83再探實際問題與二元一次方程組

PAGEPAGE108.3再探實際問題與二元一次方程組☆趣味導讀許多實際問題都可以通過設(shè)兩個（或更多）未知數(shù)，列出方程或方程組來解決，這種方法要比其他方法簡單、容易得多.下面這則小故事最早出現(xiàn)于《希臘文選》，讀完后，試試看，聰明的你能否知道驢和騾各馱著幾個包裹呢？（假定每個包裹重量相等）驢和騾肩并肩走在街上，各自都馱著幾個包裹，驢抱怨主人給它壓的擔子太重，騾卻說：“老兄，別抱怨，你的負擔并不算重！你瞧，假如你從背上拿一個包裹給我，我的負擔就是你的兩倍；而假如你從你的背上取走一個包裹，你的負擔也不過和我相同呀！”☆智能點撥【例1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【點撥】兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：①制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；②制盒身鐵皮張數(shù)的2倍=制盒底鐵皮張數(shù).【答案】設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，根據(jù)題意，得解這個方程組，得答：用110張制盒身，800張制盒底，正好制成一批完整的盒子.【例2】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.【點撥】題目中涉及的未知數(shù)較多：甲、乙單獨完成所需的時間，甲、乙單獨完成所需的工錢.我們可以根據(jù)第一類等量關(guān)系：（1）甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成；（2）甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成；列方程組求出甲、乙單獨完成所需的時間.再根據(jù)另一類等量關(guān)系：（1）甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；（2)甲公司單獨做4周后剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元，由此在得到一個方程組.【答案】設(shè)甲公司單獨完成需x周，需工錢a元；乙公司單獨完成需y周，需工錢b元，依題意可得采取換元法可解得∴依題意可得解得即甲公司單獨完成需6萬元，乙公司單獨完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨完成.【例3】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）【點撥】扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息金額×20%）.不扣稅時：利息=本金×年利率×年數(shù).【答案】設(shè)第一種儲蓄的年利率為x，第二種儲蓄的年利率為y，根據(jù)題意，得整理得解這個方程組，得答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%.☆隨堂反饋*畫龍點睛1.小明對小飛說：“我想了兩個數(shù)，如果第一個數(shù)加上第二個數(shù)的一半得90；若果第二個數(shù)減去第一個數(shù)的三分之一得68.”小飛很快說出了小明想好的數(shù).小明想好的兩個數(shù)是.2.某車間有62個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每3個甲種零件和2個一種零件配成一套.已知每人每天能加工甲種零件12個或乙種零件23個；現(xiàn)將62個工人分成2組，其中x人加工甲種零件，y人加工乙種零件，要使每天生產(chǎn)的零件配成套，則x=,y=.3.甲、乙兩個團體共100人去風景區(qū)旅游風景區(qū)規(guī)定超過60人可購買團體票，已知每張團體票比個人票優(yōu)惠20%，而甲、乙兩團體人數(shù)均不足60人；兩團體決定合起來買團體票，共優(yōu)惠1600元.則團體票為每張元.4.某人只帶2元和5元兩種貨幣，他要買一件27元的商品；而商店不給他找錢，要他恰好付27元，他有種付款方式.*慧眼識金1.有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是6，則符合條件的兩位數(shù)有（）A.4個B.5個C.6個D.無數(shù)個2.商店購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元，現(xiàn)為了擴大銷售量，將每件降低x%出售，但要求每件商品所獲得的利潤是降價前的90%，則x等于（）A.10B.4C.2D.1.83.某次知識競賽共出了25道題，評分標準如下：答對1題加4分，答錯一題扣1分，不答記0分；已知李同學不答的題比答錯的題多2個，他的總分為74分，則他答對了（）A.18個B.19個C.20個D.21個☆課后溝通1.甲、乙兩人的收入之比為4∶3，支出之比為8∶5，一年間兩人各存了500元，求兩人的年收入各是多少？2.甲輪船從A碼頭順流而下，乙輪船從B碼頭逆流而上，兩船同時出發(fā)相向而行，相遇于中點；而乙船順流航行的速度是甲船逆流航行的速度的2倍.已知水流速度是4km/h，求兩船在靜水中的速度.3.有兩個長方形，其中第一個長方形的長與寬之比為5∶4，第二個長方形的長與寬之比為3∶2，第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112cm，第一個長方形的寬比第二個長方形的長的2倍還大6cm，求這兩個長方形的面積.☆同步闖關(guān)某一彈簧懸掛2kg物體時長13cm，懸掛5kg物體時長14.5cm，問：(1)彈簧原長是多少？(2)當懸掛3kg的物體時，該彈簧的長度是多少？☆能力比拼在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調(diào)查了高峰時段北京二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車量數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛.”乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛.”丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路的2倍.”請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？☆創(chuàng)新樂園一位農(nóng)場主，又老又病，覺得自己的日子不多了.這是他打算，按如下的次序和方式分配他的財產(chǎn)：第一個兒子分100美元換剩下的財產(chǎn)的10%；第二個兒子分200美元和剩下的財產(chǎn)的10%；第三個兒子分300美元和剩下的財產(chǎn)的10%；第四個兒子分400美元和剩下的財產(chǎn)的10%；……結(jié)果，沒個兒子分的一樣多，你能猜到這位老人共有幾個兒子嗎？☆單元中考鏈接1.(2002年，湖南省)二元一次方程組的解是（）A.B.C.D.【點撥】根據(jù)二元一次方程組的解的定義知道，二元一次方程組的解必須同時使兩個方程都成立.【答案】A2.(吉林省)二元一次方程組的解是.【點撥】利用加減消元法【答案】3.(新疆烏魯木齊)今年世界杯足球賽的積分方法如下：贏一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.某小組四個隊進行單循環(huán)賽后，其中一隊積了7分，若該隊贏了x場，平了y場，則(x,y)是（）A.(1,4)B.(2,1)C.(0,7)D.(3,-2)【點撥】由題意可知3x+y=7∵x、y都是整數(shù)，且0≤x≤3，0≤y≤3，∴只有當x=2，y=1時，符合單循環(huán)賽制，有3×2+1=7.【答案】B.