高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球?qū)ｎ}練習(xí)(含解析)

外接球?qū)ｎ}練習(xí)1．已知菱形ABCD滿足，|AB|=2，∠ABC=，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角B﹣AC﹣D，則三棱錐B﹣ACD外接球的表面積為（）A．π B．8π C．7π D．2．如圖，四面體ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小為，若四面體ABCD的頂點(diǎn)都在球O上，則球O的表面積為（）A．12π B．20π C．24π D．36π3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C．41π D．31π4．已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）．若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．2+2+2 B．4+4+2 C．2+4+4 D．4+4+46．某三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（）A．25π B． C． D．40π7．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．18+2+ B．15++ C．12++ D．18++8．在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則tan∠AGD=（）A． B．2 C． D．9．在三棱錐S﹣ABC中，，且三棱錐S﹣ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．4π B．16π C．36π D．72π10．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時(shí)，該正四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知三棱錐P﹣ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，則球O的表面積為（）A．9π B． C．4π D．π12．四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等邊三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則四棱錐P﹣ABCD外接球的表面積為（）A．π B． C．4π D．π13．已知三棱錐D﹣ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC為邊長(zhǎng)為的正三角形，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D為120°，則球O的表面積為（）A． B．124π C． D．31π14．已知直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的頂點(diǎn)在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，則球O的表面積為（）A．7π B．6π C．5π D．4π15．三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．23π B． C． D．64π16．已知三棱錐S﹣ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．17．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，已知平面α經(jīng)過點(diǎn)A1，且平行于平面B1D1E，平面α與平面ABCD交于直線m，與平面ABB1A1交于直線n，則直線m，n所成角的余弦值為（）A． B． C． D．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E為線段AP的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，若BD=2，PC=4，則異面直線DE與PC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．19．已知異面直線a，b所成的角為60°，過空間一點(diǎn)O的直線與a，b所成的角均為60°，這樣的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條20．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是側(cè)面ADD1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且B1E∥平面BDC1，則直線B1E與直線AB所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．21．四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切，點(diǎn)M是球O1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為（）A．[] B．[] C．[] D．[]

第Ⅱ卷（非選擇題）二．解答題（共19小題）22．如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．（1）證明：PB⊥BC；（2）求直線CF與平面PBC所成角的正弦值．23．如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，試說明理由．24．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大?。?5．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．現(xiàn)以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，解決以下問題：（1）求異面直線AB與A1C所成角的余弦值；（2）求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值．26．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線PB與底面ABCD所成的角為45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一點(diǎn)T，使得平面ATE與平面APB所成銳二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出T的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．27．已知幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．（1）連接B1C，若M為AB的中點(diǎn)，在線段CB上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．28．已知四棱錐S﹣ABCD，四邊形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）證明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M為SD的中點(diǎn)，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．29．如圖1，ABCD為梯形，AB∥CD，∠C=60°，點(diǎn)E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．現(xiàn)將△ADE沿AE折起如圖2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求證：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．30．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若點(diǎn)E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求線段BE的長(zhǎng)．

