2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理第2講二項(xiàng)式定理作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第十章計(jì)數(shù)原理其次講二項(xiàng)式定理練好題﹒考點(diǎn)自測(cè)1.[2024北京,4分]在(QUOTE-2)5的綻開式中,x2的系數(shù)為 ()A.-5 B.5 C.-10 D.102.[2024全國(guó)卷Ⅰ,5分](x+QUOTE)(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù)為 ()A.5 B.10 C.15 D.203.[2024河南開封模擬](2x-3y)n(n∈N*)的綻開式中倒數(shù)其次項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),則(3x-2y)n的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于 ()A.16 B.32 C.64 D.1284.[多選題]下列關(guān)于多項(xiàng)式(1+QUOTE-x)6的綻開式的結(jié)論正確的是 ()A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1B.各項(xiàng)系數(shù)的肯定值之和為212C.存在常數(shù)項(xiàng)D.x3項(xiàng)的系數(shù)為405.[2024天津,5分]在(x+QUOTE)5的綻開式中,x2的系數(shù)是.

6.[2017山東,5分]已知(1+3x)n的綻開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=.

7.[2024浙江,6分]二項(xiàng)綻開式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a4=,a1+a3+a5=.

8.[2024浙江金麗衢十二校第一次聯(lián)考]在(x2-QUOTE)9的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為,系數(shù)最大的項(xiàng)是.

拓展變式1.(1)[2024河南省名校第一次聯(lián)考](1-x)(x+QUOTE+2)4的綻開式中x的系數(shù)是 ()A.10 B.2 C.-14 D.34(2)在(1-QUOTE)7+(QUOTE+QUOTE)6的綻開式中,若x2的系數(shù)為19,則a=.

(3)[2024浙江,6分]在二項(xiàng)式(QUOTE+x)9的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)是,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

2.(1)[2024山西大同高三調(diào)研]若(QUOTE-QUOTE)n的綻開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是 ()A.210 B.180 C.160 D.175(2)已知(2x-QUOTE)n的綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32.若(x+QUOTE)(2x-QUOTE)n的綻開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

答案其次講二項(xiàng)式定理1.C由二項(xiàng)式定理得(QUOTE-2)5的綻開式的通項(xiàng)Tr+1=QUOTE(QUOTE)5-r(-2)r=QUOTE(-2)rQUOTE,令QUOTE=2,得r=1,所以T2=QUOTE(-2)x2=-10x2,所以x2的系數(shù)為-10,故選C.2.C因?yàn)?x+y)5的綻開式的通項(xiàng)Tr+1=QUOTEx5-ryr,所以(x+QUOTE)(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù)為QUOTE+QUOTE=15.故選C.3.A∵(2x-3y)n(n∈N*)的綻開式中倒數(shù)其次項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),∴QUOTE·21·(-3)n-1=-QUOTE·22·(-3)n-2,解得n=4,24=16,則(3x-2y)4的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于16,故選A.4.BCD由題意可得,(1+QUOTE-x)6的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為26,各項(xiàng)系數(shù)的肯定值之和為212,故A錯(cuò)誤,B正確;(1+QUOTE-x)6=[1+(QUOTE-x)]6,該綻開式第一項(xiàng)即為常數(shù)項(xiàng),故多項(xiàng)式的綻開式中肯定存在常數(shù)項(xiàng),故C正確;由題中的多項(xiàng)式可知,若出現(xiàn)x3項(xiàng),可能的組合只有(QUOTE)0×(-x)3和(QUOTE)1×(-x)4,則可得x3項(xiàng)的系數(shù)為QUOTE×13×QUOTE×20×(-1)3+QUOTE×11×QUOTE×21×(-1)4=40,故D正確.故選BCD.5.10二項(xiàng)式(x+QUOTE)5的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=QUOTE·x5-r·(QUOTE)r=QUOTE·2r·x5-3r.令5-3r=2得r=1.因此,在(x+QUOTE)5的綻開式中,x2的系數(shù)為QUOTE·21=10.6.4由題意可知QUOTE32=54,所以QUOTE=6,解得n=4.7.80122由二項(xiàng)式定理得,(1+2x)5綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTE2rxr,所以a4=QUOTE×24=80.當(dāng)x=1時(shí),35=a0+a1+a2+a3+a4+a5①,當(dāng)x=-1時(shí),-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5②,由①-②得35+1=2(a1+a3+a5),所以a1+a3+a5=122.8.QUOTE9x12綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTE(x2)9-r(-QUOTE)r=QUOTE·(-QUOTE)r·x18-3r,當(dāng)18-3r=0時(shí),r=6,所以常數(shù)項(xiàng)為T7=QUOTE(-QUOTE)6=QUOTE,要使項(xiàng)的系數(shù)最大,r必需為偶數(shù),即有QUOTE則QUOTE解得QUOTE≤r≤QUOTE.又r是偶數(shù),故r=2,所以系數(shù)最大項(xiàng)為T3=QUOTE(x2)7(-QUOTE)2=9x12.1.(1)C(1-x)(x+QUOTE+2)4=(1-x)(QUOTE)4=QUOTE=QUOTE-QUOTE,又(x+1)8的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTEx8-r,所以QUOTE的綻開式中含x的項(xiàng)為QUOTE=QUOTEx,-QUOTE的綻開式中含x的項(xiàng)為-QUOTE=-QUOTEx,所以(1-x)(x+QUOTE+2)4的綻開式中x的系數(shù)是QUOTE-QUOTE=-14.故選C.(2)2(1-QUOTE)7+(QUOTE+QUOTE)6的綻開式中x2的系數(shù)為QUOTE(-1)6+QUOTE(a)1=QUOTE+aQUOTE,則aQUOTE+QUOTE=19,解得a=2.(3)16QUOTE5QUOTE的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTExr(r=0,1,2,…,9),可得常數(shù)項(xiàng)為T1=QUOTE=16QUOTE,當(dāng)系數(shù)為有理數(shù)時(shí),r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10,共5個(gè)項(xiàng).2.(1)B解法一因?yàn)?QUOTE-QUOTE)n的綻開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=10,則(QUOTE-QUOTE)10的綻開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=QUOTE(QUOTE)10-k(-QUOTE)k=(-2)kQUOTE=(-2)kQUOTE,令5-QUOTEk=0,解得k=2,所以常數(shù)項(xiàng)為(-2)2QUOTE=180.解法二因?yàn)?QUOTE-QUOTE)n的綻開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=10,則(QUOTE-QUOTE)10可以看成10個(gè)多項(xiàng)式QUOTE-QUOTE相乘,要想得到常數(shù)項(xiàng),則需在其中2個(gè)多項(xiàng)式中取-QUOTE,余下的8個(gè)多項(xiàng)式中都取QUOTE,則常數(shù)項(xiàng)為QUOTE(-QUOTE)2(QUOTE)8=180.(2)40因?yàn)?2x-QUOTE)n的綻開式中的二項(xiàng)