☆單元課題研究【提出問題】要用20張白卡紙做包裝盒，每張白卡紙可以做盒身2個，或者做盒蓋3個。如果1個盒身和兩個底蓋可以做成1個包裝盒，那么能否把這些白卡紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套？請你設(shè)計一種分法.如果不允許剪開白卡紙（即一張白卡紙不能既做盒身，又做盒底蓋），能不能找到符合題意的分法？如果允許剪開一張白卡紙，怎樣才能既符合題意，又能最充分的利用白卡紙？【探究準備】解本題的關(guān)鍵是抓住兩個等量關(guān)系：（1）做盒身的白卡紙張數(shù)+做盒底蓋的白卡紙的張數(shù)=20；（2）盒底蓋的個數(shù)=盒身個數(shù)的2倍.【探究過程】設(shè)用x張白卡紙做盒身，y張白卡紙做盒底蓋，根據(jù)題意，得解得顯然，如果不允許剪開白卡紙，就不能找到符合題意的分法.如果允許剪開白卡紙，我們可以用8張白卡紙做盒身，可做8×2=16（個）；用11張白卡紙做盒底蓋，可做3×11（個）；余下的1張白卡紙剪成兩半，一半做盒身，一半做盒底蓋，一共可以做17個包裝盒，這樣也充分地利用了材料.【探究過程】現(xiàn)實生活中有許多問題，往往隱含著量與量之間的關(guān)系，可通過建立數(shù)學模型解決.單元綜合評估一、填空題1.已知方程xm+y2n+2=0是二元一次方程，則m+n=.2.若是關(guān)于x、y的方程(ax+by-12)2+|ax-by+1|=0的一組解，則a=，b=.3.當x取-1，0時，代數(shù)式ax2+bx-a的值分別是2，-3，則a=，b=.4.在正整數(shù)范圍內(nèi)，方程3x+y=5的解是.5.已知二元一次方程6(x+y)-5(2x-3y)=1,用含x的代數(shù)式表示y就是.用含y的代數(shù)式表示x就是.6.要使方程組有正整數(shù)解，那么整數(shù)a的取值是.7.請你寫出一個以為解的二元一次方程組.8.某人言電車路線行走，每12min有一輛電車從后面追上，每4min有一輛電車迎面而來，若行人與電車都是勻速前進，則電車每個min從起點開出一輛.二、選擇題1.在二元一次方程組中，若這個方程組沒有解，則（）A.m=9B.m=6C.m=-6D.m=-92.與二元一次方程3x-y=2組成的方程組有無數(shù)各解的方程是（）A.6x+y=4B.x+y=3C.6x-2y=4D.7x-2y=53.一個兩位數(shù)加上18，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字恰好換了位置，則這個兩位數(shù)是（）A.13B.13或24C.由9種可能性D.有7種可能性4.有一些蘋果箱，若每只裝蘋果25kg，則剩余40kg無處裝；若每只裝蘋果30kg，則余下20只空箱子，這些蘋果箱有（）A.12只B.60只C.112只D.128只三、解答題1.用適當?shù)姆椒ń夥匠探M(1)(2)(3)(4)2.已知方程組，且3x-2y=a，求a的值.3.已知方程(m-2)x|m|-1+(n+3)yn-8=6時二元一次方程，求m、n的值；若x=，求y的值.4.已知方程組，若求a、b的值，可增加什么條件？按你增加的條件，求出a和b的值.5.某同學在A、B兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包的單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包的單價的4倍少8元.（1）求該同學看中的隨身太和書包的單價是多少元？（2）某一天該同學上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品8折銷售，超市B全場購物滿100元返30元購物券（不足100元不返券，購物券全程通用），但他只帶400元錢，如果他只在一家超市購買看中的這兩樣物品，你能說明他可以選擇哪一家購買嗎？若兩家都選擇，那一家購買更省錢？四、開放題某地生產(chǎn)一種“綠色蔬菜”，若在市場上直接銷售，每噸利潤1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收購這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行.因受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此，公司制訂了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工.方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒有來得及進行精加工的蔬菜，在市場上直接銷售.方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么？七年級數(shù)學下冊第八章8.1～8.2水平測試（Ａ）一、耐心填一填，一錘定音?。啃☆}6分，共30分）1．在方程中，如果用含有的式子表示，則_____．2．若方程的一個解是則_____．3．請寫出一個以為解的二元一次方程組_____．4．在二元一次方程中，當時，_____．5．學校的籃球數(shù)比排球數(shù)的倍少個，籃球數(shù)與排球數(shù)的比是，求這兩種各有多少個？若設(shè)籃球有個，排球有個，則依題意得到的方程組是_____．二、精心選一選，慧眼識金?。啃☆}5分，共15分）1．下列方程組中，是二元一次方程組的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．下列說法中正確的是（）Ａ．二元一次方程中只有一個解Ｂ．二元一次方程組有無數(shù)個解Ｃ．二元一次方程組的解必是它所含的二元一次方程的公共解Ｄ．判斷一組解是否為二元一次方程的解，只需代入其中的一個二元一次方程即可3．西部山區(qū)某縣響應(yīng)國家“退耕還林”的號召，將該縣一部分耕地改還為林地，改還后，林地面積和耕地面積共有，耕地面積是林地面積的，設(shè)改還后耕地面積為，林地面積為，則下列方程組中，正確的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．三、用心做一做，馬到成功?。ū敬箢}共20分）1．（本題10分）解方程組：（1）（2）2．（本題10分）已知等式，當時，；當時，；求的值．四、綜合運用，現(xiàn)接再厲?。ū敬箢}共35分）1．（本題11分）小明在做家庭作業(yè)時發(fā)現(xiàn)練習冊上一道解方程組的題目被墨水污染“”表示被污染的內(nèi)容，他著急，翻開書后面的答案，這道題的解是你能幫助他補上“”的內(nèi)容嗎？說出你的方法．2．（本題12分）若方程組的解與相等，求的值．3．（本題12分）有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第一次稱量第二次稱量七年級數(shù)學下冊第八章8.1～8.2水平測試參考答案（Ａ）一、1．2．3．略4．5．二、1．Ｃ2．Ｃ3．Ｂ三、1．（1）（2）2．，四、1．，．2．．3．黑球克，白球克．第八章（8.1-8.2）素質(zhì)測試（10-6）班級姓名評價一、選擇題：你能把唯一正確結(jié)論的代號填入括號內(nèi)嗎？1.表示二元一次方程組的是（）A．B．C．D．２．已知方程是二元一次方程，則必須滿足（）A.B.C.D.３.方程組的解是（）A．B．C．D．４.設(shè)則（）A．12；B．C．D．５.設(shè)方程組的解是那么的值分別為（）A．B．C．D．６.方程的正整數(shù)解的個數(shù)是（）A．4；B．3；C．2；D．1７.在等式中，當時，（）．A．23；B．-13；C．-5；D．13８．已知與都是方程的解，則的值為()A.1B.2C.3D.4x=2x=2y=1９.若是方程2x+3my=1的一個解，則m=.10.中，若則_______．11.由_______，用_______．12.如果那么_______．13.如果是一個二元一次方程，那么數(shù)=______，=______．14.若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，則x=，y=