參考答案與試題解析一．選擇題（共21小題）1．已知菱形ABCD滿足，|AB|=2，∠ABC=，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角B﹣AC﹣D，則三棱錐B﹣ACD外接球的表面積為（）A．π B．8π C．7π D．【解答】解：由題意菱形ABCD滿足，|AB|=2，∠ABC=，∴AC=2，DB=，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角B﹣AC﹣D，∴三棱錐B﹣ACD高為．底面ACD外接圓半徑為，外接球半徑為R，球心與圓心的距離為d，d2+r2=R2……①……②由①②解得：R2=外接球的表面積S=．故選：A．2．如圖，四面體ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小為，若四面體ABCD的頂點(diǎn)都在球O上，則球O的表面積為（）A．12π B．20π C．24π D．36π【解答】解：取CD中點(diǎn)E，BD中點(diǎn)F，連結(jié)BE、AF、EF，∵四面體ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小為，∴AF⊥BD，EF⊥BD，∴∠AFE是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，BD=BC==2，CD=，CE=DE=，AF=BF=DF=EF=1，，則點(diǎn)E為△BCD外接圓的圓心，點(diǎn)F為△ABD外接圓的圓心，過點(diǎn)E作平面BCD的垂線EO，過點(diǎn)F作平面ABD的垂線FO，且直線EO與直線FO交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心，如下圖所示，易知，，所以，，所以，，則四面體ABCD的外接球半徑為，因此，球O的表面積為，故選：B．3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C．41π D．31π【解答】解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O﹣ABCD，正方體的棱長(zhǎng)為4，A，D為棱的中點(diǎn)，根據(jù)幾何體可以判斷：球心應(yīng)該在過A，D的平行于底面的中截面上，設(shè)球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：4﹣x，∴R2=x2+（2）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：x=，R=，該多面體外接球的表面積為：4πR2=41π，故選：C．4．已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）．若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：A﹣BCD，E為CD的中點(diǎn)，由題意可知AB=4，OE=，OA=OB=2，OD=2，則DE=，所以三棱錐A﹣BCD的體積為：×=．故選：C．5．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．2+2+2 B．4+4+2 C．2+4+4 D．4+4+4【解答】解：由題意幾何體的直觀圖如圖：是正方體的一部分，正方體的棱長(zhǎng)為：2，可知幾何體的表面積為：=4+4+2．故選：B．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（）A．25π B． C． D．40π【解答】解：由三視圖還原幾何體的直觀圖如圖：該幾何體為三棱錐，底面三角形ABC為直角三角形，面PAC為等邊三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中點(diǎn)G，則G為三角形ABC的外心，過G作平面ABC的垂線，取等邊三角形PAC的外心為H，過H作平面PAC的垂線，則兩垂線交于點(diǎn)O，O為三棱錐P﹣ABC外接球的球心，OG=PH=，GC=BC=，∴OC==，∴三棱錐外接球表面積為4π×（）2=．故選：C．7．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．18+2+ B．15++ C．12++ D．18++【解答】解：幾何體的三視圖，可知幾何體是組合體，下部是四棱柱，上部是四棱錐，底面是直角梯形，下底為2，上底邊長(zhǎng)為1，高為2，四棱柱的高為2，棱錐的高為1，如圖：該幾何體的表面積是：++=15++．故選：B．8．在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則tan∠AGD=（）A． B．2 C． D．【解答】解：由題意可得，點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG=AE=，設(shè)△ABC的外心為O，由題意點(diǎn)O在AE上，令OA=r，則OE2+EC2=OC2，即（3﹣r）2+12=r2，解得r=，∵AD⊥平面ABC，∴四面體ABCD的外接球的半徑R2=r2+（）2=+，由題意得4πR2=4π（+）=，解得AD=4，∴tan∠AGD=．故選：B．9．在三棱錐S﹣ABC中，，且三棱錐S﹣ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．4π B．16π C．36π D．72π【解答】解：如圖，取SC的中點(diǎn)O，連接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=SC，OA=SC，∴SC⊥平面OAB，O為三棱錐的外接球的球心，SC為球O的直徑，設(shè)球O得半徑為R，則AB=SC=R，∴△AOBRt正三角形，則∠BOA=90°，∴VS﹣ABC=VS﹣OAB+VC﹣OAB===，∴R=2，則該三棱錐的外接球的表面積為4πR2=16π．故選：B．10．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時(shí)，該正四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，可得對(duì)角線的一半為，折成正四棱錐后，設(shè)正四棱錐邊長(zhǎng)為a，高為h，可得：h2=2﹣，（0）．正四棱錐體積V=最大時(shí)，即．由y=，則y′=8，令y′=0，可得a=，即當(dāng)a=體積取得最大值；∴h=．正四棱錐底面正方形外接圓r=．正四棱錐外接球的半徑R，可得解得：正四棱錐外接球的表面積S=．故選：D．11．已知三棱錐P﹣ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，則球O的表面積為（）A．9π B． C．4π D．π【解答】解析：設(shè)AB中點(diǎn)為D，則D為△ABC的外心，因?yàn)镻A=PB=PC=，易證PD⊥面ABC，，所以球心O在直線PD上，又PA=，AB=2，算得PD=1，設(shè)球半徑為R，則△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=．則球O的表面積S=4πR2=9π，故選：A．12．四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等邊三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則四棱錐P﹣ABCD外接球的表面積為（）A．π B． C．4π D．