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第頁)2014-2018全國各省文科立體幾何大題真題一、解答題(共35小題;共455分)1.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=6, (1)求證:FG∥(2)求證:平面BED⊥(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.2.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G. (1)證明:G是AB的中點(diǎn);(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.3.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為 (1)證明MN∥(2)求四面體N-BCM的體積.4.如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且 (1)證明:平面ACD⊥(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23DA5.如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分別為 (1)求證:VB(2)求證:平面MOC⊥(3)求三棱錐V-ABC的體積.6.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC (1)證明:PO⊥平面(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.7.如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點(diǎn). (1)證明:平面AMD⊥(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F(xiàn)分別為AD (1)求證:PE⊥BC;(2)求證:平面PAB⊥(3)求證:EF∥9.如圖四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD. 1.證明:AC⊥BD; 2.已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.10.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD (1)證明:直線BC(2)若△PCD面積為27,求四棱錐P-ABCD11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且 (1)證明:平面PAB⊥(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為12.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證:PA⊥BD;(2)求證:平面BDE⊥(3)當(dāng)PA∥平面BDE13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面 (1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD⊥平面(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.14.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1 (1)證明:A1(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥ (1)求證:DC⊥平面(2)求證:平面PAB⊥(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥16.在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥ (1)已知AB=BC,AE=EC.求證:AC⊥FB;(2)已知G、H分別是EC和FB的中點(diǎn),求證:GH∥17.如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D?EF的位置. (1)證明:AC⊥HD?;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD?=2218.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD, (1)證明:MN∥(2)求四面體N-BCM的體積.19.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,AC長為5π6,A (1)求圓柱的體積與側(cè)面積;(2)求異面直線O1B120.如圖,在四棱錐中P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90 (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥(2)證明:平面PAB⊥平面21.如圖,圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,底面的一條直徑為AB,C為半圓弧AB的中點(diǎn),E為劣弧CB的中點(diǎn),已知PO=2,OA=1,求三棱錐P-AOC的體積,并求異面直線PA與OE所成角的余弦值. 22.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法與理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.23.一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示, (1)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線DF⊥平面24.如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2, (1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求PMMC25.如圖,三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn). (1)求證:BD∥(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥26.如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)證明:BC∥(2)證明:BC⊥PD;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.27.《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),連接DE,BD (1)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體(2)記陽馬P-ABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求28.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E, (1)證明:平面AEF⊥(2)若直線A1C與平面A1ABB29.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1. (1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;(3)若BC=2,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE30.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,∠BAD= (1)求證:FG∥(2)求證:平面BED⊥(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.31.如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面 (1)證明:平面AEC⊥(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為32.如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25, (1)求證:EF∥(2)求證:平面AE(3)求直線A1B133.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4, (1)證明:A1(2)求直線A1B和平面34.如圖,三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,點(diǎn)D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)F (1)證明:AB⊥平面(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長.35.如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE (1)證明:CD⊥平面(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,四棱錐A答案第一部分1.(1)設(shè)BD的中點(diǎn)為O,連接OE,OG,在△BCD中,因?yàn)镚是BC的中點(diǎn),所以O(shè)G∥DC,且又因?yàn)镋F∥AB,所以EF∥OG,且EF=OG,即四邊形所以FG∥因?yàn)镕G?平面BED,所以FG∥
(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60由余弦定理可得BD=3,進(jìn)而得∠ADB=90°又因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面ABCD,BD?所以BD⊥平面因?yàn)锽D?平面所以平面BED⊥
(3)因?yàn)镋F∥所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角,過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H,連接BH,又平面BED∩平面由(2)知AH⊥平面所以直線AB與平面BED所成的角為∠ABH,在△ADE,AD=1,DE=3,AE=6,由余弦定理得cos所以sin∠ADE=所以AH=AD?5在Rt△AHB中,sin所以直線EF與平面BED所成角的正弦值為562.(1)因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).
(2)如圖,在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=2由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,所以DE∥因此PE=23PG由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面體PDEF的體積V=13.(1)取PB中點(diǎn)Q,連接AQ,NQ.因?yàn)镹是PC中點(diǎn),NQ∥BC,且又AM=23AD=所以QN∥AM,且所以AQNM是平行四邊形.所以MN∥又MN?平面PAB,AQ?平面PAB,所以MN∥
(2)由(1)QN∥所以VN-BCM所以VN-BCM4.(1)由已知可得,∠BAC=90°,又BA⊥AD,所以AB⊥平面又AB?平面所以平面ACD⊥
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32又BP=DQ=2所以BP=22作QE⊥AC,垂足為E,則QE∥DC,由已知及(1)可得DC⊥平面所以QE⊥平面ABC,因此,三棱錐Q-ABP的體積為V5.(1)因?yàn)镺,M分別為,AB,VA的中點(diǎn),所以O(shè)M∥又因?yàn)閂B?平面又因?yàn)镸O?平面所以VB∥
(2)因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB,又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC所以O(shè)C⊥平面所以平面MOC⊥
(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2所以AB=2,OC=1,所以等邊三角形VAB的面積S△VAB又因?yàn)镺C⊥平面所以VC-ABV又因?yàn)閂V-ABC所以VV-ABC6.(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且OP=23連接OB.因?yàn)锳B=BC=2所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=1由OP2+O由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面
(2)作CH⊥OM,垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC=12AC=2,CM=所以O(shè)M=253所以點(diǎn)C到平面POM的距離為457.(1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面所以BC⊥平面CMD,故因?yàn)镸為CD上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面而DM?平面故平面AMD⊥
(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MC∥MC?平面PBD,所以MC∥8.(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD因?yàn)镻A=PD,E為AD中點(diǎn),所以PE⊥AD.又PE?平面所以PE⊥平面又BC?平面所以PE⊥BC.
(2)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD因?yàn)锳BCD為矩形,所以CD⊥AD,又CD?平面所以CD⊥平面所以CD⊥PA,又PA⊥PD,且PD∩CD=D,所以PA⊥平面又PA?平面所以平面PAB⊥
(3)取PC中點(diǎn)G,連FG,DG,因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn),所以FG為△PBC的中位線,所以FG∥BC,又E為AD的中點(diǎn),四邊形ABCD為矩形,所以ED∥BC,所以FG∥ED,所以四邊形EFGD為平行四邊形,所以EF∥又EF?平面PCD,所以EF∥9.1.取AC中點(diǎn)O,連接DO,BO,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,AD=CD,所以DO⊥AC,BO⊥AC,因?yàn)镈O∩BO=O,所以AC⊥平面因?yàn)锽D?平面所以AC⊥BD.2.法一:連接OE,由(1)知AC⊥平面因?yàn)镺E?平面所以O(shè)E⊥AC,設(shè)AD=CD=2,則OC=OA=1所以O(shè)是線段AC垂直平分線上的點(diǎn),所以EC=EA=CD=2由余弦定理得:cos∠CBD=即4+4-22×2×2=4+BE2因?yàn)锽E<BD=2,所以BE=1,所以BE=ED,因?yàn)樗拿骟wABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn),因?yàn)锽E=ED,所以S△DCE所以四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1.法二:設(shè)AD=CD=2,則AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1所以BO=4-1因?yàn)锽O所以BO⊥DO,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C-1,0,0,D0,0,1,B0,設(shè)Ea,b,c,DE則a,b,c-1=λ解得E0,所以CE=1,3因?yàn)锳E⊥EC,所以AE?由λ∈0,1,解得λ=所以DE=BE,因?yàn)樗拿骟wABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn),因?yàn)镈E=BE,所以S△DCE所以四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1.10.(1)四棱錐P-ABCD中,因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90所以BC∥因?yàn)锳D?平面PAD,所以直線BC
(2)設(shè)AD=2x,則AB=BC=x,CD=2設(shè)O是AD的中點(diǎn),連接PO,OC,CD的中點(diǎn)為E,連接OE,由題意得,四邊形ABCO為正方形,則CO⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩所以PO⊥AD,PO⊥平面因?yàn)镃O?底面所以PO⊥CO,則OE=22x,PO=△PCD面積為27,可得:1即:12×72x×則V11.(1)因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中,∠BAP=∠CDP=90所以AB⊥PA,CD⊥PD,又AB∥所以AB⊥PD,因?yàn)镻A∩PD=P,所以AB⊥平面因?yàn)锳B?所以平面PAB⊥
(2)設(shè)PA=PD=AB=DC=a,取AD中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)镻A=PD=AB=DC,∠APD=90°,所以PO⊥底面ABCD,且AD=a因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的體積為83所以VP-ABCD解得a=2,所以PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=22,PO=所以PB=PC=4+4所以該四棱錐的側(cè)面積為:S12.(1)由PA⊥AB,PA⊥BC,AB?平面ABC,BC?平面可得PA⊥平面由BD?平面可得PA⊥BD.
(2)由AB=BC,D為線段AC的中點(diǎn),可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABC,可得平面PAC⊥又平面PAC∩平面ABC=AC,BD?即有BD⊥平面PAC,可得平面BDE⊥
(3)PA∥平面BDE且平面PAC∩可得PA∥又D為AC的中點(diǎn),可得E為PC的中點(diǎn),且DE=1由PA⊥平面可得DE⊥平面可得S△BDC則三棱錐E-BCD的體積為1313.(1)如圖,由已知AD∥故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角,因?yàn)锳D⊥平面所以AD⊥PD,在Rt△PDA中,由已知,得AP=故cos∠DAP=所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為55
(2)因?yàn)锳D⊥平面PDC,直線所以AD⊥PD,又因?yàn)锽C∥所以PD⊥BC,又PD⊥PB,PB∩BC=B,且PB?平面PBC,所以PD⊥平面
(3)過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角,因?yàn)镻D⊥平面故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角,由于AD∥故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,DF=16+4=2所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為5514.(1)取B1D1中點(diǎn)G,連接A因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),所以四棱柱ABCD-A1B1C1D所以四邊形OCGA所以A1因?yàn)锳1O?所以A1
(2)四棱柱ABCD-A1B1C1D因?yàn)镸是OD的中點(diǎn),O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1又BD?所以BD⊥A因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),所以AO⊥BD,因?yàn)镸是OD的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),所以EM⊥BD,因?yàn)锳1所以BD⊥平面因?yàn)锽D∥所以B1因?yàn)锽1所以平面A15.(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面
(2)因?yàn)锳B∥DC,所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又AC∩PC=C,所以AB⊥平面又AB?平面PAB,所以
(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥又因?yàn)镻A?平面CEF,所以PA∥16.(1)連接DE,因?yàn)镋F∥BD,所以EF與因?yàn)锳E=EC,D為AC的中點(diǎn),所以DE⊥AC;同理可得BD⊥AC.又因?yàn)锽D∩DE=D,所以AC⊥平面又因?yàn)镕B?平面所以AC⊥FB.
(2)設(shè)FC的中點(diǎn)為I,連接GI,HI.在△CEF中,因?yàn)镚是CE的中點(diǎn),所以GI∥又EF∥所以GI∥在△CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn),所以HI∥又GI∩HI=I,所以平面GHI∥因?yàn)镚H?平面所以GH∥17.(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD故AC∥由此得EF⊥HD,EF⊥HD?,所以AC⊥HD?.
(2)由EF∥AC得由AB=5,AC=6得DO=BO=A所以O(shè)H=1,D?H=DH=3.于是OD?故OD?⊥OH.由(1)知AC⊥HD?,又AC⊥BD,BD∩HD?=H,所以AC⊥平面BHD?,于是又由OD?⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D?⊥平面又由EFAC=DH五邊形ABCFE的面積S=1所以五棱錐D?-ABCFE的體積V=118.(1)由已知條件,得AM=2取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN.因?yàn)镹為PC的中點(diǎn),所以TN∥BC,所以TN=AM.又AD∥所以TN∥AM,且故四邊形AMNT為平行四邊形,所以MN∥因?yàn)锳T?平面PAB,所以MN∥
(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,N為所以N到平面ABCD的距離為12取BC的中點(diǎn)E,連接AE.因?yàn)锳B=AC=3,所以AE⊥BC,AE=A因?yàn)锳M∥所以點(diǎn)M到BC的距離為5,故S△BCM所以四面體N-BCM的體積VN-BCM19.(1)由題意可知,圓柱的母線長l=1,底面半徑r=1.圓柱的體積V=π圓柱的側(cè)面積S=2π
(2)設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B,則O所以∠COB或其補(bǔ)角為O1B1由A1B1長為π由AC長為5π6,可知∠AOC=5所以異面直線O1B1與OC20.(1)取棱AD的中點(diǎn)MM∈平面PAD理由如下:因?yàn)锳D∥BC,所以BC∥AM,且所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥又AB?平面PAB,所以CM∥
(2)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,因?yàn)锳D∥BC,所以直線AB與CD相交,所以PA⊥平面從而PA⊥BD.因?yàn)锳D∥BC,所以BC∥MD,且所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以BM=CD=1所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面又BD?平面所以平面PAB⊥平面21.VP-AOC因?yàn)锳C∥OE,所以∠PAC為異面直線PA與由PO=2,OA=OC=1,得PA=PC=5,AC=在△PAC中,由余弦定理得cos∠PAC=故異面直線PA與OE所成角的余弦值為101022.(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.
(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,E因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM故S四邊形A1因?yàn)殚L方體被平面α分為兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為97(723.(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.
(2)平面BEG證明如下:因?yàn)榱骟wABCD-EFGH為正方體,所以BC∥FG,又FG∥EH,所以BC∥EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形.所以BE∥又CH?平面ACH,所以BE∥同理BG∥又BE∩BG=B,所以平面BEG
(3)連接FH,與EG交于點(diǎn)O,連接BD.因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以DH⊥平面因?yàn)镋G?平面所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面又DF?平面所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面24.(1)在△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=60又因?yàn)镻A⊥面所以PA是三棱錐P-ABC的高,所以V
(2)過點(diǎn)B作BN垂直AC于點(diǎn)N,過N作NM∥PA交PC于則MN⊥面AC?此時(shí)M即為所找點(diǎn),在△ABN中,易知AN=25.(1)證法一:如圖,連接DG,CD,設(shè)CD∩GF=O,連接OH.在三梭臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DF∥GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,則O為CD的中點(diǎn).又H為BC的中點(diǎn),所以O(shè)H∥又OH?平面FGH,所以BD∥證法二:在三棱臺(tái)DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn),可得BH∥EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形,可得BE∥在△ABC中,G為AC的中點(diǎn),H為BC的中點(diǎn),所以GH∥又GH∩HF=H,所以平面FGH∥因?yàn)锽D?平面所以BD∥
(2)如圖,連接HE.因?yàn)镚,H分別為AC,BC的中點(diǎn),所以GH∥由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H為BC的中點(diǎn),所以EF∥HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形.所以CF∥又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH?平面EGH,所以BC⊥平面又BC?平面所以平面BCD⊥26.(1)∵四邊形ABCD為長方形,∴BC∥又BC?平面PDA,∴BC∥
(2)∵BC⊥CD,平面PDC⊥平面ABCD且平面∴BC⊥平面∵PD?平面∴BC⊥PD.
(3)取CD的中點(diǎn)E,連接PE,AC.∵PD=PC,∴PE⊥CD,∴PE=P∵平面PDC⊥平面ABCD且∴PE⊥平面由(2)知BC⊥平面又AD∥∴AD⊥平面又PD?平面∴AD⊥PD.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h,則VC-PDA∴1∴h=S故點(diǎn)C到平面PDA的距離為3727.(1)因?yàn)镻D⊥底面所以PD⊥BC.由底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面因?yàn)镈E?平面所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠BCD,∠BCE,
(2)由已知,PD是陽馬P-ABCD的高,所以V由(1)知,DE是鱉臑D-BCE的高,BC⊥CE,所以V在Rt△PDC中,因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE=CE=V28.(1)證明:如圖,因?yàn)槿庵鵄BC-A所以AE⊥BB又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC,BC∩BB1于點(diǎn)B,因此AE⊥平面所以平面AEF⊥
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接A1D,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以CD⊥AB.又三棱柱ABC-A所以CD⊥AA因此CD⊥平面A1ABB1,于是由題設(shè),∠CA所以A1在RtAA1所以FC=1故三棱錐F-AEC的體積V=129.(1)在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面,所以PO⊥AC.因?yàn)镈O∩PO=O,所以AC⊥平面
(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.又AB=2,所以△ABC面積的最大值為12又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為13
(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90所以PB=1同理PC=2,所以PB=PC=BC在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC?P,使之與平面ABP共面,如圖所示.當(dāng)O,E,C?共線時(shí),CE+OE取得最小值.又因?yàn)镺P=OB,C?P=C?B,所以O(shè)C?垂直平分PB,即E為PB的中點(diǎn).從而OC?=OE+EC?=22+62解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=所以∠OPB=45°同理,PC=2所以PB=PC=BC,所以∠CPB=在三梭錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC?P,使之與平面ABP共面,如圖所示.當(dāng)O,E,C'共線時(shí),CE所以在△OC?P中,由余弦定理得OC從而OC?=2+所以CE+OE的最小值為2+30.(1)取BD的中點(diǎn)為O,連接OE,OG.在△BCD中,因?yàn)镚是BC的中點(diǎn),所以O(shè)G∥DC,且又因?yàn)镋F∥AB,所以EF∥OG,且從而四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥又FG?平面BED,所以FG∥
(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60由余弦定理,得BD=3則∠ADB=90°,即又平面AED⊥平面ABCD所以BD⊥平面又BD?平面所以平面BED⊥
(3)因?yàn)镋F∥所以直線EF與平面BED所成的角就是直線AB與平面BED所成的角.過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H,連接BH.因?yàn)槠矫鍮ED⊥所以AH⊥平面BED,則∠ABH是直線AB與平面BED所成的角.在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=6由余弦定理,得cos∠ADE=23,因?yàn)椤螦DE因此AH=AD?sin在Rt△AHB中,sin所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為5631.(1)因
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