15．方程組的解中和的值相等，則=.１６．自編一道關(guān)于、的二元一次方程組，使它的解為三、解下列方程組：1７.1８.1９.20.1９.20.２１.２１.２２．你能求得的值，使得方程組與有相同的解嗎？2３．已知方程組的解的和是12，求的值．２４．方程組有正整數(shù)解，試求正整數(shù)的值．10-6答案一．1.D2.C3.B4.C5.A6.B7.D8.D二．9.m=-110.411.(11x-6)/9(9y+6)/1112.213.a=3,b=414.x=0.6y=2.215.516.3x+2y=14x-y=-6其他方程組只要正確也可。三．17.x=2318.x=119.x=120.a=0.521..x=-3y=13.y=0.y=9b=1/3y=122.能m=8n=523.k=1424.a=1、2二元一次方程組知識梳理二元一次方程組一、學習目標

1.了解并認識二元一次方程的概念.

2.了解與認識二元一次方程的解.

3.了解并掌握二元一次方程組的概念并會求解.

4.掌握二元一次方程組的解并知道與二元一次方程的解的區(qū)別.

5.掌握代入消元法和加減消元法.

二、知識概要

1.二元一次方程：像x＋y＝2這樣的方程中含有兩個未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程組：把兩個方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合寫在一起為像這樣，把兩個二元一次方程組合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

4.二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

5.代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，把一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

6.加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

三、重點難點

代入消元法和加減消元法是本周學習的重點，也是本周學習的難點.

四、知識鏈接

本周的二元一次方程組由我們學過的一元一次方程演化而來，為以后解決實際問題提供了一種有力的工具.

五、中考視點

本周所學的二元一次方程組經(jīng)常在中考中的填空、選擇中出現(xiàn)，還有的出現(xiàn)在解答題的計算當中.二元一次方程組的實際應(yīng)用一、學習目標

將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學問題，建立數(shù)學模型（即二元一次方程組），解決問題.

二、知識概要

列方程組解應(yīng)用題的常見類型主要有：

１.行程問題.包括追及問題和相遇問題，基本等量關(guān)系為：路程＝速度×時間；

２.工程問題.一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題.

基本等量關(guān)系為：工作量＝工作效率×工作時間；

3.和差倍分問題.基本等量關(guān)系為：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×1倍量；

4.航速問題.此類問題分為水中航行和風中航行兩類，基本關(guān)系式為：

順流（風）：航速＝靜水（無風）中的速度＋水（風）速

逆流（風）：航速＝靜水（無風）中的速度－水（風）速

5.幾何問題、年齡問題和商品銷售問題等.

三、重點難點

建立數(shù)學模型（二元一次方程組）是本周的重點，也是本周的難點.

四、知識鏈接

本周知識是上周學的二元一次方程組的實際應(yīng)用，為解決一些實際問題提供了一個模型，一種方法.

五、中考視點

二元一次方程組是中考重點考查的內(nèi)容之一，主要有以下幾個方面：

（1）從實際數(shù)學問題中構(gòu)造一次方程組，解決有關(guān)問題；

（2）能從圖表中獲得有關(guān)信息，列方程組解決問題.第二節(jié)、教材解讀二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．從定義中可以看出：二元一次方程具備以下四個特征：

（1）是方程；

（2）有且只有兩個未知數(shù)；

（3）方程是整式方程，即各項都是整式；

（4）各項的最高次數(shù)為1.

例如：像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有兩個未知數(shù)，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，雖然含有兩個未知數(shù)x、y且次數(shù)都是1，但未知項xy的次數(shù)為2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必須同時具備以上四點．

2．二元一次方程組

含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組，它有兩個特點：一是方程組中每一個方程都是一次方程；二是整個方程組中含有兩個且只含有兩個未知數(shù)，如

一次方程組．

3．二元一次方程的一個解

符合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解．

一般地二元一次方程的解有無數(shù)個，例如x+y=2中，由于x、y只是受這個方程的約束，并沒有被取某一個特定值而制約，因此，二元一次方程有無數(shù)個解．

4．二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解．

定義中的公共解是指同時使二元一次方程組中的每一個方程左右兩邊的值都相等，而不是使其中一個或部分左右兩邊的值相等，由于未知數(shù)的值必須同時滿足每一個方程，所以，二元一次方程組一般情況下只有惟一的一組解，即構(gòu)成方程組的兩個二元一次方程的公共解．第三節(jié)、錯題剖析

【誤解】A或D．

【思考與分析】二元一次方程組的解是使方程組中的每一個方程的左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，而中的一個方程的解，并不能讓另一方程左、右兩邊相等，所以它們都不是這個方程組的解，只有C是正確的．

驗證方程組的解時，要把未知數(shù)的值代入方程組中的每個方程中，只有使每個方程的左、右兩邊都相等的未知數(shù)的值才是方程組的解．

【正解】C．

把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.

所以y可以為任何值.

所以原方程組有無數(shù)組解．

【思考與分析】代入法是求二元一次方程組的解的一種基本方法．它的一般步驟是：（1）從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，如本題中方程②中的x，用含y的代數(shù)式表示為x=8-3y；（2）將這個變形所得的代數(shù)式代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；這里要求代入“另一個”方程，“誤解”把它代入到變形的同一個方程中，得到了一個關(guān)于y的恒等式，出現(xiàn)了錯誤．（3）解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；（4）將求出的未知數(shù)的值代入前面變形所得的式子中，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解．

【正解】由式②得x=8-3y③

把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，

解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103.所以【例3】解方程組

【錯解】方程①-②得：－3y=0，所以y=0，

把y=0，代入②得x=－2，所以原方程組的解為

【分析】在①-②時出錯.

