC與平面PBC所成銳二面角的余弦值的最大值.圖8-5-1214.[2024安徽江淮十校第一次聯(lián)考]如圖8-5-13(1),已知圓O的直徑AB的長(zhǎng)為2,上半圓弧上有一點(diǎn)C,∠COB=60°,點(diǎn)P是弧AC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕,使下半圓所在的平面垂直于上半圓所在的平面,連接PO,PD,PC,CD,如圖8-5-13(2)所示.(1)當(dāng)AB∥平面PCD時(shí),求PC的長(zhǎng);(2)當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時(shí),求二面角D-PC-O的余弦值.圖8-5-13答案第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)1.B如圖D8-5-8,取AC的中點(diǎn)D,連接DE,DF,因?yàn)镈,E,F分別為AC,PA,BC的中點(diǎn),所以DF∥AB,DF=12DE∥PC,DE=12PC,所以∠EDF或其補(bǔ)角為異面直線PC與AB所成的角.因?yàn)镻C=10,AB=6,所以在△DEF中,DE=5,DF=3,EF=7,由余弦定理得cos∠EDF=DE2+D圖D8-5-82.A對(duì)于題圖①,連接BD,因?yàn)镋,F,G均為所在棱的中點(diǎn),所以BD∥GE,DD1∥EF,又BD?平面EFG,DD1?平面EFG,從而可得BD∥平面EFG,DD1∥平面EFG,又BD∩DD1=D,所以平面BDD1∥平面EFG,所以BD1∥平面EFG.對(duì)于題圖②,連接DB,DA1,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,因?yàn)镋,F,G均為所在棱的中點(diǎn),所以BD1·GE=(DD1-DB)·(12DA1)=12(DD1·DA1即BD1⊥EG.連接DC1,則BD1·EF=(DD1-DB)·(12DC1)=12(DD1·DC1-DB又EG∩EF=E,所以BD1⊥平面EFG.對(duì)于題圖③,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,連接DB,DG,因?yàn)镋,F,G均為所在棱的中點(diǎn),所以BD1·EG=(DD1-DB)·(DG-DE)=(DD1-DB)·(DC+12DD1-12DA)=12DD12-DB·DC即BD1⊥EG.連接AF,則BD1·EF=(DD1-DB)·(AF-AE)=(DD1-DB)·(DD1+12DC+12DA)=DD12-12DB·DC即BD1⊥EF.又EG∩EF=E,所以BD1⊥平面EFG.故選A.3.ABD正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,對(duì)于A,直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1=π4,故A正確;對(duì)于B,點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為B1C長(zhǎng)度的一半,即距離為22,故B正確;對(duì)于C,連接AC,因?yàn)锽C1∥AD1,所以異面直線D1C和BC1所成的角即直線D1C和AD1所成的角,又△ACD1是等邊三角形,所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球就是正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球,正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球半徑r=14.221010如圖D8-5-9,正方體ABCD-A1B1C1D1圖D8-5-9易知ME∥NH,ME=NH,所以四邊形MEHN是平行四邊形,所以MN∥HE.因?yàn)镸N?平面EFHG,HE?平面EFHG,所以MN∥平面EFHG,所以過(guò)EF且與MN平行的平面為平面EFHG,易知平面EFHG截正方體所得截面為矩形EFHG,EF=2,FH=2,所以截面EFHG的面積為2×2=22.連接AC,交HG于點(diǎn)I,易知CI⊥HG,平面EFHG⊥平面ABCD,平面EFHG∩平面ABCD=HG,所以CI⊥平面EFHG,連接EI,因?yàn)镋I?平面EFHG,所以CI⊥EI,所以∠CEI為直線CE和截面EFHG所成的角.在Rt△CIE中,易知CE=1+22=5,CI=14AC=224=25.(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC⊥BE.又BE∩BD=B,所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解法一設(shè)AB=1,在菱形ABCD中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=32,BG=GD=1因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中可得EG=AG=32.由BE⊥平面ABCD,得△EBG為直角三角形,則EG2=BE2+BG2,得BE=22所以Gz⊥平面ABCD,又AC⊥BD,所以建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.G(0,0,0),C(0,32,0),D(-12,0,0),E(12圖D8-5-10所以GE=(12,0,22),DE=(1,0,22),CE=(12,-設(shè)平面EDC的法向量為n=(x,y,z),由DE·n=0,CE·n所以平面EDC的一個(gè)法向量為n=(1,-33,-2設(shè)直線EG與平面EDC所成的角為θ,則sinθ=|cos<GE,n>|=|12+0-11所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為1010解法二設(shè)BG=1,則GD=1,AB=2,AG=3.設(shè)點(diǎn)G到平面EDC的距離為h,EG與平面EDC所成角的大小為θ.因?yàn)锳C⊥平面EBD,EG?平面EBD,所以AC⊥EG.因?yàn)锳E⊥EC,所以△AEC為等腰直角三角形.因?yàn)锳C=2AG=23,所以AE=EC=6,EG=AG=3.因?yàn)锳B=BD=2,所以Rt△EAB≌Rt△EDB,所以EA=ED=6.在△EDC中,ED=EC=6,DC=2,則S△EDC=5.