高等數(shù)學(xué)二元函數(shù)的基本概念

推廣第六章一元函數(shù)微積分二元函數(shù)微積分注意:善于類比,區(qū)別異同二元函數(shù)微積分

第六章第一節(jié)一、平面點(diǎn)集二、二元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的基本概念一、平面點(diǎn)集1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的

鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E

的邊界點(diǎn))D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡(jiǎn)稱區(qū)域;。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

二、二元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)定義1.

設(shè)D為非空平面點(diǎn)集,點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域.映射稱為定義在

D

上的二元函數(shù),記作例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面

.三、二元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)二元函數(shù)鄰域內(nèi)有定義.稱A

為函數(shù)在點(diǎn)P0(x0,y0)

的某個(gè)去心若存在常數(shù)A,記作時(shí),都有成立,則對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù)

,使得當(dāng)例1.

設(shè)求證:證:故總有要證

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例2.

討論函數(shù)函數(shù)四、二元函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果否則不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),定義3.

設(shè)二元函數(shù)鄰域內(nèi)有定義.在點(diǎn)P0(x0,y0)

的某個(gè)去心例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切二元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).若f(P)在有界閉區(qū)域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):解:原式例3.求例4.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:

練習(xí)題：

證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集2.二元函數(shù)的概念二元函數(shù)圖形一般為空間曲面有3.二元函數(shù)的極限4.二元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉區(qū)域上的二元