【正解】①-②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）

x－2y－x＋y＝4

－y=4

y=－4

把y=－4代入②得x=－6，

所以原方程組的解為

【小結(jié)】兩方程相減時，易出現(xiàn)符號錯誤，所以要特別細心.

【例4】某化妝晚會上，男生臉上涂藍色油彩，女生臉上涂紅色油彩.游戲時，每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的2倍少1人；而每個女生都看見涂藍色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩的人數(shù)的，問晚會上男、女生各有幾人？

錯解:設(shè)晚會上男生有x人，女生有y人.

根據(jù)題意，得

把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.

所以答:晚會上男生3人，女生5人.

【分析】本題錯在對題中的數(shù)量關(guān)系沒有弄清.每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的2倍少1人，這里涂藍色油彩的人數(shù)不是題中所有的男生人數(shù)，而是除自己之外的男生人數(shù)，同理，女生看到的人數(shù)也應(yīng)是除自己以外的女生人數(shù).

正解:設(shè)晚會上男生有x人，女生有y人.

根據(jù)題意，得

把③代入④,得

x=［2（x-1）－1－1］，

解得x=12.

把x=12代入④，得y=21.

所以

答：晚會上男生12人，女生21人.解二元一次方程組的問題看似簡單，但如果你稍不注意，就有可能犯如下錯誤.

【例5】解方程組

【錯解】方程①＋②得：2x=4，

原方程組的解是：x=2

【錯因分析】錯解只求出了一個未知數(shù)x，沒有求出另一個未知數(shù)y.所以求解是不完整的.

【正解】（接上）將x=2帶入②得：y=0.所以原方程組的解為

【小結(jié)】用消元法來解方程組時，只求出一個未知數(shù)的解，就以為求出了方程組的解，這是對二元一次方程組的解的意義不明確的表現(xiàn).應(yīng)牢記二元一次方程組的解是一組解，而不是一個解.

【例6】解方程組

【錯解】由式①得y=2x-19

③

把式③代入式②得2（2x－19－

【錯因分析】“錯解”在把變形后的式③代入式②時，符號書寫出現(xiàn)了錯誤．當解比較復雜的方程組時，應(yīng)先化簡，在求出一個未知數(shù)后，可以將它代入化簡后的方程組里的任意一個方程中，求出第二個未知數(shù)，這樣使得運算方便，避免出現(xiàn)錯誤．

【正解一】化簡原方程組得

【正解二】化簡原方程組得

①×6+②得17x=114，

【小結(jié)】解二元一次方程組可以用代入法，也可以用加減法．一般地說，當方程組中有一個方程的某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1或有一個方程的常數(shù)項是0時，用代入法比較方便；當兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法比較方便．第四節(jié)、思維點撥小紅到郵局寄掛號信，需要郵資３元８角.小紅有票額為６角和８角的郵票若干張，問各需多少張這兩種面額的郵票？【思考與解】要解此題，第一步要找出問題中的數(shù)量關(guān)系.寄信需郵資３元８角，由此可知所需郵票的總票額要等于所需郵資3.8元.再接著往下找數(shù)量關(guān)系，所需郵票的總票額等于所需６角郵票的總票額加上所需８角郵票的總票額.所需６角郵票的總票額等于單位票額６角與所需６角郵票數(shù)目的乘積.同樣的，所需８角郵票的總票額等于單位票額８角與所需８角郵票數(shù)目的乘積.這就是題中蘊含的所有數(shù)量關(guān)系.

第二步要抓住題中最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.由圖可知最主要的數(shù)量關(guān)系是：所需郵資=所需郵票的總票額.

第三步要在構(gòu)建等式的基礎(chǔ)上找出這個數(shù)量關(guān)系中牽涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需郵資３.8元，兩種郵票的單位票額０.6元和0.8元，未知量是兩種郵票的數(shù)目.

第四步是設(shè)元（即設(shè)未知量），并用數(shù)學符號語言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程.設(shè)0.6元的郵票需x張，0.8元的郵票需y張，用字母和運算符號將其轉(zhuǎn)化為方程：0.6x+0.8y=3.8.

第五步是解方程，求得未知量.由于兩種郵票的數(shù)目都必須是自然數(shù)，此二元一次方程可以用列表嘗試的方法求解.方程的解是

第六步是檢驗結(jié)果是否正確合理.方程的兩個解中兩種郵票的數(shù)目均為正整數(shù)，將兩解代入方程后均成立，所以結(jié)果是正確合理的.

第七步是答，需要1張6角的郵票和4張8角的的郵票，或需要5張6角的郵票和1張8角的的郵票.【例2】小聰全家外出旅游，估計需要膠卷底片１２０張.商店里有兩種型號的膠卷：Ａ型每卷３６張底片，Ｂ型每卷１２張底片.小聰一共買了４卷膠卷，剛好有１２０張底片.求兩種膠卷的數(shù)量.【思考與解】第一步：找數(shù)量關(guān)系.Ａ型膠卷數(shù)＋Ｂ型膠卷數(shù)＝膠卷總數(shù)，Ａ型膠卷的底片總數(shù)＋Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝底片總數(shù).Ａ型膠卷的底片總數(shù)=每卷Ａ型膠卷所含底片數(shù)×Ａ型膠卷數(shù)，Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝每卷Ｂ型膠卷所含底片數(shù)×Ｂ型膠卷數(shù).

第二步：找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.Ａ型膠卷數(shù)＋Ｂ型膠卷數(shù)＝膠卷總數(shù)，Ａ型膠卷的底片總數(shù)＋Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝底片總數(shù).

第三步：找出未知量和已知量.已知量是：膠卷總數(shù)，度片總數(shù)，每卷Ａ型膠卷所含底片數(shù)，每卷Ｂ型膠卷所含底片數(shù)；未知量是：Ａ型膠卷數(shù)，Ｂ型膠卷數(shù).