π【解答】解：由題意，可以將四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成以△PAB為底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半徑，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓的半徑為；所以球的半徑r=，則球的表面積S=4πr2=．故選：D．13．已知三棱錐D﹣ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC為邊長(zhǎng)為的正三角形，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D為120°，則球O的表面積為（）A． B．124π C． D．31π【解答】解：作圖如下：O1為經(jīng)過△ABC外接圓圓心，O2為經(jīng)過△ABD外接圓圓心，則O2為BD中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，則∠CMO2為二面角C﹣AB﹣D的平面角，易得|O2M|=4，|O1M|=1，，由余弦定理得|O1O2|=，由正弦定理得，所以R2=|OM|2+|AM|2=31?S=124π，故選：B．14．已知直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的頂點(diǎn)在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，則球O的表面積為（）A．7π B．6π C．5π D．4π【解答】解：如圖：外接球的球心為O，底面三角形的外心為：O1，由正弦定理可得：2A1O1=，可得A1O1=1，R2=12+=，外接球的表面積為：4π?R2=5π．故選：C．15．三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．23π B． C． D．64π【解答】解：根據(jù)題意，得到三棱錐P﹣ABC的外接球的球心在等邊三角形PAC的中線高線和過直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)的高的交點(diǎn)位置，如圖所示：三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，所以PF=，，在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，解得：BC=2，所以CD=，三棱錐的外接球半徑r==，則S=4，故選：C．16．已知三棱錐S﹣ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示：三棱錐S﹣ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，則：SD=，設(shè)外接球的半徑為R，則：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R=所以：S=4π?R2=4．故選：D．17．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，已知平面α經(jīng)過點(diǎn)A1，且平行于平面B1D1E，平面α與平面ABCD交于直線m，與平面ABB1A1交于直線n，則直線m，n所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，取CD的中點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)為M，AD的中點(diǎn)為N，連接EF，DB，MN，可得MN∥BD∥EF∥B1D1，由于平面α經(jīng)過點(diǎn)A1，且平行于平面B1D1E即有平面A1MN即為平面α，直線MN即為直線m，直線A1M即為直線n，∠A1MN即為直線m，n所成角，由A1M=A1N==，MN=，可得cos∠A1MN==．故選：B．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E為線段AP的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，若BD=2，PC=4，則異面直線DE與PC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意，連接EO，O是底面ABCD為菱形的中點(diǎn)，又E為線段AP的中點(diǎn)，∴EO∥PC，則異面直線DE與PC所成角的平面角為∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，則EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，則ED=．∴cos∠DEO=．故選：A．19．已知異面直線a，b所成的角為60°，過空間一點(diǎn)O的直線與a，b所成的角均為60°，這樣的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解答】解：過O作a′∥a，b′∥b，設(shè)直線a′、b′確定的平面為α，∵異面直線a、b成60°角，∴直線a′、b′所成銳角為60°①當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí)，若直線l平分直線a′、b′所成的鈍角，則直線l與a、b都成60°角；②當(dāng)直線l與平面α斜交時(shí)，若它在平面α內(nèi)的射影恰好落在直線a′、b′所成的銳角平分線上時(shí)，直線l與a、b所成角相等．此時(shí)l與a′、b′所成角的范圍為[30°，90°]，適當(dāng)調(diào)整l的位置，可使直線l與a、b也都成60°角，這樣的直線l有兩條．綜上所述，過點(diǎn)P與a′、b′都成60°角的直線，可以作3條∵a′∥a，b′∥b，∴過點(diǎn)O與a′、b′都成60°角的直線，與a、b也都成60°的角．故選：C．20．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是側(cè)面ADD1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且B1E∥平面BDC1，則直線B1E與直線AB所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，設(shè)E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（a﹣1，﹣1，c﹣1），=（1，1，0），=（0，1，1），設(shè)平面DBC1的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，﹣1，1），∵B1E∥平面BDC1，∴=a﹣1+1+c﹣1=0，解得a+c=1，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=1﹣2ac，ac≤（）2=，設(shè)直線B1E與直線AB所成角為θ，∵=（0，1，0），∴cosθ==，∵ac≤（）2=，∴2﹣2ac≥，∴，∴sinθ====≥=．∴直線B1E與直線AB所成角的正弦值的最小值是．故選：B．21．四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切，點(diǎn)M是球O1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為（）A．[] B．[] C．[] D．[]【解答】解：如圖O1O2OO4是正四面體，設(shè)邊長(zhǎng)為2r，過O1作O1O⊥底面O2O3O4，可得O為底面的中心，由O2O⊥O3O4，可得O2O1⊥O3O4，則M在直線O1O2上，可得直線O2M與直線O3O4垂直，即有所成角的正弦值為1，過O2作大圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，可得O2M與O1O2成30°的角，由O2N∥O3O4，可得O3O4與O2M成60°的角，即有所成角的正弦值為，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為[，1]．