2022-2023學(xué)年浙江省寧波市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，則A∪B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}2．（3分）復(fù)數(shù)﹣1﹣2i（i為虛數(shù)單位）的虛部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（3分）函數(shù)f(x)=(x-A．(-∞，12) B．[12，+∞)4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（）A．π6 B．π4 C．π35．（3分）某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結(jié)果如表：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)241571188如果另有一人服用此藥，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)此人體重減輕的概率是（）A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.196．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→A．1 B．﹣4 C．4 D．﹣17．（3分）球的半徑是R＝3，則該球的體積是（）A．36π B．20π C．25π D．30π8．（3分）對(duì)數(shù)lga與lgb互為相反數(shù)，則有（）A．a(chǎn)+b＝0 B．a(chǎn)﹣b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)9．（3分）取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集．若在第n次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于160，則n的最大值為（）（參考數(shù)據(jù)：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510A．7 B．8 C．9 D．1010．（3分）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12ABA．垂心 B．外心 C．重心 D．內(nèi)心12．（3分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f(x+12)為奇函數(shù)，且對(duì)于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝fA．f（1﹣x）＝f（x） B．f（3x+1）＝f（3x） C．f（x﹣1）為偶函數(shù) D．f（3x）為奇函數(shù)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.）（多選）13．（4分）下列函數(shù)是增函數(shù)的是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y=x12 D．y（多選）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，則下列命題不正確的是（）A．平面α內(nèi)的直線必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線 B．平面α內(nèi)的已知直線必垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 C．平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β D．過(guò)平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β（多選）15．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．以下列選項(xiàng)為條件，一定可以推出A=πA．a(chǎn)＝7，b＝8，c＝5 B．a(chǎn)=3C．sinBsinC=34 （多選）16．（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC′中，點(diǎn)E為CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A′C′（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，記二面角P﹣AB﹣D的大小為α，二面角P﹣BC﹣D的大小為β，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是(πB．tan（α+β）的最小值為-4C．當(dāng)△APE的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐B﹣AEP的體積為109D．用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函數(shù)f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，則f（﹣1）＝，f（log18．（3分）在生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個(gè)直八棱柱、一個(gè)圓柱與一個(gè)圓臺(tái)組合而成，其中圓臺(tái)的上底面直徑為4cm，下底面直徑為40cm，高為80cm．為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺(tái)側(cè)面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為cm2．19．（3分）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy﹣x﹣2y＝0，則x+y的最小值是．20．（3分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，則cb的取值范圍為四、解答題（本大題共3小題，共33分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）21．（11分）隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟件的商家中隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對(duì)它們的“平均配送時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有數(shù)據(jù)均在[10，70]范圍內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均配送時(shí)間”的第20百分位數(shù)．22．（11分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期為π，且f(π（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f（x）在區(qū)間23．（11分）已知函數(shù)f(x)=logax+ax+（1）若a＝2，求f(1（2）判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)f（x0）＝0，求證：12五、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分）（多選）24．（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，則（）A．P(AB．P(A+B)=3C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件B相互獨(dú)立（多選）25．（5分）已知平面向量a→，bA．|a→+b→|C．|a→+b→（多選）26．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，若θ滿足，對(duì)?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2f（A．