第四步：設(shè)元，列方程組.設(shè)Ａ型膠卷數(shù)為x，Ｂ型膠卷數(shù)為y，根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系可列出方程組：

第五步：答：Ａ型膠卷數(shù)為3，Ｂ型膠卷數(shù)為1.

【小結(jié)】我們在解這類題時，一般就寫出設(shè)元、列方程組并解出未知量和答這幾步，如有必要可以加上驗證這一步.其他步驟可以省略.

【例３】用加減法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，故將兩方程相加，消去y.

解：①＋②，得４x=8.

解得x=2.

把x=2代入①，得2+2y=3.

解得y=.

所以，原方程組的解為：

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，故先將方程①×2再與方程②作差消去x較好.

解：①×２，得4x-6y=16.

③

②－③，得11y=-22.

解得y=-2.

把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８.解得x=1.

所以原方程組的解為

【思考與分析】如果用代入法解這個方程組，就要從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)，然后代入另一個方程.本題中，方程②的系數(shù)比較簡單，應(yīng)該將方程②進行變形.

如果用加減法解這個方程組，應(yīng)從計算簡便的角度出發(fā)，選擇應(yīng)該消去的未知數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn)，消去x比較簡單.只要將方程②兩邊乘以2，然后將兩方程相減即可消去x.

解法1：由②得x=8-2y.③

把③代入①得

2（8-2y）+5y=21，解得y=5.

把y=5代入③得x=-2.

所以原方程組的解為：

解法2：②×2得2x+4y=16.③

①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.

把y=5代入②得x=-2.

所以原方程組的解為

【小結(jié)】我們解二元一次方程組時，用到的都是消元的思想，用代入法還是加減法解題，原則上要以計算簡便為依據(jù).【例6】用代入法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)方程①為用y表示x的形式，故將①代入②，消去x.

解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.

解得y=-1.

把y=-1代入①，得x=2.

所以原方程組的解為

【例7】用代入法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)方程①更易于變?yōu)橛煤粋€未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，故選擇①變形，消去y.

解：由①，得y=2x-5.

③

把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.

把x=2代入③，得y=-1.

所以原方程組的解為：

【例8】甲、乙兩廠，上月原計劃共生產(chǎn)機床90臺，結(jié)果甲廠完成了計劃的112％，乙廠完成了計劃的110％，兩廠共生產(chǎn)機床100臺，求上月兩廠各超額生產(chǎn)了多少臺機床？

【思考與分析】我們可以采用兩種方法設(shè)未知數(shù)，即直接設(shè)法和間接設(shè)法.直接設(shè)法就是題目要求什么就設(shè)什么為未知數(shù)，本題中就是設(shè)上月甲廠超額生產(chǎn)x臺，乙廠超額生產(chǎn)y臺；而間接設(shè)法就是問什么并不設(shè)什么，而是采用先設(shè)出一個中間未知數(shù)，求出這個中間未知數(shù)，再利用它同題中要求未知數(shù)的聯(lián)系，解出所要求的未知數(shù)，題中我們可設(shè)上月甲廠原計劃生產(chǎn)x臺，乙廠原計劃生產(chǎn)y臺.

解法一：直接設(shè)法.

設(shè)上月甲廠超額生產(chǎn)x臺，乙廠超額生產(chǎn)y臺，則共超額了100－90＝10（臺），而甲廠計劃生產(chǎn)的臺數(shù)是臺，乙廠計劃生產(chǎn)的臺數(shù)是臺.

根據(jù)題意，得

答：上月甲廠超額生產(chǎn)6臺，乙廠超額生產(chǎn)4臺.

解法二：間接設(shè)法.

設(shè)上月甲廠原計劃生產(chǎn)x臺，乙廠原計劃生產(chǎn)y臺.

根據(jù)題意，得

所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，

y×（110％-1）＝40×10％＝4.

答：上月甲廠超額生產(chǎn)6臺，乙廠超額生產(chǎn)4臺.【例9】某學校組織學生到100千米以外的夏令營去，汽車只能坐一半人，另一半人步行.先坐車的人在途中某處下車步行，汽車則立即回去接先步行的一半人.已知步行每小時走4千米，汽車每小時走20千米（不計上下車的時間），要使大家下午5點同時到達，問需何時出發(fā).

【思考與分析】我們從行程問題的3個基本量去尋找，可以發(fā)現(xiàn)，速度已明確給出，只能從路程和時間兩個量中找出等量關(guān)系，有題意知，先坐車的一半人，后坐車的一半的人，車三者所用時間相同，所以根據(jù)時間來列方程組.如圖所示是路程示意圖，正確使用示意圖有助于分析問題，尋找等量關(guān)系.

解：設(shè)先坐車的一半人下車點距起點x千米，這個下車點與后坐車的一半人的上車點相距y千米，根據(jù)題意得

化簡得

從起點到終點所用的時間為

所以出發(fā)時間為：17－10＝7.即早晨7點出發(fā).

答：要使學生下午5點到達，必須早晨7點出發(fā).

【例10】小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）

【思考與分析】設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：

解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則

答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

【反思】我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.第五節(jié)、競賽數(shù)學【例1】已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.

【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.

（１）由已知方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.

（２）把k當做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出k的值.

（３）將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.

把代入①，得，解得k=-4.

解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，

解法三：①+②，得5x-y=2k+11.

又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.

【小結(jié)】解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解法了.【例2】某種商品價格為每件３３元，某人身邊只帶有２元和５元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品.若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出２元和５元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？

【思考與分析】本題我們可以運用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解.我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解.

最后，比較各個解對應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少.

解：設(shè)付出２元錢的張數(shù)為x，付出５元錢的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù).依題意可得方程：2x+5y=33.

因為5y個位上的數(shù)只可能是０或５，

所以2x個位上數(shù)應(yīng)為３或８.

又因為２x是偶數(shù)，所以２x個位上的數(shù)是８，從而此方程的解為：

由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少.

答：付款方式有３種，分別是：付出４張２元錢和５張５元錢；付出９張２元錢和３張５元錢；付出１４張２元錢和１張５元錢.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例3】解方程組

【思考與分析】本例是一個含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零.

解：由①，得

y=4－mx，

③

把③代入②，得

2x+5（4－mx）=8，

解得

（2－5m）x=-12，當2－5m＝0，

即m＝時，方程無解，則原方程組無解.