在Rt△EAB中,BE=EA2-AB2=(6)2-22=2.VE-GDC=13BE·12S△CBD=16由VG-EDC=13h·5=VE-GDC=66,得h=62所以sinθ=hEG=10所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為1010解法三如圖D8-5-11,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.圖D8-5-11不妨設(shè)AB=2,在菱形ABCD中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=3,BG=GD=1.因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中可得EG=AG=3.由BE⊥平面ABCD,得△EBG為直角三角形,則EG2=BE2+BG2,得BE=2.則C(2,0,0),E(0,0,2),D(1,3,0),G(12,3所以EG=(12,32,-2),ED=(1,3,-2),EC=(2,0,-設(shè)平面EDC的法向量為n=(x,y,z),則n·ED令x=3,則z=6,y=1.所以平面EDC的一個(gè)法向量為n=(3,1,6).設(shè)EG與平面EDC所成的角為θ,則sinθ=|cos<EG,n>|=|32+所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為10106.(1)如圖D8-5-12,取PA的中點(diǎn)N,連接QN,BN.圖D8-5-12∵Q,N分別是PD,PA的中點(diǎn),∴QN∥AD,且QN=12∵PA⊥PD,∠PAD=60°,∴PA=12又PA=BC,∴BC=12又AD∥BC,∴QN∥BC,∴四邊形BCQN為平行四邊形,∴BN∥CQ.又BN?平面PAB,CQ?平面PAB,∴CQ∥平面PAB.(2)在圖D8-5-12的基礎(chǔ)上,取AD的中點(diǎn)M,連接BM,PM,取AM的中點(diǎn)O,連接BO,PO,如圖D8-5-13.圖D8-5-13設(shè)PA=2,由(1)得PA=AM=PM=2,∴△APM為等邊三角形,∴PO⊥AM,同理BO⊥AM.∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OD,OP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,3),Q(0,32,3∴AC=(3,3,0),AQ=(0,52,3設(shè)平面ACQ的法向量為m=(x,y,z),則m·AC取y=-3,得m=(3,-3,5)是平面ACQ的一個(gè)法向量,又平面PAQ的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),∴cos<m,n>=m·n|由圖得二面角P-AQ-C的平面角為鈍角,∴二面角P-AQ-C的余弦值為-3377.(1)由題意SD⊥平面ABCD,AD⊥DC,以D為原點(diǎn),DA,DC,DS的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如圖D8-5-14所示的空間直角坐標(biāo)系,圖D8-5-14則D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),E(0,0,λa),∴AC=(-2a,2a,0),BE=(-2a,-2a,λa),∴AC·BE=2a2-2a2+0×λa=0,即AC⊥BE.(2)解法一由(1)得EA=(2a,0,-λa),EC=(0,2a,-λa),BE=(-2a,-2a,λa).設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則由n⊥EA,n⊥EC得n·EA取z=2,得n=(λ,λ,2)為平面ACE的一個(gè)法向量,易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為DS=(0,0,2a)與DC=(0,2a,0),∴sinφ=|DS·BE||DS|·|由sinφ=cosθ得λλ2+4=λ又λ∈(0,2],∴λ=2.解法二如圖D8-5-15,連接BD,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=φ.圖D8-5-15由(1)易知CD⊥平面SAD.過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F,連接CF,則∠CFD是二面角C-AE-D的平面角,即∠CFD=θ.在Rt△BDE中,BD=2a,DE=λa,∴BE=4a2+λ2a2∴AE=aλ2+2,∴DF=AD·在Rt△CDF中,CF=DF2+∴cosθ=DFCF=λ由sinφ=cosθ得λλ2+4=λ又λ∈(0,2],∴λ=2.8.(1)在半圓柱中,BB1⊥平面PA1B1,PA1?平面PA1B1,所以BB1⊥PA1.因?yàn)锳1B1是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑,所以PA1⊥PB1.因?yàn)镻B1∩BB1=B1,PB1?平面PBB1,BB1?平面PBB1,所以PA1⊥平面PBB1.(2)依據(jù)題意,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖D8-5-16所示.圖D8-5-16設(shè)CB=1,則C(0,0,0),A1(0,1,2),B1(1,0,2),所以CA1=(0,1,2),CB易知n1=(0,0,1)為平面PA1B1的一個(gè)法向量.設(shè)平面CA1B1的法向量為n2=(x,y,z),則n即y令z=1,則x=-2,y=-2,所以n2=(-2,-2,1)為平面CA1B1的一個(gè)法向量.所以cos<n1,n2>=11×5=由圖可知二面角P-A1B1-C為鈍角,所以所求二面角的余弦值為-559.(1)因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)由已知得AM⊥BC.以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA的方向?yàn)閤軸正方向,|MB|為單位長(zhǎng)度,建立如圖D8-5-17所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,則AB=2,AM=3.