π B．5π6 C．2π3 （多選）27．（5分）已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足log3a＝log5b，log3b＝log5c，其中a＞1，則（）A．logab＝log35 B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)c＞b2 D．2a+2c＞2b+1六、解答題（本大題共2小題，共30分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，）28．（15分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為22，體積為8（1）求正四棱錐P﹣ABCD的表面積；（2）若點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．29．（15分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|，其中a為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式f（x）≥﹣2；（2）若函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）對(duì)于a∈[4，+∞），若存在實(shí)數(shù)x1，x2（x1＜x2），滿足f（x1）＝f（x2）＝m，求x12+m

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，則A∪B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：因?yàn)锳＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．（3分）復(fù)數(shù)﹣1﹣2i（i為虛數(shù)單位）的虛部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)﹣1﹣2i，所以復(fù)數(shù)﹣1﹣2i（i為虛數(shù)單位）的虛部是﹣2．故選：A．3．（3分）函數(shù)f(x)=(x-A．(-∞，12) B．[12，+∞)【解答】解：因?yàn)閒(x)=(x-所以x-12≥0所以f（x）的定義域?yàn)閇1故選：B．4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（）A．π6 B．π4 C．π3【解答】解：∵已知tanα＝﹣1，且α∈[0，π），故α的終邊在射線y＝﹣x（x≤0）上，∴α=3π故選：D．5．（3分）某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結(jié)果如表：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)241571188如果另有一人服用此藥，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)此人體重減輕的概率是（）A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.19【解答】解：由已知統(tǒng)計(jì)表可知在1000名志愿者中，服藥后出現(xiàn)體重減輕的人數(shù)為241人，因此服藥后出現(xiàn)體重減輕的頻率為2411000故選：C．6．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→A．1 B．﹣4 C．4 D．﹣1【解答】解：∵a→=（x，2），b→=（3，6），∴3x+2×6＝0，即x＝﹣4．∴實(shí)數(shù)x的值為﹣4．故選：B．7．（3分）球的半徑是R＝3，則該球的體積是（）A．36π B．20π C．25π D．30π【解答】解：∵R＝3，∴該球的體積V=43πR3＝36故選：A．8．（3分）對(duì)數(shù)lga與lgb互為相反數(shù)，則有（）A．a(chǎn)+b＝0 B．a(chǎn)﹣b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)【解答】解：∵lga＝﹣lgb∴l(xiāng)ga+lgb＝0∴l(xiāng)g（ab）＝0∴ab＝1故選：C．9．（3分）取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集．若在第n次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于160，則n的最大值為（）（參考數(shù)據(jù)：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為13第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為23第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為23…，第n次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為(2由題意知，(23)則(3因?yàn)?2所以指數(shù)函數(shù)y=(又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n∈N*，所以n＝8，故選：B．10．（3分）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：當(dāng)a＞0＞b時(shí)，1a＞0＞1b，所以由a＞若1a＜1b，則1a-1b=b-aab所以由1a＜1b得不出所以“a＞b”是“1a故選：D．11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12ABA．垂心 B．外心 C．重心 D．內(nèi)心【解答】解：∵|AB|＝3，|AC|＝2∴|12AB→|＝|3設(shè)AE→=1則|AE→|＝|AF∴AD→由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形AEDF為菱形．∴AD為菱形的對(duì)角線，∴AD平分∠EAF．∴直線AD通過(guò)△ABC的內(nèi)心．故選：D．12．（3分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f(x+12)為奇函數(shù)，且對(duì)于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝fA．f（1﹣x）＝f（x） B．f（3x+1）＝f（3x） C．f（x﹣1）為偶函數(shù) D．f（3x）為奇函數(shù)【解答】解：由f(x+12)是奇函數(shù)，得f(x+12)=-f(-x+12)，即f由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），則f（3x+1）＝﹣f（3x），B錯(cuò)；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函數(shù)f（x）的周期為T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）與f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，根據(jù)周期為2可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝﹣1對(duì)稱，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）為偶函數(shù)，C正確；因?yàn)閒（2﹣3x）＝f（3x）且函數(shù)f（x）的周期為T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）為偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.）（多選）13．（4分）下列函數(shù)是增函數(shù)的是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y=x12 D．