浙江省紹興市嵊州市2025屆高三數(shù)學下學期第三次教學質量調測試題含解析

PAGE25-浙江省紹興市嵊州市2025屆高三數(shù)學下學期第三次教學質量調測試題（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C.，或 D.，或【答案】B【解析】【分析】首先求出，再求即可.【詳解】因為或，所以.故選：B【點睛】本題主要考查集合的運算，同時考查二次不等式，屬于簡潔題.2.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學家歐拉獨創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，依據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面中位于第________象限（）A.一 B.二 C.三 D.四【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，從而得到對應的點為，再推斷象限即可.【詳解】由題知：，在復平面對應的點為，因為，，所以表示的復數(shù)在復平面中位于第一象限.故選：A【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，同時考查隨意角的三角函數(shù)，屬于簡潔題.3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出幾何體的直觀圖，可知該幾何體是直五棱柱，計算出底面積，利用柱體的體積公式可得結果.【詳解】幾何體的直觀圖如下圖所示：可知該幾何體是直五棱柱，且底面為在邊長為的正方形中截去一個腰長為的等腰直角三角形所形成的平面圖形，其底面積為，該直五棱柱的高為，因此，該幾何體的體積為.故選：B.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象實力與計算實力，屬于基礎題.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用取特別值法推斷即可.【詳解】取特別值代入，當時，滿意但，所以不充分；當時，滿意，但，所以不必要；故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題主要考查了對充分條件和必要條件的推斷.屬于較易題．5.已知x，y滿意不等式組若的最小值是，則實數(shù)k的值是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，令，再對分類探討，數(shù)形結合計算可得；【詳解】解：由約束條件作出可行域如圖，令，則當時，直線過點時，取得最小值，因為，即所以；當時，直線過點時，取得最小值，因為，所以；故選：C【點睛】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題．6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域和再結合函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】因為的定義域為，有圖象知：，所以.又因為，所以.故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，特值法為解題的關鍵，屬于簡潔題.7.支配3名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有（A.60種 B.90種 C.150種 D.300種【答案】C【解析】【分析】首先按每個人工作的項目數(shù)，分成和，再分別計算即可.【詳解】按每個人工作的項目數(shù)，分成兩種狀況，第一種狀況，項目數(shù)為，共有種，其次種狀況，項目數(shù)為，共有種，總共的方法共有種.故選：C【點睛】本題主要考查勻稱分組問題，同時考查學生分析問題的實力，屬于簡潔題.8.在正方體中，點M，N分別是直線AD，BC上的動點，點P是內的動點（不包括邊界），記直線與MN所成角為，若的最小值為，則點P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分【答案】B【解析】【分析】直線與所成角的最小值是直線與面所成角，即原問題轉化為：直線與面所成角為，求點的軌跡．延長交面于點，則在面內的軌跡為圓的一部分，則將點的軌跡轉化為平面截圓錐面所得曲線．【詳解】解：直線與所成角的最小值是直線與面所成角，即原問題轉化為：直線與面所成角為，求點的軌跡．延長交面于點，因為面，所以就是直線與面所成角，，，則在面內的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的一部分，的軌跡是以為軸的圓錐面的一部分，點是內的動點（不包括邊界），其在內的軌跡，等價于平面截圓錐面所得的曲線，取的中點，連接，設正方體的棱長為1，，，，即圓錐的軸與截面所成的角大于軸與母線的夾角，小于直角，平面截圓錐面所得的曲線為橢圓的一部分.故選：B.【點睛】本題考查線線角、線面角及空間軌跡問題，求解時留意推斷截面與圓錐的軸所成角與圓錐母線與軸所成角的大小關系，中檔題.9.已知，設函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)沒有零點，則（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】C【解析】【分析】函數(shù)沒有零點，等價于無解.【詳解】若沒有零點，即無解，即無解，所以無解，整理得無解所以.故答案選：C.【點睛】本題以二次函數(shù)為載體考查復合函數(shù)零點問題，題目較難，考查學生分析轉化問題的實力.解答復合函數(shù)題目時，留意利用換元思想、整體思想等.10.已知數(shù)列和，，，，，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算與，再計算找出、的關系，然后推斷項的大小.【詳解】由，及遞推關系式可知，.，即所以，則，故，代入得所以，則，又所以，.故選：B【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式及應用，難度較大.解答時要針對遞推關系式合理變形，發(fā)覺規(guī)律.二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分.11.雙曲線的實軸長是________，離心率是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標準方程得到的值，計算出的值，再依據(jù)實軸的概念和離心率公式可得結果.【詳解】在雙曲線中，，，所以，，所以實軸長為，離心率為.故答案為：；.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質，屬于基礎題.12.設，則________，________.【答案】(1).1(2).1【解析】【分析】先用賦值法求出的值，再利用二項式定理寫出通項，代入數(shù)值即可得出答案.【詳解】令，得：1=，因為，所以故答案為：1；1.【點睛】本題主要考查了二項式定理、賦值法等學問.屬于較易題.13.已知，，隨機變量的分布列是：若，則________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)分布列的基本性質和期望公式可得出關于、的方程組，解出、的值，然后利用方差公式可求得的值.