當2－5m≠0，即m≠時，方程解為

將代入③，得

故當m≠時，

原方程組的解為

【小結(jié)】含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時需要討論字母系數(shù)的取值情況．

對于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1與b1、a2與b2都至少有一個不等于零，則

①時，原方程組有惟一解；

②時，原方程組有無窮多組解；

③時，原方程組無解.【例4】某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了訓練：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4分鐘可以通過800名學生.

（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生？

（2）檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20％.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由.

【思考與解】（1）設(shè)平均每分鐘一道正門可通過x名學生，一道側(cè)門可以通過y名學生.

根據(jù)題意，得

所以平均每分鐘一道正門可以通過學生120人，一道側(cè)門可以通過學生80人.

（2）這棟樓最多有學生4×8×45=1440（人）.擁擠時5分鐘4道門能通過

5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.

因為1600>1440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定.

答:平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學生、80名學生；建造的這4道門符合安全規(guī)定.【例5】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：

張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？

【思考與分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5元、4元.相對應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù).

解：設(shè)張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克．由題意，得0<x<25．

①當0<x≤20，y≤40時，由題意，得

②當0<x≤20，y>40時，由題意，得（與0<x≤20，y≤40相矛盾，不合題意，舍去）．

③當20<x<25時，25<y<30．此時張強用去的款項為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）.

綜合①②③可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克.

答：張強第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克.

【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，要進行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】用如圖１中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖２的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現(xiàn)在倉庫里有１０００張正方形紙板和２000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？

【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長方形紙板的總數(shù)2０００，未知量是豎式紙盒的個數(shù)和橫式紙盒的個數(shù).而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：

每個豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×橫式紙盒個數(shù)=正方形紙板的總數(shù)

每個豎式紙盒要用的長方形紙板數(shù)×豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的長方形紙板數(shù)×橫式紙盒個數(shù)=長方形紙板的總數(shù)

通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用１張正方形紙板和４張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用２張正方形紙板和３張長方形紙板.

解：由題中的等量關(guān)系我們可以得到下面圖表所示的關(guān)系.

設(shè)豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個.根據(jù)題意，得

①×4-②，得５y=2000，

解得y=400.

把y=400代入①，得x+800=1000，

解得x=200.

所以方程組的解為

因為200和400均為自然數(shù)，所以這個解符合題意.

答：豎式紙盒做２００個，橫式紙盒做４００個，恰好將庫存的紙板用完.第六節(jié)、本章訓練基礎(chǔ)訓練題一、填空題（每題7分，共35分）

1.一個兩位數(shù)的數(shù)字之和是7，這個兩位數(shù)減去27，它的十位和個位上的數(shù)字就交換了位置，則這個兩位數(shù)是

.

2.已知甲、乙兩人從相距３６km的兩地同時相向而行，1h相遇.如果甲比乙先走h，那么在乙出發(fā)后h與甲相遇.設(shè)甲、乙兩人速度分別為xkm/h、ykm/h，則x＝

，y＝

.

3.甲、乙二人練習賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就能追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，兩人每秒鐘各跑的米數(shù)是

.

4.一隊工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，全隊一天就超額30件；若平均每人一天做4件，全隊一天就比定額少完成20件.若設(shè)這隊工人有x人，全隊每天的數(shù)額為y件，則依題意可得方程組

.

5.某次知識競賽共出了25道題，評分標準如下：答對1題加4分；答錯1題扣1分；不答記0分.已知小明不答的題比答錯的題多2道，他的總分為74分，則他答對了

.

二、選擇題（每題7分，共35分）

1.一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，且能被3整除，若將十位數(shù)字與個位數(shù)字交換又能被5整除，這個兩位數(shù)是（

）.

A.53

B.57

C.35

D.75

2.甲、乙兩車相距150km，兩車同時出發(fā)，同向而行，甲車4h可追上乙車；相向而行，1.5h后兩車相遇.設(shè)甲、乙兩車的平均速度分別為xkm/h、ykm/h.以下方程組正確的是（

）.

3.甲、乙二人從同一地點出發(fā)，同向而行，甲騎車乙步行.若乙先行12km，那么甲1小時追上乙；如果乙先走1小時，甲只用小時就追上乙，則乙的速度是（

）km/h.

A.6

B.12

C.18

D.36

4.一艘船在一條河上的順流速度是逆流速度的2倍，則船在靜水中的速度與水流的速度之比為（

）.

A.4：3

B.3：2

C.2：1

D.3：1

5.某校初中畢業(yè)生只能報考第一高中和第二高中中的一所.已知報考第一高中的人數(shù)是報考第二高中的2倍，第一高中的錄取率為50％，第二高中的錄取率為60％，結(jié)果升入第一高中的人數(shù)比升入第二高中的人數(shù)多64人，則升入第一高中與第二高中的分別有（

）.

A.320人，160人

B.100人，36人

C.160人，96人

D.120人，56人

三、列方程組解應(yīng)用題（每題15分，共30分）

1.一批機器零件共840個，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個機器零件？

2.師傅對徒弟說“我像你這樣大時，你才4歲，將來當你像我這樣大時，我已經(jīng)是52歲的人了”.問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲？答案

一、填空題

1.52

2.９，１１

3.甲跑6米，乙跑4米

5.19道題

二、選擇題

1.B2.B3.A4.D5.C

三、列方程組解應(yīng)用題

1.【解題思路】由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系我們可列方程組求解.

解：設(shè)甲每天做x個機器零件，乙每天做y個機器零件，根據(jù)題意，得

答：甲每天做50個機器零件，乙每天做30個機器零件

2.【解題思路】由“我像你這樣大時，你才4歲”可知師傅現(xiàn)在的年齡等于徒弟現(xiàn)在的年齡加上徒弟現(xiàn)在的年齡減4，由“當你像我這樣大時，我已經(jīng)是52歲的人了”可知52等于師傅現(xiàn)在的年齡加上師傅現(xiàn)在的年齡減去徒弟的年齡.由這兩個關(guān)系可列方程組求解.