y【解答】解：對(duì)于A，函數(shù)y＝x3的定義域?yàn)镽，函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，函數(shù)y＝x2的定義域?yàn)镽，函數(shù)y＝x2在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)y=x函數(shù)y=x12對(duì)于D，函數(shù)y＝﹣x﹣1的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），函數(shù)y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D錯(cuò)誤；故選：AC．（多選）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，則下列命題不正確的是（）A．平面α內(nèi)的直線必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線 B．平面α內(nèi)的已知直線必垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 C．平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β D．過(guò)平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β【解答】解：對(duì)于A，平面α內(nèi)取平行于交線的直線時(shí)，該直線與平面β平行，不垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取平面β內(nèi)無(wú)數(shù)條與交線垂直的直線，平面α內(nèi)的已知直線與這無(wú)數(shù)條直線垂直，故B正確；對(duì)于C，平面α內(nèi)取與l平行的直線，不垂直于平面β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α內(nèi)的任意一點(diǎn)取在交線l上，所作垂線可能不在平面α內(nèi)，所以不一定垂直于平面β，故D錯(cuò)誤．故選：ACD．（多選）15．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．以下列選項(xiàng)為條件，一定可以推出A=πA．a(chǎn)＝7，b＝8，c＝5 B．a(chǎn)=3C．sinBsinC=34 【解答】解：對(duì)于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2-所以A=π3，對(duì)于B，由正弦定理可得asinA=b所以sinA=3×222=所以A=π3或A=2π對(duì)于C，取B=π2，C為銳角，且可得A為銳角，且cosA=34，此時(shí)A≠π對(duì)于D，由2sin2B+C所以cos2A=1-2sin所以2cos2A+cosA﹣1＝0，解得cosA=12或cos又A∈（0，π），所以A=π3，故選：AD．（多選）16．（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC′中，點(diǎn)E為CC′的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A′C′（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，記二面角P﹣AB﹣D的大小為α，二面角P﹣BC﹣D的大小為β，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是(πB．tan（α+β）的最小值為-4C．當(dāng)△APE的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐B﹣AEP的體積為109D．用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)锳C∥A′C′，所以異面直線BP與AC所成角為∠BPA′或∠BPC′中的銳角或直角，又BA′＝A′C′＝BC′，所以△BA′C′為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段A′C′（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)P為線段A′C′的中點(diǎn)時(shí)，∠BPA′=∠BPC′=π此時(shí)異面直線BP與AC所成角為π2當(dāng)點(diǎn)P趨近A′或C′時(shí)，異面直線BP與AC所成角趨近π3所以異面直線BP與AC所成角的范圍是(π3，對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因?yàn)锳′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，垂足為G，H，所以∠PGF為二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF為二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，設(shè)A′P=2x，則FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜所以tanα=PFGF=所以tan(α+β)=tanα+tanβ因?yàn)?＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=4所以當(dāng)x＝1時(shí)，tan（α+β）取最小值，最小值為-43，選項(xiàng)對(duì)于C，延長(zhǎng)EC′到點(diǎn)M，使得EC′＝MC′，則PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)P為線段AM與A′C′的交點(diǎn)時(shí)，△APE的周長(zhǎng)最小，因?yàn)镻C′∥AC，所以△PC′M∽△ACM，所以PC′AC又AC=22所以PC′=2所以△APE的面積S=S又BO⊥AC，BO⊥AA′，AC∩AA′＝A，AC，AA′?平面ACC′A′，所以BO⊥平面ACC′A′，所以點(diǎn)B到平面APE的距離為BO，所以當(dāng)△APE的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐B﹣AEP的體積為V=13×對(duì)于D，延長(zhǎng)BE，B′C′，兩直線交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)PQ∩C′D′＝S，PQ∩A′B′＝T，連接BT，SE，因?yàn)槠矫鍭BB′A′∥平面DCC′D′，平面BEP∩平面ABB′A′＝BT，平面BEP∩平面DCC′D′＝ES，所以BT∥ES，又BT≠ES，所以四邊形BEST為梯形，所以用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形，D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函數(shù)f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，則f（﹣1）＝12，f（log2【解答】解：因?yàn)閒(x)=2x，x≤0因?yàn)?＝log22＜log23＜log24＝2，所以，﹣1＜log23﹣2＜0，所以，f(log故答案為：12；318．（3分）在生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個(gè)直八棱柱、一個(gè)圓柱與一個(gè)圓臺(tái)組合而成，其中圓臺(tái)的上底面直徑為4cm，下底面直徑為40cm，高為80cm．為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺(tái)側(cè)面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為1804πcm2．【解答】解：作圓臺(tái)的軸截面如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，由已知，AE＝80，BE=1所以AB=A所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為82cm，由已知圓臺(tái)的上底半徑為2cm，下底半徑為20cm，所以圓臺(tái)的側(cè)面積S＝π×（2+20）×82＝1804π（cm2）．