高等數(shù)學(xué)下冊(cè)試卷及答案

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（一）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、=的定義域?yàn)镈=。2、二重積分的符號(hào)為。3、由曲線及直線，所圍圖形的面積用二重積分表示為，其值為。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為則弧長(zhǎng)元素。5、設(shè)曲面∑為介于及間的部分的外側(cè)，則。6、微分方程的通解為。7、方程的通解為。8、級(jí)數(shù)的和為。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是（）（A）在處連續(xù)；（B），在的某鄰域內(nèi)存在；（C）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小；（D）。2、設(shè)其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于（）（A）；（B）；(C)；(D)0。3、設(shè)：則三重積分等于（）（A）4；（B）；（C）；（D）。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=（）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（A）；（B）；（C）；（D）。6、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）方程是三階微分方程；方程是一階微分方程；方程是全微分方程；方程是伯努利方程。7、已知曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線平行，而滿足微分方程，則曲線的方程為（）（A）；（B）；（C）；（D）。8、設(shè),則（）（A）收斂；（B）發(fā)散；（C）不一定；（D）絕對(duì)收斂。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）1、（7分）設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。，求。2、（8分）設(shè)，求。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）。1、計(jì)算。（7分）2、計(jì)算，其中是由所圍成的空間閉區(qū)域（8分）。五、（13分）計(jì)算，其中L是面上的任一條無(wú)重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的封閉曲線的逆時(shí)針?lè)较?。六、?分）設(shè)對(duì)任意滿足方程，且存在，求。七、（8分）求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（二）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)，則。2、。3、設(shè)，交換積分次序后，。4、設(shè)為可微函數(shù)，且則。5、設(shè)L為取正向的圓周，則曲線積分。6、設(shè)，則。7、通解為的微分方程是。8、設(shè)，則它的Fourier展開式中的。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）。1、設(shè)函數(shù),則在點(diǎn)（0，0）處（）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。2、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）（A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；（B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；（C）最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上；（D）最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D：，若，則有（）（A）；（B）；（C）；（D）不能比較。4、設(shè)是由曲面及所圍成的空間區(qū)域，則=（）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分（）(A)；(B)；(C)；(D)。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面，則曲面積分=（）(A)0；(B)；(C)；(D)。7、下列方程中，設(shè)是它的解，可以推知也是它的解的方程是（）(A)；(B)；(C)；(D)。8、設(shè)級(jí)數(shù)為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則（）(A)該級(jí)數(shù)必收斂；(B)該級(jí)數(shù)必發(fā)散；(C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若，則必收斂。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）1、（8分）求函數(shù)在點(diǎn)A（0，1，0）沿A指向點(diǎn)B（3，-2，2）的方向的方向?qū)?shù)。2、（7分）求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）1、（7分）計(jì)算，其中是由及所圍成的立體域。2、（8分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，定義，其中，求。五、求解下列問(wèn)題（15分）1、（8分）求，其中L是從A（a，0）經(jīng)到O（0，0）的弧。2、（7分）計(jì)算，其中是的外側(cè)。六、（15分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（三）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)，則。2、函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處沿的方向?qū)?shù)=。3、設(shè)為曲面所圍成的立體，如果將三重積分化為先對(duì)再對(duì)最后對(duì)三次積分，則I=。4、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則，其中。5、，其中。6、設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)，，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式：，該關(guān)系式稱為公式。7、微分方程的特解可設(shè)為。8、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、設(shè)存在，則=（）（A）；（B）0；（C）2；（D）。2、設(shè)，結(jié)論正確的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。3、若為關(guān)于的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)稱部分記為，在D上連續(xù)，則（）（A）0；（B）2；（C）4；(D)2。4、設(shè)：，則=（）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(diǎn)處的線密度為，則曲線弧Ｌ的重心的坐標(biāo)為（）（Ａ）=；（B）=；（C）=；（D）=,其中M為曲線?。痰馁|(zhì)量。６、設(shè)為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則曲面積分＝（）（A）0；（B）；（C）；（D）。７、方程的特解可設(shè)為（）（A），若；（B），若；（C），若；（D），若。８、設(shè)，則它的Fourier展開式中的等于（）（A）；（B）0；（C）；（D）。三、（１２分）設(shè)為由方程確定的的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。