解：設(shè)現(xiàn)在師傅x歲，徒弟y歲，根據(jù)題意，得

答：現(xiàn)在師傅36歲，徒弟20歲.提高訓練題甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時相向而行，經(jīng)過3小時后相距3千米，再經(jīng)過2小時，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.2.小華不小心將墨水濺在同桌小麗的作業(yè)本上，結(jié)果二元一次方程組中第一個方程y的系數(shù)和第二個方程x的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知小麗的結(jié)果是你能由此求出原來的方程組嗎？3.若是關(guān)于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一個解，求a的值.

4.已知方程組

其中正確的說法是（）

A．只有（1）、（3）是二元一次方程組；

B．只有（1）、（4）是二元一次方程組；

C．只有（2）、（3）是二元一次方程組；

D．只有（2）不是二元一次方程組．

答案

1.解：設(shè)甲、乙的速度分別為x千米/時和y千米/時.

第一種情況：甲、乙兩人相遇前還相距3千米.

根據(jù)題意，得

第二種情況：甲、乙兩人是相遇后相距3千米.

根據(jù)題意，得

答：甲、乙的速度分別為4千米/時和5千米/時；或甲、乙的速度分別為千米/時和千米/時.

2.解：設(shè)第一個方程中y的系數(shù)為a，第二個方程的x系數(shù)為b.則原方程組可寫成

3.解：既然是關(guān)于x、y的二元一次方程3x－y＋a＝0的一個解，那么我們把代入二元一次方程3x－y＋a＝0得到3－2＋a＝0，解得a＝－1.

4.解：二元一次方程組是由兩個以上一次方程組成并且只含有兩個未知數(shù)的方程組，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程組中方程的個數(shù)可以超過兩個．本題中的（1）、（3）、（4）都是二元一次方程組，只有（2）不是．所以選D.強化訓練題1.解關(guān)于x，y的方程組，并求當解滿足方程4x－3y＝21時的k值

2.有兩個長方形，第一個長方形的長與寬之比為5∶4，第二個長方形的長與寬之比為3∶2，第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112cm，第一個長方形的寬比第二個長方形的長的2倍還大6cm，求這兩個長方形的面積.3.甲乙兩人做加法，甲在其中一個數(shù)后面多寫了一個0，得和為2342，乙在同一個加數(shù)后面少寫了一個0，得和為65，你能求出原來的兩個加數(shù)嗎？4.某校2006年初一年級和高一年級招生總數(shù)為500人，計劃2007年秋季初一年級招生人數(shù)增加20％，高一年級招生人數(shù)增加25％，這樣2007年秋季初一年級、高一年級招生總數(shù)比2006年將增加21％，求2007年秋季初一、高一年級的招生人數(shù)各是多少？答案

從而第一個長方形的面積為：

5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；

第二個長方形的面積為：

3y×2y＝6y2＝150（cm2）.

答：這兩個長方形的面積分別為1620cm2和150cm2.3.解：設(shè)兩個加數(shù)分別為x、y.根據(jù)題意，得解得

所以原來的兩個加數(shù)分別為230和42.

4.解：設(shè)2007年初一年級秋季招生人數(shù)為x，高一年級招生人數(shù)為y.

根據(jù)題意得

解得

答：2007年初一年級秋季招生人數(shù)為480人，高一年級招生人數(shù)為125人.綜合訓練題一、精心選一選（每題7分，共35分）

1.方程組的解是（

）.

2.在一次小組競賽中，遇到了這樣的情況：如果每組7人，就會余3人；如果每組8人，就會少5人.問競賽人數(shù)和小組的組數(shù)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，組數(shù)為y，根據(jù)題意，可列方程組（）.

3.買甲、乙兩種純凈水共用250元，其中甲種水每桶8元，乙種水每桶6元，乙種水的桶數(shù)是甲種水的桶數(shù)的75%，設(shè)買甲種水x桶、乙種水y桶，則所列方程組中正確的是（）.

4.一個兩位數(shù)被9除余2，如果把它的十位與個位交換位置，則所得的兩位數(shù)被9除余5，設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則下面正確的是（

）.（以下選項中k1、k2都為整數(shù)）

5.用面值l元的紙幣換成面值為l角或5角的硬幣，則換法共有（

）種.

A.4

B.3

C.2

D.1

二、用心填一填（每題7分，共35分）

1.一艘輪船順流航行，每小時行20千米；逆流航行每小時行16千米.則輪船在靜水中的速度為

______，水流速度為______.

2.一隊工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，那么全隊一天就比定額少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全隊一天就超額20件.則這隊工人有______人，全隊每天制造的工件數(shù)額為______件.

3.已知甲、乙兩人從相距18千米的兩地同時相向而行，1小時相遇.再同向而行如果甲比乙先走小時，那么在乙出發(fā)后小時乙追上甲.設(shè)甲、乙兩人速度分別為x千米/時、y千米/時，則x＝______，y＝______.

4.甲、乙二人練習賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就能追上乙；如果乙讓甲先跑2秒鐘，那么乙跑6秒鐘落后于甲28米，甲每秒鐘跑______，乙每秒鐘跑______.

5.小強拿了十元錢去商場購買筆和圓規(guī).售貨員告訴他：這10元錢可以買一個圓規(guī)和三支筆或買兩個圓規(guī)和一支筆，現(xiàn)在小強只想買一個圓規(guī)和一支筆，那么售貨員應(yīng)該找給他______元.

三、耐心做一做（每題10分，共30分）

1.某人要在規(guī)定的時間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘；如果他以每小時75千米的高速行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求他以每小時多少千米的速度行駛可準時到達.

2.一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付兩組費用共3480元.若只選一個組單獨完成，從節(jié)約開支角度考慮，這家商店應(yīng)選擇哪個組？

3.《參考消息》報道，巴西醫(yī)生馬廷恩經(jīng)過10年研究得出結(jié)論：卷入腐敗行列的人容易得癌癥，心肌梗塞，腦溢血，心臟病等病，如果將貪污受賄的580名官員和600名廉潔官員進行比較，可發(fā)現(xiàn)，后者的健康人數(shù)比前者的健康人數(shù)多272人，兩者患病或患病致死者共444人，試問貪污受賄的官員和廉潔官員中的健康人數(shù)各自占統(tǒng)計人數(shù)的百分之幾？答案

一、精心選一選

1.B2.C3.B4.C5.B

二、用心填一填

1.18千米/時，2千米/時.

2.25，155.

3.4，6.

4.8米，6米.

5.4.

