陜西省咸陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題理含解析

PAGE22-陜西省咸陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分時(shí)間120分鐘；2.答卷前，考生須精確填寫(xiě)自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)；3.第I卷選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂，第II卷非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，涂寫(xiě)要工整、清楚；4.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷答題卡一并收回第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，集合，則圖中陰影部分表示（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由韋恩圖可以看出，陰影部分是中去掉那部分所得，由韋恩圖與集合之間的關(guān)系易得出陰影部分為，代入進(jìn)行求解，即可求出結(jié)果.【詳解】集合，，又圖中陰影部分所表示為，又∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題依據(jù)圖形中陰影部分，求陰影部分所表示的集合，著重考查了圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．2.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.31 B.15 C.8 D.7【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，由于，故解得，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量的計(jì)算，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.3.2024年春節(jié)突如其來(lái)的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā)，一方有難八方支援，全國(guó)各地的白衣天使走上戰(zhàn)場(chǎng)的第一線，某醫(yī)院抽調(diào)甲乙丙三名醫(yī)生，抽調(diào)三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與其次醫(yī)院，參與武漢疫情狙擊戰(zhàn)．其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其它都在其次醫(yī)院工作，則醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，利用列舉法，將全部狀況列舉出來(lái)，再利用古典概型求概率.【詳解】解：依據(jù)題意，選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，有9種狀況，如下：甲，甲，甲，乙，乙，乙，丙，丙，丙，而醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作有1種狀況，所以概率為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際問(wèn)題中古典概型求概率，理解題目是關(guān)鍵.4.已知非零向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系以及，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以，?又，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積關(guān)系、夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式，建立方程即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)，則由得，即，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題．6.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義求出的范圍，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可．【詳解】若方程表示雙曲線，則，所以，即“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，結(jié)合雙曲線的定義求出的范圍是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．7.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積過(guò)程中構(gòu)造在一個(gè)和諧美麗的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋），其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是體現(xiàn)其直觀性所做的協(xié)助線，當(dāng)其正視圖與側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別是（）A.a，b B.a，c C.a，d D.b，d【答案】A【解析】【分析】相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．依據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個(gè)識(shí)圖的形態(tài)，即可推斷答案.【詳解】因?yàn)橄鄬?duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．所以其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓；若俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，則俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的識(shí)別，考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿(mǎn)足：，，函數(shù)滿(mǎn)足且，，則（）A.e B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得，，即可求出；又，所以函數(shù)的最小正周期為4，由此依據(jù)題意即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以；又為等比數(shù)列，且，所以，所以；又，所以，所以函數(shù)的最小正周期為4，又，所以，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)的圖像大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)函數(shù)的奇偶性可知該函數(shù)為偶函數(shù)，可以解除選項(xiàng)A、B，再依據(jù)，即可得到結(jié)果.【詳解】令，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故解除選項(xiàng)A、B；又，由圖象可知選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析和推理的實(shí)力．屬于基礎(chǔ)題.10.已知x，y滿(mǎn)足不等式組，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為180，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.60 B.70 C.80 D.90【答案】A【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的最大值為180，通過(guò)直線平移,找到取得最大值的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖:由可得：，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，

此時(shí)最大，，解得，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.已知拋物線，點(diǎn)P，Q是拋物線上隨意兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，且，則M到y(tǒng)軸距離的最小值為（）A.9 B.8 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】依據(jù)拋物線的定義，梯形中位線及不等式即可求解.【詳解】設(shè)，,拋物線焦點(diǎn)為,由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，，PQ的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的值為:，即最小值為3,此時(shí)三點(diǎn)共線.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，梯形中位線，不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知函數(shù)（a為常數(shù)）有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程在R上有兩個(gè)不等根，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,即有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，則在R上單調(diào)遞增且，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有微小值也是最小值，又當(dāng)時(shí)，，，，所以即可，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)，結(jié)合正切的差角公式即可求得的值．【詳解】因?yàn)?，且所以所以【點(diǎn)睛】本題考查了正切的差角公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知在三棱錐中，AB，AC，AD兩兩垂直，且，則三棱錐外接球體積為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】利用三棱錐側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑，即可求解.