四、（８分）在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短。五、（８分）求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積Ａ。六、（１２分）計(jì)算，其中為球面的部分的外側(cè)。七、（10分）設(shè)，求。八、（10分）將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（四）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、由方程所確定的隱函數(shù)在點(diǎn)（1，0，-1）處的全微分。2、橢球面在點(diǎn)（1，1，1）處的切平面方程是。3、設(shè)D是由曲線所圍成，則二重積分。4、設(shè)是由所圍成的立體域，則三重積分=。5、設(shè)是曲面介于之間的部分，則曲面積分。6、。7、已知曲線上點(diǎn)M(0,4)處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，則此曲線的方程是。8、設(shè)是周期T=的函數(shù)，則的Fourier系數(shù)為。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、函數(shù)的定義域是（）（A）；（B）；（C）；（D）。2、已知曲面在點(diǎn)P處的切平面平行于平面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）（A）（1，-1，2）；（B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）；（D）（-1，-1，2）。3、若積分域D是由曲線及所圍成，則=（）（A）；（B）；（C）；（D）。4、設(shè)，則有（）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分=（）（A）；（B）；（C）；（D）0。６、設(shè)是球面表面外側(cè)，則曲面積分＝（）（A）；（B）；（C）；（D）。７、一曲線過(guò)點(diǎn)(e,1)，且在此曲線上任一點(diǎn)的法線斜率，則此曲線方程為（）（A）；（B）；（C）；（D）。８、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（）（A）（-1，1）；（B）；（C）（-1，1）；（D）[-1，1]。三、（１０分）已知函數(shù)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求的值。四、（１０分）證明：曲面上任意點(diǎn)處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成立體的體積為一定值。五、（１４分）求拋物面的切平面，使得與該拋物面間并介于柱面內(nèi)部的部分的體積為最小。六、（１０分）計(jì)算，其中Ｌ為由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。七、（８分）求解微分方程=0。八、（８分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（五）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù)，則。２、曲線在點(diǎn)（１，１，１）處的切線方程是。３、設(shè)是由，則三重積分＝。４、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)且，將二次積分化為定積分為。５、曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的充要條件為。６、設(shè)為，則。７、方程的通解為。８、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則級(jí)數(shù)必是。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）１、設(shè)，在點(diǎn)（０，０）處，下列結(jié)論（）成立。（Ａ）有極限，且極限不為0；（Ｂ）不連續(xù)；（Ｃ）；（Ｄ）可微。２、設(shè)函數(shù)有，且，，則=（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。３、設(shè)Ｄ：，在D上連續(xù)，則在極坐標(biāo)系中等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。４、設(shè)是由及所圍成，則三重積分（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。５、設(shè)是由所圍立體表面的外側(cè)，則曲面積分（Ａ）0；（Ｂ）1；（Ｃ）3；（Ｄ）2。６、以下四結(jié)論正確的是（）（Ａ）；（Ｂ）（Ｃ）；（Ｄ）以上三結(jié)論均錯(cuò)誤。７、設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，。并設(shè)曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)，則（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。８、級(jí)數(shù)的和等于（）（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3；（Ｃ）1；（Ｄ）3/2。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)１５分）１、（８分）設(shè)求。２、（７分）設(shè)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)１５分）１、（８分）計(jì)算，其中。２、（７分）計(jì)算，其中。五、（１５分）確定常數(shù)，使得在右半平面上，與積分路徑無(wú)關(guān)，并求其一個(gè)原函數(shù)。六、（８分）將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)。七、（７分）求解方程。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（一）參考答案一、1、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；2、負(fù)號(hào)；3、；4、；5、180；6、；7、；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、；；2、；；四、1、；2、；五、令則，；于是=1\*GB3①當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O（0，0）時(shí)，在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；=2\*GB3②當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中含O（0，0）時(shí)，在D內(nèi)除O（0，0）外都連續(xù)，此時(shí)作曲線為，逆時(shí)針?lè)较?，并假設(shè)為及所圍成區(qū)域，則六、由所給條件易得：又=即即又即七、令，考慮級(jí)數(shù)當(dāng)即時(shí)，亦即時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)的半徑為R=1，收斂區(qū)間為[1，3]。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（二）參考答案一、1、1；2、-1/6；3、；4、；5、；6、；7、；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函數(shù)在點(diǎn)A（1，0，1）處可微，且；；而所以,故在A點(diǎn)沿方向?qū)?shù)為：++2、由得D內(nèi)的駐點(diǎn)為且，又而當(dāng)時(shí)，令得于是相應(yīng)且在D上的最大值為，最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以2、在柱面坐標(biāo)系中所以五、1、連接，由公式得：2、作輔助曲面，上側(cè)，則由Gauss公式得：+===六、由題意得：即特征方程，特征根對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：又因?yàn)槭翘卣鞲?。