圖D8-5-17連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形,故PM=233,E(233,設(shè)Q(a,0,0),則NQ=4-(233-故B1E=(233-a,-23,-4又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的一個(gè)法向量,故sin(π2-n,B1E)=cosn,B1E所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為101010.(1)因?yàn)锳F∥平面MNG,且AF?平面ABEF,平面ABEF∩平面MNG=NG,所以AF∥NG,所以CM=BN=2a,所以AM=2(1-a),所以AMCM=AGBG=所以MG∥BC,所以MG⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABEF,且MG?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以MG⊥平面ABEF.(2)由(1)知,MG⊥NG,MG=1-a,NG=a,所以MN=a2+(1-a)2=2a以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BE,BC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖D8-5-18所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則A(1,0,0),B(0,0,0),M(12,0,12),N(12圖D8-5-18設(shè)平面AMN的法向量為m=(x1,y1,z1),因?yàn)锳M=(-12,0,12),MN=(0,12所以m取z1=1,得m=(1,1,1)為平面AMN的一個(gè)法向量.設(shè)平面BMN的法向量為n=(x2,y2,z2),因?yàn)锽M=(12,0,12),MN=(0,12所以n·BM=所以cos<m,n>=m·n|又二面角A-MN-B為鈍二面角,所以二面角A-MN-B的余弦值為-1311.(1)由題圖(1)知,在題圖(2)中,AC⊥AD,AB⊥AD.∵平面ACD⊥平面ABD,平面ACD∩平面ABD=AD,AB?平面ABD,∴AB⊥平面ACD,又CD?平面ACD,∴AB⊥CD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AB,AD所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖D8-5-19所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AC=1,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),AD=(0,0,1),BC=(1,-2,0),DB=(0,2,-1).圖D8-5-19設(shè)E(x,y,z),由DE=λDB(0<λ<1),得(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ),得E(0,2λ,1-λ),∴AE=(0,2λ,1-λ),又平面ABC的一個(gè)法向量為AD=(0,0,1),AE與底面ABC所成角的正切值為12所以|tanAD,AE|=2,于是|cosAD,AE|=15=5即|1-λ(2λ則E(0,1,12),AE=(0,1,12),BE=(0,-1,設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則n·BC令y=1,得x=2,z=2,則n=(2,1,2)是平面BCE的一個(gè)法向量,設(shè)直線AE與平面BCE所成的角是θ,則sinθ=|cosAE,n|=|AE·n||故直線AE與平面BCE所成角的正弦值為4512.(1)因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE?平面ADEF,DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD,所以DE⊥AC.又四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.因?yàn)镈E∩BD=D,DE?平面BED,BD?平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC?平面ACE,所以平面ACE⊥平面BED.(2)因?yàn)镈A,DC,DE兩兩垂直,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖D8-5-20所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(3,0,0),F(3,0,26),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA=(3,-3,0),BE=(-3,-3,36),EF=(3,0,-6).圖D8-5-20設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),則n取x=6,得n=(6,26,3)為平面BEF的一個(gè)法向量.所以cos<CA,n>=CA·n|CA||所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為1313(3)假設(shè)在線段AF上存在符合條件的點(diǎn)M,由(2)可設(shè)M(3,0,t),0≤t≤26,則BM=(0,-3,t).設(shè)平面MBE的法向量為m=(x1,y1,z1),則m令y1=t,得m=(36-t,t,3)為平面MBE的一個(gè)法向量.由(1)知CA⊥平面BED,所以CA是平面BED的一個(gè)法向量,|cos<m,CA>|=|m·CA||整理得2t2-66t+15=0,解得t=62故在線段AF上存在點(diǎn)M,使得二面角M-BE-D的大小為60°,此時(shí)AMAF=113.(1)因?yàn)锽C∥平面α,BC?平面PBC,平面α∩平面PBC=EF,所以BC∥EF,且F為棱PB的中點(diǎn),因?yàn)锽C⊥AB,所以EF⊥AB.因?yàn)镻A∥平面α,PA?平面PAC,平面α∩平面PAC=DE,所以PA∥DE.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以DE⊥AB.又DE∩EF=E,DE?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB⊥平面DEF,即AB⊥平面α.