2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)章末評(píng)估驗(yàn)收達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-章末評(píng)估驗(yàn)收(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．下列語(yǔ)句中是命題的是()A．梯形是四邊形 B．作直線ABC．x是整數(shù) D．今日會(huì)下雪嗎？答案：A2．命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0答案：C3．已知命題p：?n∈N，2n＞1000，則?p為()A．?n∈N，2n≤1000 B．?n∈N，2n＞1000C．?n∈N，2n≤1000 D．?n∈N，2n＜1000解析：特稱命題的否定為全稱命題，即?n∈N，2n≤1000.答案：A4．已知命題①若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若－2≤x≤0，則(x＋2)(x－3)≤0.則下列說(shuō)法正確的是()A．①的逆命題為真 B．②的逆命題為真C．①的逆否命題為真 D．②的逆否命題為真解析：①的逆命題為若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，則a＞b，若a＝－2，b＝3，則不成立，故A錯(cuò)；②的逆命題為若(x＋2)(x－3)≤0，則－2≤x≤0是假命題，故B錯(cuò)；①為假命題，其逆否命題也為假命題，故C錯(cuò)；②為真命題，其逆否命題也為真命題，D正確．答案：D5．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A6．已知命題p：若實(shí)數(shù)x，y滿意x3＋y3＝0，則x，y互為相反數(shù)；命題q：若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).下列命題p∧q，p∨q，?p，?q中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：命題p，q都是真命題，則p∧q，p∨q都是真命題，?p，?q是假命題．答案：B7．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：方程ax2＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根等價(jià)于x2＝－eq\f(1,a)有實(shí)根，故a＜0.答案：C8．下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)>b是ac2>bc2的充要條件B．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件C．?x0∈R，ex0≤0D．若p∧q為假命題，則p∨q為真命題解析：由a>b推不出ac2>bc2，A不正確；由a>1，b>1能推出ab>1，B正確；ex0>0(x0∈R)恒成立，C不正確；由p，q都為假命題可得p∧q為假命題，此時(shí)p∨q為假命題，D不正確．答案：B9．已知命題p：若不等式x2＋x＋m＞0恒成立，則m＞eq\f(1,4)；命題q：在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件，則()A．p假q真 B．“p且q”為真C．“p或q”為假 D．?p假?q真解析：易推斷出命題p為真命題，命題q為真命題，所以?p為假，?q為假．結(jié)合各選項(xiàng)知B正確．答案：B10．f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”，是“h(x)為偶函數(shù)”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：若f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，則h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)為偶函數(shù)．若h(x)為偶函數(shù)，則f(x)，g(x)不肯定均為偶函數(shù)．可舉反例說(shuō)明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，則h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2為偶函數(shù)．答案：B11．以下推斷正確的是()A．命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題B．命題“?x∈N*，x3>x2”的否定是“?x0∈N*，xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)”C．“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要而不充分條件D．“b＝0”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)”的充要條件解析：選項(xiàng)A是全稱命題，不正確；選項(xiàng)B應(yīng)當(dāng)是?x0∈N*，xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝eq\f(2π,2a)＝eq\f(π,a)，當(dāng)a＝1時(shí)，周期是π，當(dāng)周期是π時(shí)，a＝1，所以“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要條件；選項(xiàng)D正確．答案：D12．有下列命題：①“若x＋y≥0，則x＞0且y＞0”的否命題；②“矩形的對(duì)角線相等”的否命題；③“若m≥1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命題；④“若a＋7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)”的逆否命題．其中正確的命題是()A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④解析：①的逆命題為“若x＞0且y＞0，則x＋y＞0”，為真，故否命題為真；②的否命題為“不是矩形的圖形對(duì)角線不相等”，為假；③的逆命題為“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集為R，則m≥1”，因?yàn)楫?dāng)m＝0時(shí)，解集不是R，所以應(yīng)有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0，))即m＞1，所以③是假命題；④原命題為真，逆否命題也為真．答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．若“x∈[2，5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x的取值范圍是________．解析：由題意知，x?[2，5]且x?{x|x<1或x>4}是真命題，即x∈(－∞，2)∪(5，＋∞)且x∈{x|1≤x≤4}為真命題，可得x∈[1，2)．