故答案為：1804π．19．（3分）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy﹣x﹣2y＝0，則x+y的最小值是3+22【解答】解：因?yàn)閤y﹣x﹣2y＝0，所以x+2y＝xy，所以2x所以x+y=(x+y)(2當(dāng)且僅當(dāng)xy=2yx，所以x+y的最小值是3+22故答案為：3+2220．（3分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，則cb的取值范圍為（1，2）【解答】解：因?yàn)閟in2A＝sin2B+sinBsinC，由正弦定理可得a2＝b2+bc，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理可得sinB＝sinC﹣2sinBcosA，所以sinB＝sin（A+B）﹣2sinBcosA，即sinB＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinBcosA，所以sinB＝sin（A﹣B），因?yàn)?＜A＜π2，0＜B＜π所以B＝A﹣B，即A＝2B，所以C＝π﹣3B，由△ABC為銳角三角形，所以0＜A=2B＜π2，0＜C=π-3B＜π所以22＜cosB＜3由正弦定理得c＝2cos2B+cos2B＝4cos2B﹣1∈（1，2），即cb故答案為：（1，2）．四、解答題（本大題共3小題，共33分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）21．（11分）隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟件的商家中隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對(duì)它們的“平均配送時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有數(shù)據(jù)均在[10，70]范圍內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均配送時(shí)間”的第20百分位數(shù)．【解答】解：（1）依題意可得（0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002）×10＝1，解得a＝0.014．（2）因?yàn)?.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位數(shù)位于[20，30）之間，設(shè)為x，則0.04+（x﹣20）×0.02＝0.2，解得x＝28，故第20百分位數(shù)為28．22．（11分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期為π，且f(π（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f（x）在區(qū)間【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期為π，ω＞0，所以2πω=π，所以所以f（x）＝sin（2x+φ），因?yàn)閒(π所以sin(π+φ)=sin(4π所以-sinφ=-3所以tanφ=3所以φ=kπ+π（2）由（1）φ=kπ+π3，k∈Z所以φ=π所以f(x)=sin(2x+π由已知-π3≤x≤所以-3所以f（x）在區(qū)間[-π3，23．（11分）已知函數(shù)f(x)=logax+ax+（1）若a＝2，求f(1（2）判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)f（x0）＝0，求證：12【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）=log2x+2x+∴f(1（2）f′(x)=1∵a＞1，x+1＞1，∴l(xiāng)na＞0，1(x+1)2∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵a＞1，∴1a則f(1又f(1)=a+1由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；（3）證明：由（2）可知，x0∵f(x∴l(xiāng)og∴f(x令x0則f(t)=-1令g(t)=-a∵2t∴f（t）＞g（t），易知g（t）在(1又a＞1，12a∴f(t)＞g(t)＞g(1∵g(t)=-a∴要證f(t)＜a+12，只需證即證2t2﹣t+1＜（t2+1）（t+1），令h（t）＝（t2+1）（t+1）﹣（2t2﹣t+1）＝t3﹣t2+2t，∵h(yuǎn)′(t)=3t∴h（t）在（0，1）單調(diào)遞增，∴h（t）＞h（0）＝0，即（t2+1）（t+1）＞2t2﹣t+1，即f(t)＜a+1綜上，12＜f(t)＜a+1五、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分）（多選）24．（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，則（）A．P(AB．P(A+B)=3C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件B相互獨(dú)立【解答】解：對(duì)于A，試驗(yàn)的樣本空間為：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)=12，故P(A對(duì)于B，試驗(yàn)的樣本空間為：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4個(gè)樣本點(diǎn)，事件A+B含有（正，正），（正，反），（反，正），這三種結(jié)果，故P(A+B)=34，故對(duì)于C，A＝{（正，正），（正，反）}，B＝{（正，正），（反，正）}，顯然事件A，事件B都含有“（正，正）這一結(jié)果，事件A，事件B能同時(shí)發(fā)生，因此事件A與事件B不互斥，故C不正確；對(duì)于D，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P（AB）＝P（所以事件A與事件B為相互獨(dú)立事件，故D正確．故選：ABD．（多選）25．（5分）已知平面向量a→，bA．|a→+b→|C．|a→+b→【解答】解：設(shè)a→，b→的夾角為θ，θ∈[0，π]，∵|a∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[﹣1，1]，∴當(dāng)cosθ＝1時(shí)，|a→+∵|a∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[﹣1，1]，∴當(dāng)cosθ＝﹣1時(shí)，|a→-∵|a要使|a→+此時(shí)(|a∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，∴當(dāng)cos2θ＝1時(shí)，(|a所以|a→+∵|a∴(|a∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，∴當(dāng)cos2θ＝0時(shí)，(|a所以|a→+b→故選：ABD．（多選）26．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，若θ滿足，對(duì)?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2f（A．π B．5π6 C．2π3 【解答】解：因?yàn)閷?duì)?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2所以f（x）＝2sinx，x∈[0，π2]的值域包含于函數(shù)y＝2cos（t+θ函數(shù)f（x）＝2sinx，x∈[0，π所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π由-π2≤t≤0當(dāng)θ＝π時(shí)，π2≤t+π≤π，﹣1≤cos（t+所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π2，0]當(dāng)θ=5π6時(shí)，π3所以y=2cos(t+5π6)+1，t∈[-π2當(dāng)θ=2π3時(shí)，π6所以y=2cos(t+2π3)+1，t∈[-π2當(dāng)θ=π2時(shí)，0≤t+π所以y=2cos(t+π2)+1，t∈[-故選：BC．