高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章概率第3講模擬方法-概率的應(yīng)用知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第3講模擬方法——概率的應(yīng)用1．(2016·廣州模擬)已知地鐵列車每10min(含在車站停車時(shí)間)一班，在車站停1min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(1,8)解析：選A.試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為10min，而構(gòu)成所求事件的區(qū)域長度為1min，故P＝eq\f(1,10).2．(2015·高考湖北卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析：選B.設(shè)1534石米內(nèi)夾谷x石，則由題意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故這批米內(nèi)夾谷約為169石．3.如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C.當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時(shí)，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選C.4．任取實(shí)數(shù)a、b∈[－1，1]，則a、b滿足|a－2b|≤2的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)解析：選D.建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)閨a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所以|a－2b|≤2的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(7,8).5．(2016·石家莊一模)已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測(cè)繪隊(duì)員在A，B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪．O地為一磁場，距離其不超過eq\r(3)km的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2) D．1－eq\f(\r(3),2)解析：選C.以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，測(cè)繪受磁場干擾的范圍是以原點(diǎn)為圓心，半徑為eq\r(3)的圓及其內(nèi)部區(qū)域，其方程為x2＋y2＝3，測(cè)繪點(diǎn)C所在的軌跡方程為x＋y＝2(0≤x≤2)，因此測(cè)繪員獲得數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的概率為線段AB在圓內(nèi)的長度與線段AB長度的比值．因?yàn)榫€段AB的長度為2eq\r(2)，而O到線段AB的距離為d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，圓O截線段AB所得的弦的長度為2eq\r(（\r(3)）2－（\r(2)）2)＝2，所以測(cè)繪員獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率為1－eq\f(\r(2),2)，故選C.6．(2016·江西省九校聯(lián)考)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，4eq\o(PB,\s\up6(→))＋5eq\o(PC,\s\up6(→))＋3eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則紅豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,2)解析：選A.由4eq\o(PB,\s\up6(→))＋5eq\o(PC,\s\up6(→))＋3eq\o(PA,\s\up6(→))＝0可得－3eq\o(AP,\s\up6(→))＋4(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋5(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)C到AB的距離為d，如圖所示，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))，則S△ABC＝eq\f(1,2)×|AB|×d，S△PCE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)|AB|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,12)))d＝eq\f(7,36)S△ABC，S四邊形ABPE＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)AB＋AB))×eq\f(5,12)d＝eq\f(5,9)S△ABC，所以S△PBC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,36)－\f(5,9)))S△ABC＝eq\f(1,4)S△ABC，結(jié)合幾何概型可得所求的概率為eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,4).7.如圖，在一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為1米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)的黃豆數(shù)為375顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，可以估計(jì)出該不規(guī)則圖形的面積為________平方米．解析：設(shè)該不規(guī)則圖形的面積為x平方米，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)的黃豆數(shù)為375，所以根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知eq\f(375,1000)＝eq\f(1,x)，解得x＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)8．點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的長度小于1的概率為________．解析：如圖可設(shè)eq\o(AB,\s\up8(︵))與eq\o(AB′,\s\up8(︵))的長度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則所求概率是eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．(2015·高考重慶卷)在區(qū)間[0，5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根的概率為________．解析：因?yàn)榉匠蘹2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－4（3p－2）≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋（5－2）,5)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為________．解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M-ABCD的高為h，則eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6).又S四邊形ABCD＝1，所以h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在正方體的下半部分，所以P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)11.如圖所示，圓O的方程為x2＋y2＝4.(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，B為圓周上任意一點(diǎn)，求eq\o(AB,\s\up8(︵))的長度小于π的概率；(2)若N(x，y)為圓O內(nèi)任意一點(diǎn)，求點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離大于eq\r(2)的概率．解：(1)圓O的周長為4π，所以弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的長度小于π的概率為eq\f(2π,4π)＝eq\f(1,2).(2)記事件M為N到原點(diǎn)的距離大于eq\r(2)，則Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝eq\f(4π－2π,4π)＝eq\f(1,2).1．在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,8)解析：選C.程序中不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)≤x＋y≤\r(2)，,－\r(2)≤x－y≤\r(2)))表示的平面區(qū)域如圖所示，面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝4.滿足不等式x2＋y2≤1的點(diǎn)表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，所占面積為π，所以能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率為eq\f(π,4).故選C.2．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x＋y＝0的距離不大于eq\f(\r(2),2)的概率．解：(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S＝8.因?yàn)閤2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由題意eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，面積S2＝4，故所求概率為P2＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).3．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記“a＋b＝2”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依題意eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟，標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠，標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗，h，則取出2個(gè)小球的可能情況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿足