9. (2008湖北理)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC

9.(2008湖北理)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥側(cè)面A1ABB1（Ⅰ）求證：AB⊥BC；（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，并予以證明.9.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.因為三棱柱ABC—A1B1C1則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC.（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，由AB＜AC，得又所以解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a,AC=b,AB=c,則B(0,0,0),A(0,c,0),于是設(shè)平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則由得可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.所以于是由c＜b，得即又所以10.(2008湖南理)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.10．解:解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二:如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線.從而BE⊥平面PAB.又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知設(shè)是平面PBE的一個法向量，則由得所以設(shè)是平面PAD的一個法向量，則由得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是11．(2008湖南文)如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，E是CD的中點，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。11．解：解法一（I）如圖所示,連結(jié)由是菱形且知，是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以又所以又因為PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小為解法二：如圖所示,以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是（I）因為平面PAB的一個法向量是所以和共線.從而平面PAB.又因為平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè)是平面PBE的一個法向量,則由得所以故可取而平面ABE的一個法向量是于是,．故二面角的大小為12．(2008江蘇)記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當(dāng)為鈍角時，求的取值范圍．12．解：由題設(shè)可知，以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有,,,由，得，所以顯然不是平角，所以為鈍角等價于，則等價于即，得因此，的取值范圍是13．(2008江西文、理)如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．（1）求證：⊥面；（2）求二面角的大?。?3．解：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，則∥平面，所以∥。又是的中點，所以⊥，則⊥。因為⊥，⊥，所以⊥面，則⊥，因此⊥面。（2）作⊥于，連。因為⊥平面，根據(jù)三垂線定理知，⊥，就是二面角的平面角。作⊥于，則∥，則是的中點，則。設(shè)，由得，，解得，在中，，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以所以平面由∥得∥，故：平面(2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得同理:設(shè)是平面的一個法向量,則令得又是平面的一個法量所以二面角的大小為ABCDEFPQHG14．(2008遼寧文)如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．14．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值． 8分ABCDEFPQHGN（ABCDEFPQHGN因為平面，所以為與平面所成的角．因為，所以分別為，，，的中點．可知，．所以． 12分解法二：以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故ABCDEFPQHABCDEFPQHyxzG，，，，，．（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，，．因為，所以是平面PQEF的法向量．因為，所以是平面PQGH的法向量．因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．由為中點可知，分別為，，的中點．所以，，因此與平面所成角的正弦值等于． 12分ABCDEFPQHG15．(2008遼寧理)如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；（Ⅲ）若與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值．ABCDABCDEFPQHGNM考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分．解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值． 8分（III）解：連結(jié)BC′交EQ于點M．因為，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．與（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．設(shè)交PF于點N，連結(jié)EN，由知．因為⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E為BC中點．所以EM=，又，故與平面PQCH所成角的正弦值為． 12分解法二：以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz由已知得，故，，，，，，，ABCDEFPABCDEFPQHyxzG（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，，．因為，所以是平面PQEF的法向量．因為，所以是平面PQGH的法向量．因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分（Ⅲ）解：由已知得與成角，又可得 ，即，解得．所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為． 12分ABCDEA1B1C1D116．(2008全國ⅡABCDEA1B1C1D1（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。?6．解法一：依題設(shè)，，．（Ⅰ）連結(jié)交于點，則．ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1D1FHG在平面內(nèi)，連結(jié)交于點，由于，故，，與互余．于是．與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面． 6分（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，故是二面角的平面角． 8分，，．，．又，．．ABCDEAABCDEA1B1C1D1yxz解法二：以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．依題設(shè)，．，．----3分（