廣東省東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)及答案

東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)命題人：惠州一中數(shù)學(xué)備課組審題人：惠州一中數(shù)學(xué)備課組一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)是A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中，若，，則公差A(yù). B. C. D.3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為A. B. C. D.4.在中，“”是“為鈍角三角形”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知三棱椎，是以為斜邊的直角三角形，為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，且平面平面，則三棱椎外接球的表面積為A． B． C． D．6．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)．已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為．若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（參考數(shù)據(jù)：）A． B．C．D．7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．8．函數(shù)在開(kāi)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.B.C.D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．給定數(shù)集，，滿足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是A.,B.,C.,D.,10．已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A. B. C. D.11．英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)．已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中．在函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過(guò)程得到；一直下去，得到數(shù)列．記，且，，下列說(shuō)法正確的是A．（其中）B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將1到10這10個(gè)正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個(gè)正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小1，則不同的平分方法共有_________種．13．已知圓，圓，直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線和，切點(diǎn)是和，再過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線和，切點(diǎn)是和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．14．某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）．如圖，已知銳角外接圓的半徑為，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn)若，則_________；若，則的值為_(kāi)________．四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，從，上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若和交于不同的兩點(diǎn)，求的值.16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，．（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求17．（本小題滿分15分）某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立．（1）隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率．（2）操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無(wú)人機(jī)的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作．方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無(wú)論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，．（1）求證：當(dāng)，；（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分17分）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.（1）試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由.（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”.（3）證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題二、多項(xiàng)選擇題1234567891011ABCCABADABDABAD1．A解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，

則第項(xiàng)的系數(shù)為：．故選A．2．B解：因?yàn)?，?/p>

則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，

所以，公差．故選B．3．C解：因?yàn)?/p>

，且

，所以

，即

，所以

，所以向量

在向量

上的投影向量為

．故選：4．C解：

為鈍角三角形．

所以在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件．A解：易知外接球球心為?PAC外心，故外接球半徑R=22sinπ3B解：設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)，由題意可得，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，得，，則，則給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)A解：不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R∴|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|F2Q|=|F∵點(diǎn)A在雙曲線上∴|AF1|-|AF2又∵|BF1|=2a∴|AB|=|AF∴|BP|=|F2∴|BQ|=|QF∵點(diǎn)B在雙曲線上∴|BF2|-|BF∴|BF2|=4a∴|QF2|=12設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接IQ、IF2，如圖所示∵tan∠IF2∴∠QF2I=π6即∠BF2∴?ABF2為等邊三角形∴|AF1|=6a，|AF2在?AF1F即：4c2∴8．D解：∵f令fx=0，則sinx=0即：sinx=0或cosx=1±√5由圖像可知，函數(shù)共8個(gè)零點(diǎn)另法：因?yàn)橛?，得，或所以，或，即，或，因?yàn)樗?，或共個(gè)零點(diǎn)9．ABD解：對(duì)于，對(duì)于，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)A正確對(duì)于，對(duì)于，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)B正確對(duì)于，取，，不符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)于，對(duì)于，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，故選項(xiàng)D正確AB解：設(shè)，則，，

所以，，，對(duì)于，，A正確；對(duì)于，，所以，B正確對(duì)于，，

，

所以不一定成立，C錯(cuò)誤對(duì)于，，，

而不一定成立，所以與不一定平行，D錯(cuò)誤；故選AB．11．AD解：對(duì)于A選項(xiàng)，由a1=lnx1∵二次函數(shù)fx∴不妨設(shè)f∵f∴∴在橫坐標(biāo)為xn的點(diǎn)處的切線方程為：y?f則x∴l(xiāng)nxn+1∴{an∴an對(duì)于D選項(xiàng)，由an三、填空題：（每小題5分，共15分）12131436[?；

36解：依題意，甲組的中位數(shù)必為5，乙組的中位數(shù)必為6所以甲組另外四個(gè)數(shù)，可從1,2,3,4和7,8,9,10這兩組數(shù)各取2個(gè)，共有13.[?10解：連接圓心和切點(diǎn)，如圖所示：即有∠APC=∠BPF=θAC=1，BF=2∠ACP=∠BFP=π2∵PA∴PAPB=1∴x2∴P的軌跡為以圓心（?103，0），83為半徑的圓．∴直線4y+3x+t=0與(x+10314．

；

解：設(shè)外接圓半徑為

，則

，由正弦定理，可知

，即

，由于

是銳角，故

，又由題意可知為三角形的垂心，即

，故

，所以

；設(shè)

，則

，由于

，不妨假設(shè)

，由余弦定理知

，設(shè)，，為三角形的三條高，由于

，故

，則得

，所以

，同理可得

，所以

，故答案為：

；

四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）解：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為則因?yàn)樗渣c(diǎn)在拋物線上，且，解得…3分所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…4分將點(diǎn)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中得，解得…6分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…7分（2）根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程組，消得…9分解得，因?yàn)樗浴?1分所以.…………13分16．（15分）（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵為正三角形，，∴．…1分∵,又∵底面為直角梯形，…2分………………4分又………………5分∴∵

………………6分(2)由（1）易知，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，…7分則，，…………9分設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，……………11分……………12分……………14分∴所成角的正弦值為……………15分（方法不唯一，若考生從幾何法入手，依據(jù)實(shí)際情況酌情給分）17.（15分）解：（1）用事件表示選擇甲種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)，用事件表示選擇乙種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)，用事件表示“選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功”…………………2分則…………………4分為所求．…………………6分設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，……………7分方案一：，，，………10分所以．………………11分方案二：方法一：選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，………………13分方法二：，，，所以．………………13分所以，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值．………………15分18．（17分）（1）證明：設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，………2分所以，即．……………3分設(shè)，則……………4分由時(shí)，，即所以……………5分設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，，即在區(qū)間上，，…………、6分所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，即……………7分所以得證．（2）由在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，而…………8分令，則，由（1）知：在區(qū)間上，，即，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，…………10分①當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故，即函數(shù)在區(qū)間上恒成立．………13分②當(dāng)時(shí)，，…………15分故在區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，即，又在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減，由，所以在區(qū)間上，與題設(shè)矛盾．綜上，的取值范圍為．…………17分（矛盾區(qū)間找點(diǎn)用極限說(shuō)明扣1分）19.（17分）解：（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：………1分（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿足條件③（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則有，即，不滿足條件②………4分