答案：[1，2)14．若|x－1|<a的充分條件是|x－1|<b(其中a，b>0)，則a，b之間的關(guān)系是________．解析：由題意可知|x－1|<b的解集包含于|x－1|<a的解集，所以a≥b.答案：a≥b15．命題“在△ABC中，假如∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命題是________________．答案：在△ABC中，若c2≠a2＋b2，則∠C≠90°16．給出下列四個(gè)命題：①若“p且q”為假命題，則p，q均為假命題；②命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b－1”；③“隨意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2＋1＜0”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．其中正確的命題是________．(填序號(hào))解析：“p且q”為假命題，則p和q至少有一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)；由否命題和全稱命題的否定可知②③都正確；利用正弦定理可以證明在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件是正確的．答案：②③④三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)當(dāng)c<0時(shí)，若ac>bc，則a<b.請(qǐng)寫(xiě)出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別推斷真假；(2)p：對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形，q：對(duì)角線相互平分的四邊形是菱形，請(qǐng)寫(xiě)出“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題．解：(1)逆命題：當(dāng)c<0時(shí)，若a<b，則ac>bc，是真命題．否命題：當(dāng)c<0時(shí)，若ac≤bc，則a≥b，是真命題．逆否命題：當(dāng)c<0時(shí)，若a≥b，則ac≤bc，是真命題．(2)p或q：對(duì)角線相互垂直或相互平分的四邊形是菱形．p且q：對(duì)角線相互垂直且相互平分的四邊形是菱形．非p：對(duì)角線相互垂直的四邊形不是菱形．18．(本小題滿分12分)寫(xiě)出下列命題的否定，并推斷其真假，同時(shí)說(shuō)明理由．(1)q：全部等邊三角形都是等腰三角形；(2)r：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(3)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使3x0－1＝0.解：(1)?q：至少存在一個(gè)等邊三角形不是等腰三角形，假命題．這是由于原命題是真命題．(2)?r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命題．這是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥x＞0成立．(3)?s：?x∈R，3x－1≠0，假命題．這是由于x＝0時(shí)，3x－1＝0.19．(本小題滿分12分)給定兩個(gè)命題，p：對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根；假如p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立?a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))可以得到0≤a＜4.關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根?1－4a≥0?a≤eq\f(1,4).假如p正確，q不正確，有0≤a＜4，且a＞eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)＜a＜4.假如q正確，p不正確，有a＜0或a≥4，且a≤eq\f(1,4)，所以a＜0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).20．(本小題滿分12分)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：?p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))>2，解得x<－2或x>10，令A(yù)＝{x|x<－2或x>10}．?q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m或x>1＋m，令B＝{x|x<1－m或x>1＋m}．因?yàn)?p是?q的必要不充分條件，所以BA，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10))且等號(hào)不能同時(shí)成立?m≥9，所以m的取值范圍是[9，＋∞)．21．(本小題滿分12分)已知c＞0，設(shè)命題p：y＝cx為減函數(shù)；命題q：函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求c的取值范圍．解：由p∨q為真，p∧q為假，知p與q為一真一假，對(duì)p，q進(jìn)行分類探討即可．若p真，由y＝cx為減函數(shù)，得0＜c＜1.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時(shí)，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2(x＝1時(shí)取等號(hào))知，f(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值為2，若q真，則eq\f(1,c)＜2，即c＞eq\f(1,2).若p真q假，則0＜c＜1，c≤eq\f(1,2)，所以0＜c≤eq\f(1,2)；若p假q真，則c≥1，c＞eq\f(1,2)，所以c≥1.綜上可得，c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．22．(本小題滿分12分)已知命題：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命題．(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合B；(2)設(shè)不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集為A，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)命題：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命題，得x2－x－m＜0在－1≤x≤1時(shí)恒成立，所以m＞(x2－x)max，得m＞2，即B＝{m|m＞2}．(2)不等式(x－3a)(x－a－2)＜0，①當(dāng)3a＞2＋a，即a＞