（多選）27．（5分）已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足log3a＝log5b，log3b＝log5c，其中a＞1，則（）A．logab＝log35 B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)c＞b2 D．2a+2c＞2b+1【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閍＞1，所以log3a＞0，由log3a＝log5b，可得lnaln3=lnbln5，則lnblna=ln5ln3對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)log3a＝log5b＝m＞0，則a＝3m，b＝5m，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xm在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以3m＜5m，即a＜b，設(shè)log5c＝log3b＝n＞0，則b＝3n，c＝5n，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xn在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以3n＜5n，即b＜c，則a＜b＜c，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閎＝5m＝3n，且m＞0，n＞0，所以mln5＝nln3，所以nm=ln5ln3＞1，則m＜n所以acb2=3m?5n對(duì)于D選項(xiàng)，由基本不等式，可得a+c＞2ac所以，2a+2故選：ACD．六、解答題（本大題共2小題，共30分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，）28．（15分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為22，體積為8（1）求正四棱錐P﹣ABCD的表面積；（2）若點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）連接AC∩BD＝O，連接PO，如圖，因?yàn)樵谡睦忮FP﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，且O是AC與BD的中點(diǎn)，PO⊥底面ABCD，因?yàn)檎睦忮FP﹣ABCD的高為22，體積為8則PO=22設(shè)底面ABCD邊長(zhǎng)為t，則SABCD所以由VP-ABCD=1解得t＝2，因?yàn)镻O⊥底面ABCD，OC?底面ABCD，故PO⊥OC，在Rt△POC中，OC=1則PC=P同理PB=10所以在△PBC中，PB=PC=10則S△PBC同理：S△PAB＝S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝3，所以正四棱錐P﹣ABCD的表面積為S＝SABCD+4S△PBC＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O(shè)為原點(diǎn)，OA→，OB→，OP→則A(2因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，所以E(0，2則AE→易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n0設(shè)直線AE與平面ABCD所成角為θ，則0＜θ＜π所以sinθ=|cos?AE故cosθ=1-sin2所以直線AE與平面ABCD所成角的正切值為25（3）由（2）知AB→設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為m→=(a，b，c)，則AB→則可取m→設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n→=(x，y，z)，則PB→則可取n→設(shè)二面角A﹣PB﹣C為φ，則由圖形可知π2所以cosφ=-|cos?m所以二面角A﹣PB﹣C的余弦值為-129．（15分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|，其中a為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式f（x）≥﹣2；（2）若函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）對(duì)于a∈[4，+∞），若存在實(shí)數(shù)x1，x2（x1＜x2），滿足f（x1）＝f（x2）＝m，求x12+m【解答】解：（1）因?yàn)閍＝3，所以f（x）＝﹣x2+x|x﹣3|，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）＝﹣3x，所以f（x）≥﹣2?﹣3x≥﹣2，解得x≤23，不滿足所以此時(shí)不等式f（x）≥﹣2的解集為?；當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）＝﹣2x2+3x，所以f（x）≥﹣2?﹣2x2+3x≥﹣2?2x2﹣3x﹣2≤0，解得-12≤x所以不等式f（x）≥﹣2的解集為[-1（2）令f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|＝0，則有x（﹣x+|x﹣a|）＝0，x1＝0∈[﹣1，1]，如果a＝0，則有﹣x+|x|＝0，當(dāng)x≥0時(shí)都能成立，不滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，﹣x+|x﹣a|＝0，x＝|x﹣a|，x2＝（x﹣a）2，解得x2=a又因?yàn)?＜x2≤1，即0＜a解得0＜a≤2，所以a的取值范圍為（0，2]；（3）對(duì)于a≥4，令f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|＝m有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，并且x1＜x2，當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）＝﹣ax，當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）＝﹣2x2+ax，函數(shù)的大致圖像如下：當(dāng)﹣a2＜m＜a28，并且m≠0時(shí)，有﹣2x2+ax即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a-a2-8m4令t=a2-8m，則并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a-t4，x2=a+t4，x1令y=x則y=2x12m+2xyt′=1顯然yt′是關(guān)于t的增函數(shù)，即yt′＞yt＝0′=1因?yàn)閍≥4，所以yt′≥0，所以y是關(guān)于t的增函數(shù)，所以1+a2＜y＜2a-12即y∈（1+a2，a）∪（a，2a當(dāng)m≤﹣a2時(shí)，x1=a-a2-8m4同理令t=a2-8m，m=a2y=x1x2+m所以y是關(guān)于t的增函數(shù)，y≥y|t＝3a＝2a-12，所以x12+mx22022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（5分）集合A={x∈N|log12x≥-1}，集合B＝{x∈Z|x2≤4}，則A．{2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．?2．（5分）復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，且滿足z+a=1+5i1-i，a∈R，則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）函數(shù)f(x)=sinx?lnx-1A． B． C． D．4．（5分）(x+aA．﹣40 B．﹣20 C．20 D．405．