故選：C．二．解答題（共19小題）22．如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．（1）證明：PB⊥BC；（2）求直線CF與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：在△PAD中，PA=PD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，可得AD⊥PF，在四邊形ABCD中，連接BF，由題意可得四邊形BCDF為平行四邊形，可得BF∥CD，由CD⊥AD，可得AD⊥BF，而BF∩PF=F，可得AD⊥平面PBF，由AD∥BC，可得BC⊥平面PBF，則BC⊥PB；（2）設(shè)PC=AD=2CD=2CB=PA=PD=2，可得CD=CB=1，PA=PD=，過F在△PBF中作FH⊥PB于H，連接CH，由BC⊥平面PBF，可得BC⊥FH，即有FH⊥平面PBC，則∠FCH為CF和平面PBC所成角，由BC⊥PB，可得PB==，由PF==1，BF=CD=1，cos∠PFB==﹣，可得∠PFB=120°，可得H為PB的中點(diǎn)，即有FH⊥PB，即有FH=BFcos∠BFH=1×=，則直線CF與平面PBC所成角的正弦值為==．23．如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，試說明理由．【解答】解：：（1）連BD，設(shè)AC交BD于O，SD⊥面APC，可得SD⊥AP，SD⊥PC，可得△PAD≌△PCD，可得∠SDA=∠SDC，可得SA=SC，SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，可得∠SOD為二面角S﹣AC﹣D的平面角，在△SBD中，SB=2，BD=4，SD=4，可得cos∠SBD==，SO==2，可得cos∠SOB==，即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值為﹣；（2）若SD⊥平面PAC，則SD⊥OP，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，SD=4，OD=BD=2，則PD=ODcos∠SDB=2?=，故可在SP上取一點(diǎn)N，使PN=PD，過N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E，連BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：3，故SE：EC=2：3．24．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，…………（1分）從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，…………（3分）又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，…………（4分）所以BD⊥平面PAD．…………（5分）故PA⊥BD…………（6分）解：（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，…………（7分）則B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），平面PAD的一個(gè)法向量為=（0，1，0），…………（8分）設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，…………（9分）取y=1，得=（0，1，），…………（10分）|cos＜＞|==，…………（11分）故平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為60°．…………（12分）25．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．現(xiàn)以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，解決以下問題：（1）求異面直線AB與A1C所成角的余弦值；（2）求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中空間直角坐標(biāo)系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），…（1分）∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，…（3分）設(shè)異面直線AB與A1C的所成角為α，則，∴異面直線AB與A1C所成角的余弦值為．…（4分）（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），設(shè)平面A1BC的法向量為=（x，y，z），∴，取z=1，則=（0，），…（7分）∴cos＜，＞===．…（9分）設(shè)直線AB與平面A1BC所成角為β，β∈（0，]，則sinβ=|cos＜，＞|=．故直線AB與平面A1BC所成角的正弦值為．…（10分）26．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線PB與底面ABCD所成的角為45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一點(diǎn)T，使得平面ATE與平面APB所成銳二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出T的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，∵直線PB與底面ABCD所成的角為45°，∴∠PBA=45°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴PA=AB=2，又PA=2CD，∴CD=1．在Rt△PAD中，∵PD=，PA=2，∴AD=，在三角形ADC中，AD=，CD=1，AC=2，∴AD2+CD2=AC2，可得CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE；（2）解：假設(shè)在棱PB上存在一點(diǎn)T，滿足題意，則（0＜λ≤1），由（1）可知，∠DAC=30°，∴∠DAB=90°，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，，0），E（0，，1）．設(shè)T（x1，y1，z1），則，又，∴（x1，y1，z1﹣2）=（2λ，0，﹣2λ），得x1=2λ，y1=0，z1=2﹣2λ，∴，．設(shè)平面ATE的法向量為．則有，取y2=2，得．而平面PAB的一個(gè)法向量為，∴|cos＜＞|=||==，解得．故在棱PB上存在一點(diǎn)T，使得平面ATE與平面APB所成銳二面角的余弦值為．27．已知幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．（1）連接B1C，若M為AB的中點(diǎn)，在線段CB上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．【解答】解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則由該幾何體的三視圖可知：C（0，0，4），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4）．（1）設(shè)平面CNB1的法向量為，由，，得，其x=1，得．設(shè)P（0，0，a）（0≤a≤4），由于M（2，0，0），則．∵M(jìn)P∥平面CNB1，∴，得a=1．∴在線段CB上存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB1，此時(shí)BP=1；（2）設(shè)平面C1NB1的法向量為，由，得，取x=1，可得．∴cos＜＞=．由圖可知，所求二面角為銳角，故二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值為．28．