故其特解可設(shè)為：代入方程并整理得：即故所求函數(shù)為：高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（三）參考答案一、1、；2、；3、；4、；6、，公式；7、8、。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于，由上兩式消去，即得：四、設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離為；令，于是由：得條件駐點(diǎn)：依題意，橢圓到直線一定有最短距離存在，其中即為所求。五、曲線在面上的投影為于是所割下部分在面上的投影域?yàn)椋?，由圖形的對(duì)稱性，所求面積為第一卦限部分的兩倍。六、將分為上半部分和下半部分，在面上的投影域都為：于是：；，=七、因?yàn)?，即所以八、又高等?shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（四）參考答案一、1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；二、1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A；8、C三、 故四、設(shè)是曲面上的任意點(diǎn)，則，在該點(diǎn)處的法向量為：于是曲面在點(diǎn)處的切平面方程為：++=0即++=1因而該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的立體的體積為：這是一個(gè)定值，故命題得證。五、由于介于拋物面，柱面及平面之間的立體體積為定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之間的立體體積為最大即可。設(shè)與切于點(diǎn)，則的法向量為，且，切平面方程為：即于是則由，得駐點(diǎn)（1，0）且由于實(shí)際問(wèn)題有解，而駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)切點(diǎn)為（1，0，5）時(shí)，題中所求體積為最小。此時(shí)的切平面為：六、聯(lián)接，并設(shè)由L及所圍成的區(qū)域?yàn)镈，則七、令，則，于是原方程可化為：即，其通解為即故原方程通解為：八、易求得該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，令，則注意到，高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（五）參考答案一、1、；2、；3、；4、；5、對(duì)任意閉曲線，或或使得；6、；7、；8、發(fā)散二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、C；6、B；7、D；8、A三、1、；；2、。四、1、因?yàn)榉e分域D關(guān)于對(duì)稱，所以故=；2、+因?yàn)殛P(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而都（至少）關(guān)于某個(gè)變量為奇函數(shù)，故以這些項(xiàng)為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是：。五、令則，由已知條件得，即有，所以所求的一個(gè)原函數(shù)為：六、易知又，其中七、方程的特征方程為：，其特征根為，故方程的通解為：高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷五一．填空題（每空3分，共21分）．函數(shù)的定義域?yàn)?。．已知函?shù)，則。．已知，則。．設(shè)L為上點(diǎn)到的上半弧段，則。．交換積分順序。.級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂？。．微分方程的通解為。二．選擇題（每空3分，共15分）．函數(shù)在點(diǎn)的全微分存在是在該點(diǎn)連續(xù)的（）條件。A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分，也非必要．平面與的夾角為（）。A．B．C．D．．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?。A．B．C．D．．設(shè)是微分方程的兩特解且常數(shù)，則下列（）是其通解（為任意常數(shù)）。A．B．C．D．．在直角坐標(biāo)系下化為三次積分為（），其中為，所圍的閉區(qū)域。A．B．C．D．三．計(jì)算下列各題（共分，每題分）1、已知，求。2、求過(guò)點(diǎn)且平行直線的直線方程。3、利用極坐標(biāo)計(jì)算，其中D為由、及所圍的在第一象限的區(qū)域。四．求解下列各題（共分，第題分，第題分）、利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中L為圓域：的邊界曲線，取逆時(shí)針?lè)较?。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：五、求解下列各題（共分，第、題各分，第題分）、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷六一、填空題：（每題分,共21分.）．將化為極坐標(biāo)系下的二重積分。.級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂？。．微分方程的通解為。二、選擇題：（每題3分,共15分.）．函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是其全微分存在的（）條件。A．必要非充分，B．充分，C．充分必要，D．既非充分，也非必要，．直線與平面的夾角為（）。A．B．C．D．．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?。A．B．C．D．.設(shè)是微分方程的特解，是方程的通解，則下列（）是方程的通解。A．B．C．D．．在柱面坐標(biāo)系下化為三次積分為（），其中為的上半球體。A．B．C．D．三、計(jì)算下列各題（共分，每題分）、已知，求、求過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面方程。、計(jì)算，其中D為、及所圍的閉區(qū)域。四、求解下列各題（共分，第題7分,第題分，第題分）、計(jì)算曲線積分，其中L為圓周上點(diǎn)到的一段弧。、利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中是由所圍區(qū)域的整個(gè)表面的外側(cè)。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：五、求解下列各題（共分,每題分）、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷七一．填空題（每空3分，共24分）1．二元函數(shù)的定義域?yàn)?．3．的全微分_5．設(shè)，則______________________8．級(jí)數(shù)的和s=二．選擇題：（每題3分，共15分）1．在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是在點(diǎn)處連續(xù)的條件（A）充分而非必要（B）必要而非充分（C）充分必要（D）既非充分也非必要2．累次積分改變積分次序?yàn)?A)（B）（C）（D）3．下列函數(shù)中，是微分方程的特解形式(a、b為常數(shù))（A）（B）（C）（D）4．下列級(jí)數(shù)中，收斂的級(jí)數(shù)是（A）（B）（C）（D）5．設(shè)，則(A)(B)(C)(D)得分閱卷人三、求解下列各題（每題7分，共21分）1.設(shè)，求2.判斷級(jí)數(shù)的收斂性3.計(jì)算，其中D為所圍區(qū)域四、計(jì)算下列各題（每題10分，共40分）2.計(jì)算二重積分，其中是由直線及軸圍成的平面區(qū)域.3.求函數(shù)的極值.4.求冪級(jí)數(shù)的收斂域.（下）模擬試卷五一、填空題：（每空3分，共21分）、，、，、,、，、，、條件收斂，、（為常數(shù)），二、選擇題：（每空3分，共15分）、，、，、，、，、三、解：、令、所求直線方程的方向向量可取為