（5分）馮老師教高二4班和5班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，這兩個(gè)班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2的圖像如圖所示，其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P（|X﹣μ|≤σ）＝0.6827，P（|A．4班的平均分比5班的平均分高 B．相對(duì)于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)更分散 C．4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55% D．5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等6．（5分）冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽項(xiàng)目結(jié)合在一起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒(méi)命中，則被罰時(shí)1分鐘，總用時(shí)最少者獲勝．已知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件A為其在前兩輪射擊中沒(méi)有被罰時(shí)，事件B為其在第4輪射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么P（A|B）＝（）A．12 B．14 C．137．（5分）我們知道：y＝f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：y＝f（x）的圖象關(guān)于（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y＝f（x+a）﹣b為奇函數(shù)．若f（x）＝x3﹣3x2的對(duì)稱中心為（m，n），則f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝（）A．8088 B．4044 C．﹣4044 D．﹣20228．（5分）設(shè)a=9109，b＝ln1.09，c＝A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，3an+1＝Sn，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)2=13 B．a(chǎn)nC．Sn=(43)（多選）10．（5分）已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，點(diǎn)M（4，2），點(diǎn)P在圓C上，O為原點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．M在圓上 B．線段MP長(zhǎng)度的最大值為5+1C．當(dāng)直線MP與圓C相切時(shí)，|MP|＝2 D．MO→?MP→的最大值為（多選）11．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax+b，a，b為實(shí)數(shù)，則滿足函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝0，b＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝3，b＝3（多選）12．（5分）已知三棱錐A﹣BCD，BC＝AD=2，其余棱長(zhǎng)均為5A．該幾何體外接球的表面積為6π B．直線AB和CD所成的角的余弦值是45C．若點(diǎn)M在線段CD上，則AM+BM最小值為3 D．A到平面BCD的距離是4三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量a→，b→，|a→|=1，b→=（1，﹣1），a14．（5分）如圖所示，AC為平面四邊形ABCD的對(duì)角線，設(shè)CD＝1，sin∠ACD＝2sin∠CAD，△ABC為等邊三角形，則四邊形ABCD的面積的最大值為．15．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)M（xM，yM），N（xxM2+xN16．（5分）函數(shù)y＝[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.90]＝0，[lg99]＝1，已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an+1﹣an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2023項(xiàng)和為．四．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中E為線段DD1的中點(diǎn)．（1）求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距離．18．（12分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}，a3＝﹣10，a1，a2，a5成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得2S19．（12分）△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且a＝2．（1）若B+C=5π6，b=3c（2）已知A＝2C，sinB＝2sinC，求△ABC的面積．20．（12分）三門是“中國(guó)青蟹之鄉(xiāng)”，氣候溫暖、港灣平靜、水質(zhì)優(yōu)良，以優(yōu)越的自然環(huán)境成為我國(guó)優(yōu)質(zhì)青蟹的最佳產(chǎn)區(qū)．所產(chǎn)的三門青蟹具有“金爪、緋鉗、青背、黃肚”的特征，以“殼薄、皆黃、肉嫩、味美”而著稱，素有“三門青蟹、橫行世界”之美譽(yù)；且營(yíng)養(yǎng)豐富，內(nèi)含人體所需的18種氨基酸和蛋白質(zhì)、脂肪、鈣、磷、鐵等營(yíng)養(yǎng)成分，被譽(yù)為“海中黃金，蟹中臻品”．養(yǎng)殖戶一般把重量超過(guò)350克的青蟹標(biāo)記為A類青蟹．（1）現(xiàn)有一個(gè)小型養(yǎng)蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A類青蟹有7只，若從池中抓了2只青蟹．用ξ表示其中A類青蟹的只數(shù)，請(qǐng)寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（2）另有一個(gè)養(yǎng)蟹池，為估計(jì)蟹池中的青蟹數(shù)目N，小王先從中抓了50只青蟹，做好記號(hào)后放回池中，過(guò)了一段時(shí)間后，再?gòu)闹凶チ?0只青蟹，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有x只，若x＝5，試給出蟹池中青蟹數(shù)目N的估計(jì)值（以使P（x＝5）取得最大值的N為估計(jì)值）．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+（2﹣k）x+2k﹣3，k∈z．（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；（2）若x＞2，總有f（x）＞0，求k的最大值．22．（12分）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），斜率為1的直線l交C于不同于原點(diǎn)的S，T兩點(diǎn)，點(diǎn)M（2，3）為線段ST的中點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)切線l1，l2的交點(diǎn)為P．①求證：△PAB為直角三角形．②記△PAB的面積為S，求S的最小值，并指出S最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（5分）集合A={x∈N|log12x≥-1}，集合B＝{x∈Z|x2≤4}，則A．{2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．?