【詳解】因?yàn)槿忮F側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖，該長(zhǎng)方體的三邊分別為，所以球的直徑為,即，所以三棱錐的外接球的體積為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)球,關(guān)鍵點(diǎn)要留意長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，屬于中檔題.15.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為．類(lèi)比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為．【答案】【解析】面積是邊長(zhǎng)的平方，類(lèi)比體積是邊長(zhǎng)的立方．16.給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).②在面積為S的的邊AB上任取一點(diǎn)P，則的面積大于的概率為.③將多項(xiàng)式分解因式得，則.④若那么由，那么由以及x軸所圍成的圖形肯定在x軸下方.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)____________（把全部正確命題的序號(hào)都填上）【答案】②③【解析】【分析】舉例說(shuō)明①④錯(cuò)誤；由幾何概型求概率說(shuō)明②正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得說(shuō)明③正確.【詳解】常數(shù)列也是等差數(shù)列，但常數(shù)列的通項(xiàng)公式為常數(shù)函數(shù)，不是n的一次函數(shù)，故①錯(cuò)誤;依據(jù)幾何概型可知，的面積大于的概率為，故②正確;由二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得,中的系數(shù)為，的系數(shù)為，則，故③正確；以及軸所圍成的圖形可能一部分在x軸下方,一部分在x軸上方.如由以及x軸所圍成的圖形如圖:故④錯(cuò)誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假推斷與應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、幾何概型、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及定積分的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.設(shè)a，b，c分別為銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足.（I）求角B的大??；（II）求面積的最大值.【答案】（I）（II）【解析】【分析】(I)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合B為銳角，可求B的值；（II）由余弦定理，基本不等式可求得，依據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】（I）由，可得，則，即，所以有，又因B為銳角，則.（II）由（I）可知，且有，由余弦定理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即..【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.18.已知橢圓C：，分別是其左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓C的離心率為，的內(nèi)切圓面積為，.（I）求橢圓C的方程；（II）若時(shí)，求直線l的方程【答案】（I）（II）或【解析】【分析】(I)由離心率可得a，c的關(guān)系,再由內(nèi)切圓的面積求出內(nèi)切圓的半徑,進(jìn)而求出三角形的面積，由題意可得a的值，再由a,b,c之間的關(guān)系求出b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程;(II)設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再由題意可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線l的方程【詳解】（I）由題可得，，的內(nèi)切圓面積為，，易得的周長(zhǎng)為8，即.而，解得，，，則橢圓C的方程為：.（II）設(shè)，由（I）可得，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)l：，聯(lián)立直線l與橢圓C可得：，，，，解得，所以直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓綜合，及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19.2024年寒假是特別的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了探討學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的狀況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教化進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13，其中男生30人對(duì)于線上教化滿(mǎn)足，女生中有15名表示對(duì)線上教化不滿(mǎn)足.（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教化是否滿(mǎn)足與性別有關(guān)”；滿(mǎn)足不滿(mǎn)足總計(jì)男生女生合計(jì)120（2）從被調(diào)查中對(duì)線上教化滿(mǎn)足的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的閱歷介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為，求出的分布列及期望值.參考公式：附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0720.7063.8415.0246.6357.87910828【答案】（1）見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教化是否滿(mǎn)足與性別有關(guān)”.（2）見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)男生與女生的人數(shù)之比為11∶13，以及總?cè)藬?shù)120，可求出男，女生總?cè)藬?shù)，即可完成列聯(lián)表，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，求出的觀測(cè)值，比照臨界值表，即可推斷是否有把握；（2）依據(jù)（1）可知，男生抽3人，女生抽5人，于是，離散型隨機(jī)變量的可能取值為，并且聽(tīng)從超幾何分布，即可利用公式，求出各概率，得到分布列，求出期望．【詳解】（1）因?yàn)槟猩藬?shù)為：，所以女生人數(shù)為，于是可完成列聯(lián)表，如下：滿(mǎn)足不滿(mǎn)足總計(jì)男生302555女生501565合計(jì)8040120依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀測(cè)值，所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教化是否滿(mǎn)足與性別有關(guān)”.（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依題可知的可能取值為，并且聽(tīng)從超幾何分布，，即,.可得分布列為0123可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想的初步運(yùn)用，以及超幾何分布的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．20.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2正三角形，是等腰直角三角形，.（I）證明：平面平面ABC；（II）點(diǎn)E在BD上，若平面ACE把三棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）【解析】【分析】（I）取AC的中點(diǎn)O，連接OD，OB，推導(dǎo)出，，從而為二面角的平面角，由此即可證明平面平面ABC；（II）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角即可.【詳解】（I）取AC的中點(diǎn)O，連接OD，OB，由題設(shè)可知，是等腰直角三角形，且，從而.所以，又由于是正三角形，故.所以為二面角的平面角.在中，.又，而，所以.故，所以平面平面ABC.（II）由題設(shè)及（I）知，OA，OB，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.由題設(shè)知，三棱維的體積為三棱錐的體積的.從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.故.設(shè)是平面ACE的法向量，則，即，令，得，故.設(shè)是平面DCE的法問(wèn)量，則，即,令，得，，故.則，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（I）探討函數(shù)的單調(diào)性；（II）當(dāng)時(shí)，證明（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（I）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析（II）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（I）求導(dǎo)，分及，探討與0的關(guān)系，得出函數(shù)的單調(diào)性；(II)依題意，只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值大于0即可得證.【詳解】（I）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；.綜上探討知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）當(dāng)時(shí)，由，只需證明，令，.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得唯一微小值，也是最小值.的最小值是成立.故成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查分類(lèi)探討思想及運(yùn)算求解實(shí)力,推理論證實(shí)力，屬于