【詳解】由題意可得，解得，因此，.故答案為：；.【點睛】本題考查分布列性質的應用，同時也考查了期望和方差的計算，考查計算實力，屬于基礎題.14.在中，D是BC邊上一點，滿意，若，，則的面積的最大值是________，此時________.【答案】(1).(2).1【解析】【分析】依據(jù)余弦定理及基本不等式可求出的最大值，再由三角形面積公式即可求出面積的最大值，由等號成立條件可得的值.【詳解】，，，，，即，當且僅當時，等號成立，，此時,故答案為：；1【點睛】本題主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式，考查了運算實力，屬于中檔題.15.已知單位向量，夾角為，，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】首先計算和，從而得到，再利用的幾何意義即可得到答案.【詳解】由題知：，.所以，幾何意義為到和的距離之和.因為點關于軸的對稱點為，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積和模長的應用，同時考查學生的轉化實力，屬于中檔題.16.已知函數(shù)，函數(shù)，記，其中表示實數(shù)，中較小的數(shù).若對都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】，或【解析】【分析】首先依據(jù)題意可知當或時，恒成立，又對都有成立，則時，恒成立，再對進行分類討，求出的最值，由此即可求出結果.【詳解】由于對都有成立，令，可得或；所以當時，恒成立；當時，在區(qū)間上單調遞減，所以，所以，可得，所以或，所以；當時，在區(qū)間上單調遞增，所以，所以，可得，所以或，所以；當時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時不成立；綜上所述，，或.故答案：，或.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調性、函數(shù)最值、恒成立問題等，同時考查轉換思想，屬于中檔題．17.已知P為橢圓C：上一個動點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，O為坐標原點，O到橢圓C在P點處的切線距離為d，若，則d＝__________.【答案】【解析】【分析】計算，的值得出點坐標，再求出切線方程，利用點到直線的距離公式計算．【詳解】解：設，，則，不妨設在第一象限，則，，故以為圓心以為半徑的圓為：，①以為圓心以為半徑的圓為：，②①②得：，代入橢圓方程可得：，故，，當時，由得，故，橢圓在處的切線的斜率．切線方程為：，即，原點到切線的距離．故答案為：．【點睛】本題考查了橢圓的性質，切線的求法，點到直線的距離應用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的值域；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先化簡，再求出，從而得到函數(shù)的值域.（2）首先依據(jù)已知得到，從而得到，再將計算即可得到答案.【詳解】（1）.因為，所以，所以.故在區(qū)間上的值域是.（2）由，知，又因為，所以.故.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域和三角函數(shù)的恒等變換，同時考查學生的計算實力，屬于簡潔題.19.如圖，已知三棱錐，，，，直線BD與平面ABC所成的角為.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）過D作于E，連接BE，利用，可得，再依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面BDE.，從而可得；（2）以E為坐標原點，，所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，利用空間向量可求得結果.【詳解】（1）過D作于E，連接BE.

因為，，所以，于是，又，所以平面BDE.所以.（2）由（1）可知，平面BDE，所以平面平面BDE，所以交線BE就是BD在平面ABC上的射影，故就是直線BD與平面ABC所成的角，即.因為，，所以，，在直角中，，，所以.以E為坐標原點，，所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，.所以，，.設平面ACD的一個法向量為，則，且，所以，所以，取，則，所以.同理：可取平面BCD的一個法向量為.因為二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定與性質，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題.20.已知正項數(shù)列滿意，，且數(shù)列是等差數(shù)列.（1）求數(shù)列通項公式；（2）記，，試比較與的大小，并予以證明.【答案】（1）；（2）；證明見解析.【解析】【分析】（1）通過是等差數(shù)列，設其公差為，代入，求出即可得出結果.（2）首先求出，是關于n的增函數(shù)，分和兩種狀況比較與的大小，并用放縮法證明不等式即可得出結論.【詳解】解：（1）設等差數(shù)列的公差為，其首項，所以，即.同理，.因為，所以，化簡得：，解得，或.當時，，故，此時，當時，，不符合是正項數(shù)列.當時，，故，符合是正項數(shù)列.綜上所述：.（2）因為，所以，故，，，所以.又因為是關于n的增函數(shù)，所以.所以當時，.當時，又.所以.所以當時，.綜上：.【點睛】本題主要考查利用等差數(shù)列求通項公式以及利用放縮法證明不等式的問題.屬于中檔題.21.如圖，已知直線與拋物線相交于兩點，，且.（1）證明：直線AB經(jīng)過一個定點，并求出定點坐標；（2）設動點P滿意的垂心恰好是，記點C到直線AB距離為d，若，求實數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；定點；（2），或.【解析】【分析】（1）設，，由與聯(lián)立消元得到，則，，由可知可求得，即直線，即可求出直線的定點.（2）由（1）求得，由E是的垂心，得，且，設，通過向量的坐標運算求得，，進而求得，再由求得即可.【詳解】解：（1）聯(lián)立與消去化簡整理得：.設，，則，.由可知.又，，所以所以，即，所以.所以直線，即，所以它經(jīng)過定點.（2）由（1）可知：.因為E是的垂心，所以，且.由得，即①.設，則②，又，，所以③，由①②③得：，即，同理：由可得：.所以，是方程的兩組解，故此方程表示直線.又因為直線，所以，，解得：，.所以.所以.①當時，，解得.②當時，，解得.綜上所述：，或.【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關系，考查學生的計算實力，屬于綜合題.22.已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：是的一個微小值點；（2）若在區(qū)間上的最小值為1，求實數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)題意得到函數(shù)的單調區(qū)間，再依據(jù)單調區(qū)間即可證明.（2