【解答】解：A={x∈N|log12x≥-1}={B＝{x∈Z|x2≤4}＝{x∈Z|﹣2≤x≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩B＝{1，2}．故選：C．2．（5分）復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，且滿足z+a=1+5i1-i，a∈R，則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：z+a=1+5i1-i=故z＝﹣2﹣a+3i，∵復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，∴﹣2﹣a+3＝0，解得a＝1，故z＝﹣3+3i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣3，3）位于第二象限．故選：B．3．（5分）函數(shù)f(x)=sinx?lnx-1A． B． C． D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣sinx?ln-x-1-x+1=-sinx?lnx+1x-1=sinx?lnx-1x+1=f（x），則函數(shù)排除A，C，f（3）＝sin3ln12＜0，排除故選：D．4．（5分）(x+aA．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令x＝1，可得(x+ax)(x-解得a＝1，則展開(kāi)式即（x+1x）而(x-2x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r故（x+1x）(x-2x)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C故選：A．5．（5分）馮老師教高二4班和5班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，這兩個(gè)班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2的圖像如圖所示，其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P（|X﹣μ|≤σ）＝0.6827，P（|A．4班的平均分比5班的平均分高 B．相對(duì)于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)更分散 C．4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55% D．5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等【解答】解：對(duì)于A，4班的平均分為98分，5班的平均分為100分，則4班的平均分比5班的平均分低，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，5班的圖象比4班的圖象更“矮胖”，則相對(duì)于4班，5班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)更分散，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，4班f(x)=12πσ則P（X＞108）=12[1-P(|X-μ|≤2σ)]=0.02275≠對(duì)于D，5班f(x)=12πσ則P（X＞112）=1∵兩個(gè)班的人數(shù)相等，∴5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等．故選：D．6．（5分）冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽項(xiàng)目結(jié)合在一起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒(méi)命中，則被罰時(shí)1分鐘，總用時(shí)最少者獲勝．已知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件A為其在前兩輪射擊中沒(méi)有被罰時(shí)，事件B為其在第4輪射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么P（A|B）＝（）A．12 B．14 C．13【解答】解：由題意得P（B）=C31C51C∴P（A|B）=P(AB)P(B)=故選：C．7．（5分）我們知道：y＝f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：y＝f（x）的圖象關(guān)于（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y＝f（x+a）﹣b為奇函數(shù)．若f（x）＝x3﹣3x2的對(duì)稱中心為（m，n），則f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝（）A．8088 B．4044 C．﹣4044 D．﹣2022【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）＝f（x+1）+2，則g（x）＝（x+1）3﹣3（x+1）2+2＝x3﹣3x，所以g（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣g（x），則g（x）為奇函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于（1，﹣2）對(duì)稱，即f（x）+f（2﹣x）＝﹣4，f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝f（2023）+f（﹣2021）+f（2021）+f（﹣2019）+……+f（3）+f（﹣1）＝1011×（﹣4）＝﹣4044．故選：C．8．（5分）設(shè)a=9109，b＝ln1.09，c＝A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：令f（x）＝ex﹣1﹣x，（x≥0），∵f'（x）＝ex﹣1，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞f（0）＝0，即ex﹣1＞x，∴e0.09﹣1＞0.09，令g（x）＝ln（1+x）﹣x，（x≥0），∵g'（x）=-x∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜G（0）＝0，∴c∴l(xiāng)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n1.03＜g（0）＝0，（x≥0），∴l(xiāng)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n1.09＜0.09，∴c＞b，令h（x）＝ln（1+x）-x1+x，（∵h(yuǎn)′（x）=1∴當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）＝0，即ln（1+x）＞x∴l(xiāng)n1.09＞0.09∴b＞a，綜上，c＞b＞a．故選：D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，3an+1＝Sn，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)2=13 B．a(chǎn)nC．Sn=(43)【解答】解：由a1＝1，3an+1＝Sn……①，可得3a2＝S1＝a1＝1，∴a2=1當(dāng)n≥2時(shí)，有3an＝Sn﹣1……②，①﹣②可得3an+1﹣3an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，即an+1an∴an=1，n=1Sn＝1+13[1-(S5?S7=(43)4×(43)6=(43)即S5?S7=S62故選：AC．（多選）10．（5分）已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，點(diǎn)M（4，2），點(diǎn)P在圓C上，O為原點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．M在圓上 B．線段MP長(zhǎng)度的最大值為5+1C．當(dāng)直線MP與圓C相切時(shí)，|MP|＝2 D．