20 直線和圓的位置關(guān)系（教師版）

第頁(yè)直線和圓的位置關(guān)系【經(jīng)典例題】知識(shí)點(diǎn)一直線和圓的位置關(guān)系【例1】已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn)P（－2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是（）A．相離B．相切C．相交D．相離、相切、相交都有可能【分析】先求出點(diǎn)P到x軸的距離，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出選項(xiàng)即可．【解答】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，3）∴點(diǎn)P到x軸的距離是3∵2＜3∴以點(diǎn)P（－2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是相離，故選：A．知識(shí)點(diǎn)二切線判定方法靈活運(yùn)用【例2】如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑作圓O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)ED，試證明ED與⊙O相切?！痉治觥窟B接OD，OE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE＝BE，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ODE為直角，即可得證．【解答】證明：連接OD，OE在Rt△BDC中，E為BC的中點(diǎn)∴DE＝BE＝CE＝BC在△OEB和△OED中∴△OEB≌△OED（SSS）∴∠ODE=∠OBE=90°則DE與圓O相切知識(shí)點(diǎn)三切線性質(zhì)、判定的綜合運(yùn)用【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半徑【分析】（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）線BC與⊙O的位置關(guān)系是相切理由是：連接OD∵OA＝OD∴∠OAD＝∠ODA∵AD平分∠CAB∴∠OAD＝∠CAD∴∠ODA＝∠CAD∴OD∥AC∵∠C＝90°∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC∵OD為半徑∴線BC與⊙O的位置關(guān)系是相切；（2）設(shè)⊙O的半徑為R則OD＝OF＝R在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2即解得：R＝2即⊙O的半徑是2知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理【例4】如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，交PA、PB于點(diǎn)E、F．若PA＝12cm，則△PEF的周長(zhǎng)為_(kāi)_________；若∠P＝40°，則∠EOF的度數(shù)為_(kāi)_________。【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出PA＝PB，EB＝EQ，F(xiàn)Q＝FA，由PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案；連接OE，OF，求出∠OEF＋∠OFE的度數(shù)，即可得出∠EOF的度數(shù)；【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，又∵直線EF是⊙O的切線，∴EB＝EQ，F(xiàn)Q＝FA，∴C△PEF＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝2PA＝24cm；連接OE，OF，則OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，則∠OEF＋∠OFE＝(∠P＋∠PFE)＋∠(P＋∠PEF)＝(180°＋40°)＝110°∴∠EOF＝180°－110°＝70°．知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、外切三角形【例5】如圖，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB邊上的高CD＝，求△ABC內(nèi)切圓的半徑?！痉治觥扛鶕?jù)三角形的面積公式，據(jù)此即可求解．【解答】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑是r即∴r＝總結(jié)：三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算中，常用到以下結(jié)論：①設(shè)△ABC三邊為a、b、c，面積為S，則內(nèi)切圓半徑；②若△ABC為直角三角形（∠C＝90°）則或；③AF＝AD＝S－a，BE＝BD＝S－b，CF＝CE＝S－c。()【知識(shí)鞏固】1.已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不能確定【解答】解：∵⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2∵3＞2，即：d＜r∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交故選：A．2.如圖，PB為圓O的切線，B為切點(diǎn)，連接PO交圓O于點(diǎn)A，PA＝2，PO＝5，則PB的長(zhǎng)為（）A.4B.C.D.【解答】解：連接OB，則OB⊥PB，在Rt△POB中，OB＝OA＝PO－AP＝3，PO＝5故選：A3.如圖所示，從⊙O外一點(diǎn)A引圓的切線AB，切點(diǎn)為B，連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，連接BC．已知∠A＝26°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．32°B．30°C．26°D．13°【解答】解：如圖：連接OB∵AB切⊙O于點(diǎn)B∴∠OBA＝90°∵∠A＝26°∴∠AOB＝90°－26°＝64°∵OB＝OC∴∠C＝∠OBC∵∠AOB＝∠C＋∠OBC＝2∠C∴∠C＝32°故選：A．4.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為8，內(nèi)切圓的半徑為1，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：如圖所示：設(shè)AD＝x，則BD＝8－x∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓∴AD＝AF＝x，BD＝BE＝8－x∵∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，OE＝OF∴四邊形OECF為正方形∴CE＝CF＝1∴這個(gè)三角形周長(zhǎng)：2x＋2(8－x)＋2＝18故選：D．5.一個(gè)鋼管放在V形架內(nèi)，如圖是其截面圖，O為鋼管的圓心．如果鋼管的半徑為25cm，∠MPN＝60°，則OP＝（）A.50cmB.C.D.【解答】解：∵圓與V形架的兩邊相切∴△OMP是直角三角形中∠OPN＝∠MPN＝30°∴OP＝2ON＝50CM故選：A．【培優(yōu)特訓(xùn)】6.設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，邊長(zhǎng)為a，則r∶R∶a＝________【解答】解：∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為a∴外接圓半徑內(nèi)切圓半徑故答案為7.如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線，切點(diǎn)為F，若∠ACF＝64°，則∠E＝__________【解答】解：連接OF∵EF是⊙O切線∴OF⊥EF∵AB是直徑，AB經(jīng)過(guò)CD中點(diǎn)H∴OH⊥EH又∵∠AOF＝2∠ACF＝128°在四邊形EFOH中，∵∠OFE＋∠OHE＝80°∴∠E＝180°－∠AOF＝180°－128°＝52°8.如圖，△ABC的周長(zhǎng)為8，⊙O與BC相切于點(diǎn)D，與AC的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)E，與AB的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)_________【解答】解：∵AB、AC的延長(zhǎng)線與圓分別相切于點(diǎn)E、F∴AF＝AE∵圓O與BC相切于點(diǎn)D∴CE＝CD，BF＝BD∴BC＝DC＋BD＝CE＋BF∵△ABC的周長(zhǎng)等于8∴AB＋AC＋BC＝8∴AB＋AC＋CE＋BF＝8∴AF＋AE＝8∴AF＝4故答案為49.如圖，在△ABC中，∠C=90°，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓過(guò)AB上一點(diǎn)D．（1）若AD＝AC，求證：AB是⊙O的切線；（2）若BE＝4，BD＝8，求CE和AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，在△AOC和△AOD中∴△AOC≌△AOD，∴∠ACO=∠ADO=90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r＋4，在Rt△OBD中，∵OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋82＝(r＋4)2，解得r＝6，∴CE＝2r＝12，∵△AOC≌△AOD，∴AC＝AD，設(shè)AD＝t，在Rt△ACB中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴t2＋162＝(t＋8)2，解得t＝20，即AD＝20．10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC＝BC，判斷四邊形OCED的形狀，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：如圖，連接OD、CD∵OC＝OD∴∠OCD＝∠ODC∵AC為⊙O的直徑∴∠CDB＝90°∵E為BC的中點(diǎn)∴DE＝CE∴∠ECD＝∠EDC∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°∴∠ODE＝∠ACB＝90°即OD⊥DE又∵D在圓O上∴DE與圓O相切；（2）解：若AC＝BC，四邊形ODEC為正方形，理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°∴∠A＝45°∵OA＝OD∴∠ODA＝∠A＝45°∴∠COD＝∠A＋∠ODA＝90°∵四邊形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD∴四邊形ODEC為正方形．【中考鏈接】11.已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定【解答】解：∵圓心到直線的距離5cm＝5cm∴直線和圓相切．故選：B．12.如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5【解答】解：當(dāng)AB與小圓相切，∵大圓半徑為5，小圓的半徑為3∵大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故選：A13.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝－x＋b與⊙O相交，則b的取值范圍是（）A.B.C.