三、耐心做一做

1.【解題思路】由于甲地到乙地的距離不知道是多少，從甲地到乙地規(guī)定的時間也不知道，所以不能直接求速度.我們可以設(shè)甲地到乙地的路程和規(guī)定的時間為未知數(shù)，列方程求解，最后用速度＝路程÷時間得到標準速度.

解：設(shè)甲、乙兩地的之間距離為s千米，從甲地到乙地的規(guī)定時間為t小時.

根據(jù)題意，得

解得

經(jīng)檢驗，符合題意.則＝60（千米/小時）.

答：他以每小時60千米/小時的速度行駛可準時到達.

2.【解題思路】由甲乙混做的時間和錢數(shù)我們可求出甲乙各自單獨做需要的時間和費用，然后再進行比較.

解：設(shè)甲組單獨完成需x天，乙組單獨完成需y天，則根據(jù)題意，得

經(jīng)檢驗，符合題意.即甲組單獨完成需12天，乙組單獨完成需24天.

再設(shè)甲組工作一天應(yīng)得m元，乙組工作一天應(yīng)得n元.

經(jīng)檢驗，符合題意.

所以甲組單獨完成需300×12＝3600（元），乙組單獨完成需140×24＝3360（元）.故從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選擇乙組單獨完成.

答：這家店應(yīng)選擇乙組單獨完成.

3.【解題思路】由題意我們只要求出貪污受賄的官員和廉潔官員中的健康人數(shù)再分別與各自的總數(shù)作比即可得到貪污受賄的官員和廉潔官員中的健康人數(shù)各自占統(tǒng)計人數(shù)的百分比.

解：設(shè)貪污受賄的官員中健康人數(shù)有x人，廉潔官員中健康人數(shù)有y人，根據(jù)題意，得

答：貪污受賄的官員中健康人數(shù)占統(tǒng)計人數(shù)的40％，廉潔官員中健康人數(shù)占統(tǒng)計人數(shù)的84％.七年級數(shù)學下冊第八章8.3水平測試（A）一、耐心填一填，一錘定音！（每小題6分，共30分）1．在方程中，如果是它的一個解，那么的值為______．2．大數(shù)和小數(shù)的差為，這兩個數(shù)的和為，則大數(shù)是______，小數(shù)是______．3．買支鉛筆和本練習本，共用元．若鉛筆每支元，練習本每本元，寫出以和為未知數(shù)的方程為______．4．甲、乙兩人速度之比是，則他們在相同時間內(nèi)走過的路程之比是______，他們在走相同路程所需時間之比是______．5．羊圈里白羊的只數(shù)比黑羊的腳數(shù)少，黑羊的只數(shù)比白羊的腳數(shù)少，則白羊有______只，黑羊有______只．二、精心選一選，慧眼識金?。啃☆}5分，共15分）1．既是方程的解，又是方程的解是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．甲、乙兩數(shù)這和為，甲數(shù)的倍等于乙數(shù)的倍，若設(shè)甲數(shù)為，乙數(shù)為，則方程組（1）（2）（3）（4）中，正確的有（）Ａ．組 Ｂ．組 Ｃ．組 Ｄ．組3．某校名學生參加競賽，平均分為分，其中及格學生平均分為分，不及格學生平均分為分，則不及格學生的人數(shù)為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．三、用心做一做，馬到成功?。ū敬箢}共20分）1．（本題10分）根據(jù)下圖提供的信息，求每件恤衫和每瓶礦泉水的價格．2．（本題10分）小明到商店買東西，下面是他和售貨員阿姨的對話：“我買這種牙膏支，這種牙刷把”．“一共元角”．付款后，小明說：“阿姨，這支牙膏我不要了，換一把牙刷吧！”“還需找你元”．從他們的對話中你能知道牙刷、牙膏的單價嗎？四、綜合運用，再接再厲?。ū敬箢}共35分）1．（本題11分）如圖，周長為的長方形被分成個相同的長方形，求長方形的長和寬．2．（本題12分）長沙市某公園的門票價格如下表所示：購票人數(shù)1～50人51～100人100人以上票價10元／人8元／人5元／人某校七年級甲、乙兩班共多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班為單位分別買票，兩個班一共應(yīng)付元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團體購票，一共只要付元．問：甲、乙兩班分別有多少人？3．（本題12分）有甲、乙、丙三種規(guī)格的鋼條，已知甲種根，乙種根，丙種根，共長米；甲種根，乙種根，丙種根共長米，問甲根，乙根，丙根共長多少？七年級數(shù)學下冊第八章8.3水平測試參考答案（A）一、1．2．，3．4．，5．，二、1．Ｂ2．Ｃ3．Ｄ三、1．，2．，四、1．，2．，3．米七年級數(shù)學下冊第八章8.1～8.2水平測試（Ｂ）一、耐心填一填，一錘定音?。啃☆}6分，共30分）1．若方程是二元一次方程，則_____，_____．2．用加減法解方程組時，得_____．3．已知二元一次方程，當互為相反數(shù)時，_____，_____．4．的正整數(shù)解是_____．5．美國藍球巨星喬丹在一場比賽中投中，拿下分，其中三分球投全中，那么喬丹兩分球投中_____球，罰球投中_____球．（罰球每投一個記分）二、精心選一選，慧眼識金?。啃☆}5分，共15分）1．將二元一次方程變形，正確的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知是方程組的解，則間的關(guān)系是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．已知甲、乙兩人的收入比為，支出之比為，一年后，兩人各余元，若設(shè)甲的收入為元，支出為元，可列出的方程組為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．三、用心做一做，馬到成功！（本大題共20分）1．（本題10分）若是方程組的解，求的值．2．（本題10分）一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為，請寫出所有符合條件的兩位數(shù)．四、綜合運用，再接再厲?。ū敬箢}共35分）1．（本題11分）若二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，求的值．2．（本題11分）甲、乙兩位同學一起解方程組甲正確地解得乙僅因抄錯了題中的，解得求原方程組中的值．3．（本題13分）某中學新建了一棟層的教學大樓，每層樓有間教室，進出這棟大樓共有道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，分鐘內(nèi)可以通過名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，分鐘內(nèi)可以通過名學生．（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生？（2）檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況下因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低，安全檢查規(guī)定，在緊急