MO→?MP→的最大值為【解答】解：∵（4﹣2）2+（2﹣3）2＝5＞1，∴點(diǎn)M（4，2）在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1外，故A錯(cuò)誤；由圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得圓心C（2，3），半徑r＝1，∴|MC|=(4-2)2+(2-3)2=當(dāng)直線MP與圓C相切時(shí)，||MP|=|MC|2設(shè)P（x，y），則MO→=（﹣4，﹣2），MP→=（∴MO→?MP→=-4（x﹣4）﹣2（y﹣2）＝﹣4x設(shè)z＝﹣4x﹣2y，直線2x﹣y+z＝0與圓C有公共點(diǎn)，∴|8+6+z|16+4≤1，解得|14+z|≤2∴﹣25-14≤z≤25-14，MO→?MP→的最大值為25+故選：BC．（多選）11．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax+b，a，b為實(shí)數(shù)，則滿足函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝0，b＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝3，b＝3【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)a＝﹣1，b＝2時(shí)，f（x）＝x3+x+2，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2+1＞0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)a＝0，b＝2時(shí)，f（x）＝x3+2，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2≥0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)a＝3，b＝﹣1時(shí)，f（x）＝x3﹣3x﹣1，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得極大值，極大值f（﹣1）＝1，在x＝1處取得極小值，極小值f（1）＝﹣3，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)a＝3，b＝3時(shí)，f（x）＝x3﹣3x+3，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得極大值，極大值f（﹣1）＝5，在x＝1處取得極小值，極小值f（1）＝1，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．（多選）12．（5分）已知三棱錐A﹣BCD，BC＝AD=2，其余棱長(zhǎng)均為5A．該幾何體外接球的表面積為6π B．直線AB和CD所成的角的余弦值是45C．若點(diǎn)M在線段CD上，則AM+BM最小值為3 D．A到平面BCD的距離是4【解答】解：對(duì)于A，如圖，三棱錐A﹣BCD放入長(zhǎng)方體ANCH﹣EDFB中，三棱錐A﹣BCD各棱長(zhǎng)為其面的對(duì)角線，由題意可得AH2+A所以長(zhǎng)方體ANCH﹣EDFB的對(duì)角線長(zhǎng)為AH因?yàn)槿忮FA﹣BCD與長(zhǎng)方體ANCH﹣EDFB有相同的外接球，長(zhǎng)方體ANCH﹣EDFB的對(duì)角線長(zhǎng)為外接球的直徑，所以外接球的表面積為4πr2＝4π×64=6π對(duì)于B，如圖，連接NF，交CD與O點(diǎn)，因?yàn)锳B∥NF，所以∠COF（或其補(bǔ)角）為直線AB和CD所成的角，因?yàn)镃D=5，AB=5，AE＝CF＝1，在△由余弦定理可得cos∠COF=CO2對(duì)于C，以CD為軸旋轉(zhuǎn)△ACD至△ACD與△BCD在同一個(gè)平面內(nèi)，因?yàn)锽C＝AD，BD＝CA，所以四邊形BCAD為平行四邊形，連接BA交CD于M，即M為CD中點(diǎn)時(shí)，AM+BM最小，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=B在△BCM中，由余弦定理得BM2＝BC2+CM2﹣2BC×CMcos∠BCD=54+所以AM+BM的最小值為32×2=3，故對(duì)于D，由A選項(xiàng)可知，長(zhǎng)方體ANCH﹣EDFB的體積為2×1×1＝2，VH﹣ACB＝VF﹣BCD＝VN﹣ACD＝VE﹣ABD=13×12×2=13由C選項(xiàng)cos∠BCD=1010，可得所以S△BCD=12BC×CDsin∠BCD所以A到平面BCD的距離為2313故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量a→，b→，|a→|=1，b→=（1，﹣1），a→⊥（【解答】解：∵a→⊥（a→-b→∴a→2-a→?b∵b→=（1，﹣1），∴∴|a故答案為：13．14．（5分）如圖所示，AC為平面四邊形ABCD的對(duì)角線，設(shè)CD＝1，sin∠ACD＝2sin∠CAD，△ABC為等邊三角形，則四邊形ABCD的面積的最大值為543【解答】解：在△ACD中，由正弦定理得：ADsin∠ACD∴AD=CD?sin∠ACDsin∠CAD=由余弦定理得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠D＝5﹣4cos∠D，∴四邊形ABCD的面積S＝S△ABC+S△ACD==3=5∵∠D∈（0，π），∴∠D-π∴當(dāng)∠D-π3=π2故答案為：5315．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)M（xM，yM），N（xxM2+xN2=3【解答】解：由△OAN與△OBM的面積相等可得：12a?yN=12b?∴xM2a∴3b2-∴b2a2=13，∴a2＝3b2＝3（∴e=c故答案為：6316．（5分）函數(shù)y＝[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.90]＝0，[lg99]＝1，已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an+1﹣an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2023項(xiàng)和為4962．【解答】解：∵an＝n（an+1﹣an），∴（1+n）an＝nan+1，即an+1∴{an∴an∴an＝n，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)1?n?9時(shí)，0?lgan＜1時(shí)，bn＝[lgan]＝0；當(dāng)10?n?99時(shí)，1?lgan＜2時(shí)，bn＝1；當(dāng)100?n?999時(shí)，2?lgan＜3時(shí)，bn＝2；當(dāng)1000?n?2023時(shí)，3?lgan＜4時(shí)，bn＝3；∴T2023＝[lga1]+[lga2]+?+[lga2023]＝90×1+900×2+1024×3＝4962．故答案為：4962．四．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中E為線段DD1的中點(diǎn)．（1）求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距離．【解答】（1）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．又BD⊥AC，AA1∩AC，∴BD⊥平面ACC1A1，BD?平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1，（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B1（1，0，1），E（1，1，12），A1∴AB1→=（1，0，1），AE→設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n→=（x，y，∴n→?AB1→=x+z=0∴平面AB1E的一個(gè)法向量為n→設(shè)求A1到平面AB1E的距離為d，則d=|即點(diǎn)A1到平面AB1E的距離為2318．（12分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}，a3＝﹣